n aa n abil. 1. Igast mittenegatiivsest arvust saab leida n-nda juure. See juur on alati mittenegatiivne. 1 1 0; Näited 5 32 2 0; 3 0 0 0; 1 1. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. Näited paarisarv 4 16, 1 - selliseid reaalarve ei ole. paaritu arv 3 8 2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juure omadused (II) 3. Igal negatiivsel arvul on paarituarvulise juurija korral parajasti üks juur, mis on samuti negatiivne. Näited 5
pöördtehe). n a — n-nda astme juur arvust a (või n-es juur arvust a). juurija n a juure märk juuritav Juurte omadused: 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-es juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on negatiivne. 4. Iga n N korral, kui n2 n 0 0 ja n 1 1. 5. Iga n N korral 2n a 2n
(Astendamise pöördtehe). n n a — n-nda astme juur arvust a (või n-es juur arvust a). juurija a juure märk juuritav Juurte omadused: 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-es juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on negatiivne. 4. Iga n N korral, kui n 2 n 0 0 ja n 1 1 . 5. Iga n N korral 2n a 2n a Tehted juurtega: 1. n a b n a n b Juur korrutisest = tegurite juurte korrutisega. n a a 2
kui juurija n on paarisarv, siis a > 0 korral juur a tähistab niisugust positiivset arvu, mille n-es aste on a. Näide 6,25 2,5 ja 6,25 2,5 ehkki nii 2,5 6,25 (2,5) 2 6,25 2 kui ka Juure omadused. 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks positiivne n-es juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne. 4. Iga n puhul n 00 ja n 1 1 . 5. 2n a 2 n | a | . 6. 2 n 1 a 2 n 1 a. 7. a n n a. Tehted juurtega. 1
n n =a . Arv a on juuritav ja arv n on juurija. Juure omadused 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-ndat järku juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne. 4. Iga n ( n 0 ) korral n 0 = 0 ja n 1 = 1 . 2n a 2n = a 5. . 2 n +1 2 n +1 6. a =a. Tehted juurtega n ab = n a n b , kui a 0, b 0 (või kitsendusteta, kui n = 2k + 1 ) n ab = n a n b , kui a < 0, b < 0 ja n = 2k
10. Asümptoodid X ja X + - 11. Toetudes andmetele 6. Ekstreemumkohad skitseerime graafiku Xe Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada Tavaliselt reaalarvude hulk Erandid: x murrujoone all ei sobi x väärtused, kus tekib jagamine 0- ga x paarisarvulise juurijaga juuremärgi all ei sobi x väärtused, mis muudavad juuritava negatiivseks x logaritmitavas - ei sobi x väärtused, mis muudavad logaritmitava mittepositiivseks x logaritmi aluses logaritmi alus peab olema positiivne ega tohi võrduda arvuga 1 f(-x) = f(x) paarisfunktsioon graafik sümmeetriline y-teljega f(-x) = - f(x) paaritu funktsioon graafik sümmeetriline 0-punkti suhtes
2) viime kõik murud ühisele nimetajale 3) kasutame murru nulliga võrdumise tingimust: murd = 0 kui tema lugeja = 0 ja nimetaja ≠ 0 Murdvõrratus on võrratus, mis sisaldab muutujat murru nimetajas. JUURVÕRRAND JA VÕRRATUS Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. Näiteks ja on juurvõrrandid. Juurvõrrandi lahendamiseks tuleb muutujaga liikmed vabastada juurtest. Selleks astendatakse võrrandi mõlemat poolt juurijaga võrdse arvuga. Kui võrrandis on ainult üks juur, siis tuleb see jätta üksi võrrandi ühele poolele. Kui võrrandis on mitu juurega liiget, siis võib juhtuda, et ühekordse astendamisega me juurtest lahti ei saa. Sellisel juhul tuleb astendamist korrata. Et astendamisel võib tekkida võõrlahendeid, peab juurvõrrandi lahendeid alati kontrollima.
korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. np a mp = a n m Võrdus kehtib tingimusel, kui a>0 Juure juurimisel juurijad korrutatakse ja tulemusega juuritakse antud juuritav. m n a = mn a Juurte omadused. Tehted juurtega Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga. ( a) m m n = n am = a n a =a 2 Aritmeetiline keskmine a1 + a 2 + ..... + a n a= n Positiivsete arvude geomeetriline keskmine n a1 a 2 ..... a n Protsent Üks sajandik = 1 protsent 1%= 1 = 0,01 100 100% on tervik 100% =1 p p% = 100 Protsent Kui leiame, mitu protsenti moodustab arv a arvust b, siis
Hulka { ( )} nim funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks ja hulka { ( ) } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks. Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonna leidmiseks tuleb kindlaks äärata need argumendi x väärtused, mille korral on võimalik funktsiooni väärtust arvutada. Määramispiirkonna leidmisel arvestame: Murru nimetja ei tohi võrduda nulliga Paarisarvulise juurijaga juure all olev avaldis ei saa olla negatiivne Logaritmitav peab olema positiivne Logaritmi alus peab olema ühest erinev positiivne arv 4. Millisel tingimusel loeme kahte funktsiooni võrdseiks? Näited Kaks funktsiooni y=f(x) ja y=g(x) on võrdsed, kui neil on Neil on ühine määramispiirkond X f(x)=g(x) iga korral 5. Milliseid funktsioone nimetatakse tükiti defineeritud funktsioonideks? Näited
x x x x -2 x -2 ax x bx=(ab) nt: 2 x 5 =0,01 (2x5)=1/100=10 10=10 x=-2 2) sulgude ette toomine x1+x2 x1-x2 ax1 x ax2=a ax1/ax2=a 1)Ühesuguste alustega astme korrutamisel/jagamisel tulevad astendajad liita/lahutada 2)Astme astendamisel korrutatakse astendajad 3)Astme juurimisel tuleb astme näitajad jagada juurijaga 4)Juure astendamisel tuleb astendada juuritav 5)Juure juurimisel tuleb korrutada juurijad Arvu logaritm b Olgu avaldis a =c b 1) kui on antud a ja b, siis c=a b 2) kui on antud b ja c, siis a=c b 3) kui on antud a ja c, siis b=loga a-logaritmi alus b-logaritmitav c-arvu b logaritm alusel a
1.10 Ruutjuur a=b, kus b0 ja b2=a · a·b=a·b · a/b=a/b · na+ma=(n+m)a · a2=|a| 1.11 Arvu n-es juur 2k-ndaks juureks mittenegatiivsest arvust a nimetatakse sellist mittenegatiivset arvu b, mille 2k-s aste on a (2k+1)ks juureks arvust a nimetatakse sellist arvu b, mille (2k+1)-ne aste on a 1.12 Juurte omadusi · Igal mittenegatiivsel reaalarvul on parajasti üks mittenegatiivne n-es juur · Negatiivsel arvul ei ole reaalarvude hulgas paarisarvulise juurijaga juurt · Igal negatiivsel arvul on reaalarvude hulgas parajasti üks negatiivne paarituarvulise juurijaga juur 4. 5. 6. 7. Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat jagada nende ühisteguriga või korrutada ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga 1.13 Juurte koondamine · Juuravaldisi, mis erinevad üksteisest ainult juure kordaja poolest või ei erine üldse, nimetatakse sarnasteks.
b b nq a mq = a n m ( a) n m = a , kui m < 0, siis a 0 n m n m a = nm a Avaldisel 10 - 26 = 10 - 64 puudub väärtus, sest negatiivsel arvul pole paarisarvulise juurijaga juurt. TEHTED ASTMETE JA VÕRDSETE JUURIJATEGA JUURTEGA Tehete sooritamisel astmetega või võrdsete juurijatega juurtega on otstarbekas valida just see lahendusmeetod, mis tundub lahendajale lihtsam: 8 7 1 7 8 : 16 = 7 7 = 16 2 1 1 1 1
n saadakse arv a: ( a) n n =a. Arv a on juuritav ja arv n on juurija. Juure omadused 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-ndat järku juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne. 4. Iga n ( n 0 ) korral n 0 = 0 ja n 1 = 1 . 5. 2n a2n = a . 6. 2 n +1 a 2 n +1 = a . Tehted juurtega n ab = n a n b , kui a 0, b 0 (või kitsendusteta, kui n = 2k + 1 ) n ab = n a n b , kui a < 0, b < 0 ja n = 2k a na n = , a 0, b > 0 (või kitsendusteta, kui n = 2k + 1 ) b nb a n a
arvuga n saadakse arv a: ( a) n n =a. Arv a on juuritav ja arv n on juurija. Juure omadused 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-ndat järku juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne. 4. Iga n ( n ≠ 0 ) korral n 0 = 0 ja n 1 = 1 . 5. 2n a 2 n = a . Muuhulgas a2 = a . 2 n +1 6. a 2 n +1 = a . Tehted juurtega n ab = n a ⋅ n b , kui a ≥ 0, b ≥ 0 (või kitsendusteta, kui n = 2k + 1 ) n ab = n a ⋅ n b , kui a < 0, b < 0 ja n = 2k a na
a n n a. Arv a on juuritav ja arv n on juurija. Juure omadused 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-ndat järku juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on samuti negatiivne. 4. Iga n n 0 korral n 0 0 ja n 1 1 . 5. 2n a2n a . 6. 2 n 1 a 2 n 1 a . Tehted juurtega n ab n a n b , kui a 0, b 0 (või kitsendusteta, kui n 2k 1 ) n ab n a n b , kui a 0, b 0 ja n 2k a na
Arvu n-es juur (Loeme: ennes juur aast on võrdne beega.) Näiteks: · 3 8 = 2, sest 2³ = 8 · 3 -27 = -3³ = -27 · 5 0 = 0, sest 05=0 · 6 -64 = - Tehted juurtega 1) n ab = n a n b n an b = n ab Näiteks: 50 = 25 2 =5 2 Võrdsete juurijate juurte korrutamisel võime juuritavad korrutada ning saadud tulemust juurida antud juurijaga. n a na 8 8 2) = Näiteks: = = 4=2 n b b 2 2 a ( a) ( 8) m m 4 3) n = n Näiteks: 3 84 = 3
annaabi.ee 
