Liigid: diskreetne ( võimalike väärtuste hulk lõplik/loenduv, , tingimused: mittenegatiivsus, normeeritus) ja pidev (kontiinum) Jaotusseadus- määrab täielikult juh. Su. Omadused (2 kuju: jaotusfunktsioon ja jaotustihedus) Jaotusfunkts- def tõenäosusena, et juh. Su. Väärtus ei ületa funkts argumenti x. Tingimused: monotoonsus, normeeritud. Jaotustih- jaotusfunkts tuletis Arvkarakteristikud- jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaalid, millega opereerimine lihtsam (infokadu) Keskväärtus enimkasut, iseloom.juh.su. jaotuse keskkoha/tsentri asukohta Dispersioon ja standardhälve enimkasut hajuvuse iseloomust, seotud, standardhdispersiooni ruutjuur Kvantiilid- juh.su. p-kvantiil väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p. ka protsentiilid (detsiil, kvartiil). Mediaan- jaotuse keskpunkt, sümmeetmediaan=keskv Moment- nende põhjal saab konstr eri momentkarakt, nt asümmeetria ja ekstsess.
Tõenäosus, et vedamisel puruneb üks pudel on 0,0 Leida tõenäosus, et kauplus sai rohkem kui kaks katkist pudelit. n=1000 p=0,003 lambda= 3 0 0,049787068 P(a) 0,42319 1 0,149361205 2 0,224041808 summa: 0,423190081 4. (5) Rahakotis on 6 münti, 2 20-sendilist ja 4 50-sendilist. Juhuslikult võeti kolm münti. Saadus raha juhuslik suurus. Leida selle keskväärtus ja dispersioon ning joonistada jaotusfunktsiooni graafik. Graa märkida ära oluliste punktide väärtused. 5. (3) Teatud automudeli läbisõit allub normaaljaotusele keskväärtusega 180000 km ja standardhälbe tõenäosus, et: a) ostetud auto läbisõit on piirides 160000 km kuni 220000km. b) ostetud auto sõidab läbi rohkem kui 250000km. c) ostetud auto ei sõida läbi rohkem kui 100000km. a) keskv. 180000 sigma 35000 x F(x)
3. (3) Kauplus sai 1000 klaaspudelis olevat jooki. Tõenäosus, et vedamisel puruneb üks pudel on 0,0 Leida tõenäosus, et kauplus sai rohkem kui kaks katkist pudelit. 0 0,049787068 P(a) 0,57681 1 0,149361205 2 0,224041808 0,423190081 4. (5) Rahakotis on 6 münti, 2 20-sendilist ja 4 50-sendilist. Juhuslikult võeti kolm münti. Saadus raha juhuslik suurus. Leida selle keskväärtus ja dispersioon ning joonistada jaotusfunktsiooni graafik. Graa märkida ära oluliste punktide väärtused. 2 kahekümnelist 4 viiekümnelist x- rahasumma x1 90 20;20;50 0,066667 20;50;20 0,066667 50;20;20 0,066667 0,2 120 20;50;50 0,2 50;20;50 0,2 50;50;20 0,2 0,6
RAKENDUSSTATISTIKA ARVUTUSGRAAFILINE TÖÖ Osa A Valimi A mahuga N=25 variatsioonirida: 54 32 30 54 89 54 9 94 51 69 19 15 33 88 37 87 94 49 18 85 43 43 41 62 81 1.Leida keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, mediaani ja haarde hinnangud. Keskväärtus: Excel: AVERAGE x=53,24 Dispersioon: Excel: VAR Sx²=705,69 Standardhälve: Sx=26,56 Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Me=51 Haare: R=94-9=85 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust
= M (x1 - x0 + x2 - x1 + x3 - x2 + . . . + xn - xn-1 ) = M (b - a), sest t¨ahistuse kohaselt x0 = a ja xn = b. V~ottes saadud v~orratuse n f (k )xk M (b - a) k=1 m~olemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessis 0 ja arvestades sellega, et paremal pool on konstantne suurus, saame v¨aite. Omadus 8 (m¨ a¨ aratud integraali keskv¨ a¨ artuse omadus). Kui funkt- sioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis leidub v¨ahemalt u ¨ks selline punkt [a; b], et b f (x)dx = f ()(b - a). a T~oestus. L~oigul pidev funktsioon omab v¨ahimat v¨a¨artust m ja suurimat
¨ u. 3 -2 3 3 2 9. S~oiduki kiirus s~oltub ajast j¨argmiselt: v(t) = 0, 01t2 + 10. Leida kiiruse keskv¨a¨artus ajavahemikus t1 = 0 kuni t2 = 20. (1p) Lahendus. 20 20 1 1 0, 01t3 v¯ = (0, 01t2 + 10)dt = + 10t = 20 - 0 0 20 3 0 1 0, 01 · 8000
ka kehtivat üleliidulist põhiseadust. 16. nove m bril 988. aastal v õttis Eesti NSV Üle mnõukogu vastu suveräänsusdeklaratsiooni, millega sätestati Eesti NSV seaduste üli muslikkus üleliiduliste seaduste ja m ääruste suhtes. Nõukogud Liidu keskvõi mu ja liiduvabariigi o mavaheliste suhete aluseks pidi saama liiduleping. Nii oli esi me st korda n õuk või mu tingi mustes tõstatatud Eesti riikluse küsi mus. Suhetes keskvõi muga muutus järjest olulise maks MolotoviRibbentropi paktile õigusliku hinnangu and min Moskvale surve avaldamiseks korraldasid Baltikumi rahvarinded 23. augustil 1989. aastal enneole matu
2 2 0 0 0-20 12 10 8 6 4 2 0 0,57 20 2,355 40 4,1825 60 4,895 80 -5,7175 100 (ni-ni')^2/ni' 0,700606 keskv 53,24 0,261774 standart 26,56 Chart Title 0,09731 120 2,724522 100 5,389174 80 Column O 9,173385 60 40 20
limnigraafi abil. Lävendi jaoks koost mõõtmisan- järgi. Andmed võtavad kokku hüdroloogia- Jões või ojas on voolamine alati turbulentne dmete põhjal vooluhulgakõver Q = f(H), s.o seos jaamad. Veetaseme mõõtm: Veetase oleneb jões ning kiirus pulseerib, st muutub pidevalt igas veetaseme ja vooluh vahel, millelt saab veeta- (ojas, kraavis) voolava vee hulgast, ning üks voolupunktis. Ometi kõigub ta püsiva keskvää- seme järgi vooluhulga seda otseselt mõõtmata. peamisi veetaseme mõõtm eesm on vooluhulga rtuse ümber, mida nim keskmiskiiruseks. Seda Vooluhulka mõõd aegajalt vaid kõvera õigsuse määramine. Süstemaatiliselt mõõd veetaset kiirust mõõdetaksegi ning õige tulemuse kontrollimiseks. Kui on vaja vooluhulka mõõta
Andmed-A N= 25 jrk. Dispersioon= 37 9 1. Keskväärtus= 53,24 263,74 54 15 0,58 94 18 1661,38 32 19 451,14 19 30 1172,38 33 32 409,66
arvutada polünoomi kindlal x'l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea: b n := an ; bn-1 := an-1 + bnx0 ; 10). (Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine) b0 := a0 + b1x0 siis b0 on p(x0) väärtus. See toimib nii, sest polünoomi saab kirjutada 18). (Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega).Kui funktsioonid ja on kujul p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit integreeruvad lõigul [, ] ja () 0, siis leidub konstant [, ], kus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨ artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l'Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid. . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat' lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨a¨artusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 l'Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K~orgemat j¨arku tuletised ja diferentsiaalid. . . . . . . . . . . . . 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨ unoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . .
401 0.000 0.933 1.869 0.933 1.869 atistiliselt oluline. Kui tihti külastat e nädalas toidukau Kehakaal plust? 3 1 Arv-ja järjestustunnuste usaldusintervall 5 4 2 3 Kaal 5 2 Standradhälve 1.56 2 1 Aritmeetiline keskmine 3.49 4 4 Keskväärtuse standardviga (SE) 95 0.19 1 5 2*SE 0.37 6 3 4 3 Usaldusintervall 95% 3.31 6 4 alumine piir 3.12 2 1 ülemine piir 3.87 3 2 2 1 2 1 Usaldusintervall(kaal) 5 2 Usaldusintervall(toidukaupluse külastamine) 5 4 6 3
= M (x1 - x0 + x2 - x1 + x3 - x2 + . . . + xn - xn-1 ) = M (b - a), sest t¨ahistuse kohaselt x0 = a ja xn = b. V~ottes saadud v~orratuse n f (k )xk M (b - a) k=1 m~olemalt poolt piirv¨a¨artuse piirprotsessis 0 ja arvestades sellega, et paremal pool on konstantne suurus, saame v¨aite. Omadus 8 (m¨ a¨ aratud integraali keskv¨ a¨ artuse omadus). Kui funkt- sioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis leidub v¨ahemalt u ¨ks selline punkt [a; b], et b f (x)dx = f ()(b - a). a T~oestus. L~oigul pidev funktsioon omab v¨ahimat v¨a¨artust m ja suurimat
¨markirja m¨arkidest keerulisemad, joonte arv on suurem, need on u k¨aa¨nulisemad, m¨argid on v¨aga toretsevad ja dekoratiivsed. Zhou kirja geograafiline kasutuspiirkond u ¨htis luu- ja pronkskirja tekkealaga, seet~ottu on zhou kiri vanadele m¨arkidele l¨ahemal kui S~odivate Riikide ajal ida poolsetel aladel kasutusse v~oetud m¨argid. P¨arast 221. a. e.m.a. toimunud riigi u ¨hendamist Qin alla andis Shi Huangdi lisaks muudele tugevat keskv~oimu peale suruvatele ettev~otmisetele, k¨asu ka kirjam¨ argid u ¨ ¨htlustada. Ulesanne t¨aideti v¨aikse u ¨markirja loomisega Lýs¯ý juhtimisel. Uued m¨argid graveeriti kivides- se ning viidi u ¨le u ¨hendatud maa seitsmesse kohta laiali. H~olbustamaks kirjutajate t¨oo¨d ning u ¨hendatud territooriumite valit-
annaabi.ee 
