Simpleksmeetod Maksimumi tunnus: sihifunktsiooni reas ei ole negatiivseid elemente Juhtelemendi valiku reeglid: 1.juhtveeruks valitakse sihifunktsiooni reas kõige negatiivsema elemendiga veerg 2. hinnang veeru positiivsele elemendile saadakse vabaliikme jagamisel hinnatava elemendiga 1.juhtelemendiks valitakse juhtveeru see positiivne element, mille hinnang on kõige väiksem 2.kui juhtveerus ei ole positiivseid elemente, sihifunktsioonil ei ole nendel tingimustel maksimumi (sihifunktsioon kasvab tõkestamatult) Gaussi meetodil arvutatakse lahendi uus esitus, mille baaslahend on lubatav. Uues baaslahendis on sihifunktsiooni väärtus suurem kui eelmise esituse baaslahendis. Kui uue maatriksi sihifunktsiooni reas ei ole enam negatiivseid elemente, on maksimum leitud; kui on, tehakse järgmine samm Duaalne simpleksmeetod Reeglid 1. Kui leidub vähemalt üks negatiivne vabaliige, alustatakse duaalse simpleksmeetodiga 2. Juhtreaks...
· Windowsi logo+A: hõlbustussuvandite käivitamine (kui need on installitud) · Windowsi logo+tühikuklahv: Microsoft IntelliType'i kiirklahvide loendi kuvamine · Windowsi logo+S: suurtäheluku (CAPS LOCK) sisse- või väljalülitamine Dialoogiboksi klaviatuurikäsud · TAB: dialoogiboksi järgmise juhtelemendi juurde liikumine · SHIFT+TAB: dialoogiboksi eelmise juhtelemendi juurde liikumine · Tühikuklahv: kui praegune juhtelement on nupp, siis tühikuklahvi vajutamisel klõpsate seda nuppu; kui praegune juhtelement on märkeruut, siis tühikuklahvi vajutamisel saate ruudu märkida või tühjendada; kui praegune juhtelement on suvand, siis tühikuklahvi vajutamisel valite selle suvandi. · ENTER: sisestusklahvi vajutamine võrdub valitud nupu klõpsamisega (väikeste nelinurkadega ümbritsetud nupp) · ESC: paoklahvi (ESC) vajutamine võrdub nupu Loobu klõpsamisega
elementaarteisendustel. Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Vabad tundmatud Maatriksi astakust lahutada juhtelemendid, siis saab vabad tundmatud. Neid kasutame juhtelementide arvutamiseks. Maatriksi astak Maatriksi astak on nullist erinevate täiendusmiinorite kõrgeim järk. Astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Maatriksi rea juhtelement Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Treppkujuline maatriks Öeldakse, et maatriks on treppkujuline, kui 1. read, mis koosnevad ainult nullidest, on maatriksi põhjas (all) 2. mistahes rea juhtelement asetseb rangelt paremalt temale eelneva rea juhtelemendist Kronecker-Capelli teoreem LVS on kooskõlaline ehk lahenduv parajasti siis, kui tema maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga.
Jättes võimalikult paljude tundmatute jaoks ühe võrrandi, kus tundmatu kordaja on nullist erinev ja avaldades lõpuks üldlahend. 67.vabad tundmatud – LVS-is olevad fikseeritud reaalarvus, mis ei ole tundmatute kordajateks 68.Maatriksi astak- Öeldakse, et maatriksi A astak on r, kui selle maatriksi elementidest saame moodustada vähemalt ühe nullist erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi nullist erinevat (r+1)-järku miinorit. 69.maatriksi rea juhtelement - nimetatakse selle rea (vasakult) esimest ≠ 0 elementi. Veergu milles juhtelement asetseb, nim juhtelemendiks. 70.treppkujuline maatriks – Ütleme, et maatriks on treppmaatriks, kui on täidetud järgmised tingimused: read, mis koosnevad nullidest, asetsevad maatriksi põhjas mistahes rea juhtelement asetseb rangelt vasakul temale järgneva rea juhtelemendist 71.Kronecker-Capelli teoreem – LVS on kooskõlaline parajast siis kui tema
Juhtveeruks valida veerg, milles sihifunktsiooni kordaja on negatiivne. Kui selliseid veerge on mitu, siis juhtveeruks valitakse see veerg, milles sihifunktsiooni kordaja on väikseim negatiivne arv. 3. Juhtrea valimine. Juhtrea kindlaksmääramiseks jagatakse tingimustesüsteemi vabaliikmed bi väljavalitud juhtveeru positiivsete nullist erinevate kordajatega aij ja saadud jagatistest valitakse väikseim, millele vastav rida osutubki juhtreaks 4. Juhtelemendi leidmine. Juhtelement asub juhtrea ja juhtveeru ristumiskohal. 5. Uue tabeli väärtuste arvutamine ehk uue lubatava lahendi leidmine toimub simpleksteisendustega, mille aluseks on Gauss-Jordani elimineerimisvõte. Selleks: * kõik juhtrea elemendid jagatakse juhtelemendiga, mille tulemusena uues tabelis juhtelement saab väärtuseks +1 ; * ülejäänud ridadele liidetakse teisendatava rea juhtveerus asuva kordaja
simplekstabeli: 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 0 1 3 0 0 0 cj 1 min 2 2 1 0 1 0 0 a3, j 0 | a 3, j | | 1 | 1 2 1 1 0 1 0 Juhtrida 3 1 1 2 0 0 1 Juhtelement Juhtveerg Näide (4) 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 1 0 1 0 0 1 cj 1 min 1 1 0 2 1 0 1 a1, j 0 | a 1, j | | 2 | 2 3 0 1 0 1 1 3 1 1 2 0 0 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6
Majandusmatemaatika TEM0222 konspekt 1. Gaussi meetod e. elimineerimise meetod täpselt määratud süsteemi korral (võrrandite arv=tundmatute arv): maatriksis jäätakse kõik peadiagonaali elemendid 1ks, kõik ülejäänud elemendid muudetakse 0ks. Selleks valitakse igast reast ja veerust ühe korra juhtelement. Ühest reast või veerust mitu korda juhtelementi valida ei saa. Juhtelemendi rida lahutatakse või liidetakse teistele ridadele, et ülejäänud ridadest saada samasse veergu kus juhtelemend asub nullid. N: -1 2 1 1 ! 7 1 3 -1 1 ! 4 1 8 1 1 ! 13 11 11!6 Mittestabiilse süsteemi korral: Kasutusele tuleb Crameri valem. X1=x1(maatriks)/kogumaatriks Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea.
4 - 6 1 2 5 -9 2 + 4(-1) 2 5 1 = 4 - 6 1 Lihtsustamisel on soovitav kasutada järgmist algoritmi. 1. Valida determinandis juhtrida või veerg( soovitavalt selline, milles leidub element 1 või -1 ja mille ülejäänud elemendid oleks võimalikult väikesed; 2. valida juhtreast või veerust juhtelement, mille abil teisendatakse kõik ülejäänud juhtrea või veeru elemendid nullideks( kasutades omadusi 7 ja 8); 3. arendada determinant, kasutades teoreemi. Märkus: Kui determinandis ei esine arve 1 või -1, siis kasutatakse eelteisendust, mille tulemusena saadakse sobivad arvud. Näide: -3 7 -1 4 - 1 12 0 6 - 1 12 6 - 1 12 2 5 -9 2 7 1 - 19 0 3
Baasmuutujad- muutujad, mis on baastabelis ühikveergude kohal Vabad muutujad-ülejäänud muutujad, mis ei asu ühikveergude kohal. Põhireeglid simpleksteisendusteks: 1) Juhtveeru valik. Valitakse veerg, kus 0-nda rea kordaja on negativne ja soovitatavalt absoluutväärtuselt suurim. 2) Arvutatakse juhtveeru kõikide positiivsete elementide aij alusel suhe bi/aij (i=1,2..m) 3) Valitakse juhtrida. Juhtreaks on rida, kus suhe bi/aij on väikseim. 4) Juhtelement, mis ümbiritsetakse rõngakesega. 5) Juhtteisendused. Juhtveerg tuleb teisendada ühikveeruks, juhtlement võrdub veerus 1ga, ülejäänud elemendid on 0id. Lahendi stabiilsuse analüüs ehk teeme kindalsk, millistes piirides võib muuta esialgse sihifunktsiooni kordajaid cj (millistes piirides nad vüivad muutuda), et leitud optimaalne lahend oleks ka uue sihifunktsiooni kordajaga ülesande optimaalseks lahendiks. Tuleb teha järgmist:
kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv maatriksi astak. Leiame maatriksi astakut maatriksi elementaarteisenduste abil. Maatriksi astak ei muutu, kui maatriksile rakendada järgmisi teisendusi (maatrikselementaarteisendused): 1
Põhireeglid simpleksteisendusteks 1. Juhtveeru valik (0-nda rea kordaja on negatiivne ja absoluutväärtuselt suurim) bi 2. Arvutatakse juhtveeru kõikide positiivsete elementide aij alusel suhe aij 3. Valitakse juhtrida (rida, kus suhe on kõige väiksem ↑) 4. Juhtveeru ja juhtrea lõikepunktis on juhtelement, ümbritsetakse rõngakesega 5. Tehakse juhtteisendusi. Eesmärgiks teisendada juhtveerg ühikveeruks, sealjuures juhtelemen võrdub ühikveerus 1-ga. Selleks jagatakse juhtrida läbi juhtelemendiga ning seejärel teisendatakse juhtveerg ühikveeruks (juhelement =1, ülejäänud 0). Lahendi analüüs: Kas leidub ka teisi optimaalseid lahendeid. Kui on mitu baaasilahendile vastavate
11. omadus : suvalise rea elementide ja teise rea alamdeterminantide korrutiste summa võrdub nulliga. Näiteks, a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = 0. 2.3.Determinandi det A arvutamise algoritm 17. Valida maatriksis A juhtrida või veerg (soovitavalt selline, milles leidub element ,,1" või ,,-1" ja mille ülejäänud elemendid on absoluutväärtuse poolest võimalikult väikesed); 18. Valida juhtreast või veerust juhtelement (soovitavalt 1 või -1; kui sellist elementi maatriksis ei ole , võib selle sinna teisendada kasutades omadusi 4 ja 6); 19. Teisendada omaduste 4 ja 6 abil juhtrea või -veeru kõik elemendid peale juhtelemendi nullideks; 20. Arendada determinant kasutades omadust 10 (determinandi arendusteoreem); 21. Kui arendamisel tekib teist või kolmandat järku maatriksi determinant, siis
3.Determinandi det A arvutamise algoritm - 16 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. Valida maatriksis A juhtrida või veerg (soovitavalt selline, milles leidub element ,,1" või ,,-1" ja mille ülejäänud elemendid on absoluutväärtuse poolest võimalikult väikesed); 2. Valida juhtreast või veerust juhtelement (soovitavalt 1 või -1; kui sellist elementi maatriksis ei ole , võib selle sinna teisendada kasutades omadusi 4 ja 6); 3. Teisendada omaduste 4 ja 6 abil juhtrea või -veeru kõik elemendid peale juhtelemendi nullideks; 4. Arendada determinant kasutades omadust 10 (determinandi arendusteoreem); 5. Kui arendamisel tekib teist või kolmandat järku maatriksi determinant, siis
5 -9 2 2 5 1 4 -6 1 + 4(-1) = Lihtsustamisel on soovitav kasutada järgmist algoritmi. 1. Valida determinandis juhtrida või veerg( soovitavalt selline, milles leidub element 1 või -1 ja mille ülejäänud elemendid oleks võimalikult väikesed; 2. valida juhtreast või veerust juhtelement, mille abil teisendatakse kõik ülejäänud juhtrea või veeru elemendid nullideks( kasutades omadusi 7 ja 8); 3. arendada determinant, kasutades teoreemi. Märkus: Kui determinandis ei esine arve 1 või -1, siis kasutatakse eelteisendust, mille tulemusena saadakse sobivad arvud. Näide: - 3 7 -1 4 - 1 12 0 6 5 -9 2 7 1 - 19 0 3 - 1 12 6 - 1 12 2
5 -9 2 + 4(-1) 2 5 1 = 4 -6 1 Lihtsustamisel on soovitav kasutada järgmist algoritmi. 1. Valida determinandis juhtrida või veerg( soovitavalt selline, milles leidub element 1 või -1 ja mille ülejäänud elemendid oleks võimalikult väikesed; 2. valida juhtreast või veerust juhtelement, mille abil teisendatakse kõik ülejäänud juhtrea või veeru elemendid nullideks( kasutades omadusi 7 ja 8); 3. arendada determinant, kasutades teoreemi. Märkus: Kui determinandis ei esine arve 1 või -1, siis kasutatakse eelteisendust, mille tulemusena saadakse sobivad arvud. Näide: -3 7 -1 4 -1 12 0 6 -1 12 6
9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule: a) Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi. b) Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige vasakpoolsem nullist erinev element, millest allpool samas veerus on ainult nullid. c) Mis tahes rea juhtelement asub vasakul pool sellest reast allpool asuvate ridade juhtelementidest. Teises etapis tehakse kindlaks kas süsteem on lahenduv või mitte. a) Kui astmelisele kujule viidud laiendatud maatriksis leidub rida, kus ainsaks nullist erinevaks elemendiks on vabaliige, siis on süsteem vastuoluline. Kui sellist rida ei ole, on süsteem lahenduv. b) Kui lahenduvas süsteemis on n tundmatut ja astmelisele kujule viidud maatriksis on
teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude
annaabi.ee 
