Olgu xyz-ruumis R3 antud joon AB parameetriliste võrranditega x=x(t) y=y(t) z=z(t) tЄ[α;β], kus funktsioonid x, y ja z on sellel lõigul pidevalt diferentseeruvad. Selline joon on sirgestuv. Siledaks jooneks nimetatakse seda siis, kui need pidevad tuletised ei ole korraga nullid. Kui summal VALEM on maxΔsi korral olemas piirväärtus, sõltumata tema joone osadeks jaotamise viisist ja Qi valikust, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f joonintegraaliks kaare pikkuse järgi üle AB ehk I liiki joonintegraaliks. Seda tähistatakse: VALEM Kui funktsioon f on pidev joonel AB, siis on tal olemas I liiki joonintegraal, kusjuures kehtib valem: VALEM Kui joon AB asub z, x, y tasandil, siis nimetatakse integraali tasandiliseks. Sellisel juhul võib olla ka funktsioon f kahe muutuja funktsioon f(x,y). See esitub kujul: VALEM Parameetriline võrrand: x=x(t) y=y(t) tЄ[α;β] , siis VALEM Ristkoordinaadid: y=y(x), xЄ[a,b], siis VALEM
2. Valime igal osakaarel juhusliku punkti 3. Edasi moodustame korrutised (k=1,2,...,n). 4. Leiame summa 5. Olgu 0 ning leiame Kui eksisteerib piirväärtus ja see ei sõltu joone AB osakaarte jaotamise viisist ega punktide siis seda piirväärtust nim. funktsiooni z=f(z,y,z) esimest liiki joonintegraaliks mööda joont AB ehk joonintegraaliks kaare pikkuse järgi ja tähistatakse: (28.2.). Kui l on tasandiline joon, siis (28.2.) asemel saame integraali: Esimest liiki joonintegraali omadused: 1. Esimest liiki joonintegraal ei sõltu joone läbimise suunast, s.t. 2. Kui c on konstant, siis 3. 4. (aditiivsuse omadus) Kui C on mingi joon AB punkt, siis 5. Võttes esimest liiki joonintegraali definitsioonis f(x,y)1 saame Silinderpinna pindala.
Siis Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt [0, +lõpmatus) [0, 2). Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt [0 , +lõpmatus), [0,2) [0, ]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et:
Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt ρϵ[0 , +lõpmatus), φ ϵ [0,2Π) ψ ϵ [0, Π]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone Г osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont Г ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Г on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx – Xy)dxdy, kusjuures rajajoont Г läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et:
Olgu punkti Mi koordinaadid xi ja yi .Tähistame xi = xi - xi-1 , yi = yi -yi-1 . Valime igal osakaarel Mi-1Mi ühe punkti Pi. Moodustame summa An= [ F (Pi) xi + G (Pi) yi ]. Summat nim. Funktsioonide F ja G integraalsummaks koordinaatide järgi joonel L. Tähistame d i=Mi-1Mi. Olgu n maksimaalne arvudest d1 ,d2,..dn . Integraalsumma An piirväärtust protsessis n 0 nim funktsioonide F ja G teist liiki e joonintegraaliks koordinaatide järgi üle joone L ja tähistatakse F(x,y)dx + G(x,y)dy. L · RUUMIS :Olgu ruumis R3 antud lõpliku pikkusega joon L otspunktidega M ja N. Peale selle olgu antud kolm fünktsiooni F(P) ,G(P) ja H(P), mis on määratud iga P(x,y,z) L korral. Jaotame joone L n osakaareks punktidega M= M0, M1, M2, ...,Mn =N suunaga punkti M poolt N poole. Olgu punkti Mi koordinaadid xi , yi, zi. Tähistame xi =xi - xi-1 , yi = yi -yi-1 , zi = zi
0 k =1 ja piirv ei sõltu sellest kuidas on valitud punktid Pk joonel AB-ni ega sellest kuidas valitud punktid Qk osakaarel siis seda piirv nim f-ni f(x; y) esimest liiki B joonintegraaliks kaarepikkuse järgi. Tähistatakse: f ( x; y )ds ; f ( x; y )ds ; f ( x; y )ds . (Kui AB AB L A xk on ruumiline joon siis on f(x; y; z) ja f ( x; y; z )ds ) [AB: y=y(x) (a x b); sk =
Kui f(P) >= 0 iga P c D korral ja f c C(D) ning := {(x,y,z) c R3 | ((x,y) c D), (0 <= z <= f(x,y))}, siis piirkonna ruumalaks V jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-1Pj(j=1,...,n), siis nimetatakse seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk nimetatakse suurust V := f(P)dS. joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse X(P)dx + Y(P)dy + Z(P)dz. Kui f,g c I(D) ja c c R, siis cf(P)dS = cf(P)dS, f(P) + g(P)dS = f(P)dS + g(P)dS. Kui s on joone loomulik parameeter (kaare pikkus) st Kui D = DI DII ja DI DII koosneb vaid DI ja DII ühistest rajapunktidest, ning eksisteerivad integraalid Df(P)dS, x=x(s)
Valime igal osakaarel punkti Q i Pi 1, Pi ja moodustame summa n i 1 f Qi si. Definitsioon. Kui sellel summal on max s i 0 korral olemas piirväärtus sõltumata joone osadeks jaotamise viisist ega punktide Q i valikust, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f esimest liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks kaare pikkuse järgi üle AB ja tähistatakse n J f x, y, z ds fds lim max s i 0 i 1 f Q i s i 6 AB AB Joont AB integraalis (6) nimetatakse integreerimisteeks, punkti A nimetatakse integreerimistee alguspunktiks ja punkti B tema lõpp-punktiks. Integreerimisteed AB märgitakse ka ühe tähega L, s.o.
AB AB β ∫ ( f ( x ( t ) , y ( t ) )∗x ' + g ( x ( t ) , y ( t ) )∗y ' ) dt II liiki joonintegraal α 23.Green’i valem(mis seose annab Green’i valem?) ❑ ❑ ∬ ( g x −f y ) dxdy =∫ fdx+ gdy Annab seose, kahekordselt D L integraalilt üle minna I liiki joonintegraaliks. 24.Joonintegraali rakendusi Kaare AB pikkuse arvutamine Tasandilise joone massi määramine Tasandilise kujundi D pindala arvutamine Jõuvälja poolt tehti töö kaarel arvutamine Vedeliku stabiilne tasandiline liikumine Elektrivoolu ja magneti vaheline toime 25.Pindintegraalid(Ostrogradski ja Stokes’i valem- mis seosed need valemid annavad?) Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali
xi = xi - xi -1 y i = y i - y i -1 Def. Kui sõltumata joone AB alajaotusest ja punktide Qi valikust eksisteerib lõplik piirväärtus n lim f (Qi )si = I , kus = max si , 0 1i n i =1 siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f esimest liiki joonintegraaliks (joonintegraaliks kaare pikkuse järgi) üle joone AB . Tähistus: fds , f (P )ds AB AB Def. Kui sõltumata joone AB alajaotusest ja punktide Qi valikust eksisteerivad lõplikud piirväärtused n n lim f (Qi )xi , kus = max xi , ning lim f (Qi )y i , kus = max y i ,
n xy-tasandil antud lõpliku pikkusega joonel L otspunktidega M ja N n = f ( Pi )Vi , määratud funktsioonide F ja G joonintegraaliks üle joone L nimetatakse funktsioonide F ja G integraalsumma
Eeldused: sileda joone kaar, otspunktidega A ja B. Sellel määratud pidev funktsioon f(P), P AB (kaar võib olla nii tasandil kui ka ruumis). Konstr: jaotame kaare AB punktidega Ai n osadeks (i=0 A=A0, i=n An=B) n n = f ( Pi )S i - int. summa, S i - kaare pikkus i =1 Def: Kui int.summal leidub protsessis, kus n piirväärtus, mis ei sõltu kaare osadeks jaotamise viisist ja Pi valikust osades, öeldakse, et funk. on int.-uv kaarel AB ja int. nim. I liiki joonintegraaliks üle kaare AB lim n = f ( P)ds n AB Lause: Funktsioon on vaadeldaval kaarel integreeruv kui ta on sellel kaarel pidev. 6 OM:Esimest liiki integraal ei sõltu kaare läbimise suunast f ( P)ds = f ( P)ds
..,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki nimetatakse kahe muutja funktsiooni kriitilisteks punktideks. Kokkuvõttes võime sõnastada teoreemi.Teoreem ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Omadus 3 järeldub omadustest 1 ja 2, sest joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont Г ja 1. (Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarvilik tingumus) Kui kahe muutuja funktsioonil z = f(x,y) on punktis P0 f(x,y)-g(x,y)=f(x,y)+(-1)g(x,y). Omadus 4. Kui 𝐷 = 𝐷1 ∪ 𝐷2 ning piirkonnad D1 ja D2 ei oma ühiseid tähistatakse ∫Г 𝑋(𝑃)𝑑𝑥 + 𝑌(𝑃)𝑑𝑦 + 𝑍(𝑃)𝑑𝑧
(3.4.12) või valemite (3.4.13) ja (3.4.14) abil ning inertsmomendid Ix ja Iy valemite (3.4.15) ja (3.4.16) abil ning I0 valemi (3.4.17) või valemi (3.4.18) abil. Massi arvutamine M=lllf(x,y,z)dxdydz T Inertsmoment I0=lll(x +y2+z2)dxdydz 2 25. Joonintegraali koordinaatide järgi mõiste ja omadusi xy-tasandil antud lõpliku pikkusega joonel L otspunktidega M ja N määratud funktsioonide F ja G joonintegraaliks üle joone L nimetatakse funktsioonide F ja G integraalsumma n An = ( F ( Pi )xi + G ( Pi )yi ) , i =1 kus xi=xi-xi-1 ja yi=yi-yi-1 on joone L punktidega M=M0, M1, M2, ..., Mn=N nii, et Mi(xi,yi), n osakaareks jaotamisel saadud muudud ja Pi punkt, kusjuures Pi[Mi-1,Mi], piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di=|Mi-1,Mi| n lim An = lim ( F ( Pi ) xi + G ( Pi )yi ) = F ( x, y ) dx + G ( x, y ) dy n 0 n 0
¨ n lim f (Qj )sj , max sj 0 j=0 ~ joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust mis ei soltu osakaares Pj-1 Pj (j = 1,. . . , n), siis nimetatakse seda piirva¨ artust ¨ esimest liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks kaarepikkuse jargi ¨ funktsioonist f mo¨ oda ¨ ¨ joont ja tahistatakse f (x, y , z)ds ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 3 / 10
T¨ahistame pikima osakaare pikkust = max sk 1kn 1 Definitsioon. Kui eksisteerib piirv¨aa¨rtus lim sn 0 ja see ei s~oltu joone AB osakaarteks jaotamise viisit ega punktide Qk valikust osakaartel, siis seda piirv¨a¨artust nimetatakse funktsiooni f (x, y) esimest lii- ki joonintegraaliks u ¨le joone AB ehk joonintegraaliks kaare pikkuse j¨argi ja t¨ahistatakse f (x, y)ds AB Vahetult definitsioonist j¨arelduvad esimest liiki joonintegraali omadused. Omadus 1. Esimest liiki joonintegraal ei s~oltu joone l¨abimise suunast, st f (x, y)ds = f (x, y)ds AB BA Omadus 2
annaabi.ee 
