Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega). Kõvertrapetsi pindala leidmise valem. Newton-Leibnitzi valem. Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon l~oigul [a, b], siis kehtib valem:
sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 15. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata
silindri ruumala, mille põhi on S i ja kõrgus (Pi) Selline silinder tähistatakse Zi-ga. IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U...U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu. · Kui on pidev piirkonnas D, siiis on integraalsummal V n taolises piirprotsessis lõplik väärtus. Seda piirväärtust nim funktsiooni kahekordseks integraaliks piirkonnas D ja tähistatakse (x,y)dxdy · Olgu (x,y)0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui
Moodustame summa Y X X X Z XJ J J[ Seda summat nimetatakse funktsiooni integraalsummaks lõigul 0 , 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga , st max_ , , ... , `. Muudame lõigu 0 , 1 tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. Kui on pidev lõigul 0 , 1, siis on integraalsummal Y taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni määratud integraaliks lõigul 0 , 1 d a lim Y ( bc U 30) Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata. Olgu funktsioon lõigul 0 , 1. Eeldame, et 0
Moodustame summa Sn = f(p1)∆x1 n + f(p2)∆x2 + . . . + f(pn)∆xn = ∑ f ( pi ) ∆x1 i=1 Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga ϱn, st ϱn = max{∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud b integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse ∫ f ( x ) dx . Seega a b lim S n
. . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Seega definitsiooni kohaselt Integraali osad kannavad järgmisi nimetusi: a integraali alumine raja, b integraali ülemine raja, [a,b] integreerimislõik, x integreerimismuutuja, f integreeritav funktsioon, f(x)dx integraalialune avaldis. 33. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas
3 o Normaalvõrrandite süsteem moodustatakse järgmiste valemite abil: a xi2 + b xi = xi yi i i i ja a xi + bn = yi i i o Geomeetriliselt näitab prognoosisirge ära kas katseandmetega xi ja yi määratud punktid P(xi, yi) asuvad sellel sirgel või selle läheduses. Kahekordse integraali mõiste Kui integraalsummal eksisteerib piirväärtus protsessis n läheneb lõpmatusse, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jaotamise viisist ja punkti Pi valikust neis osades, siis nim funktsiooni w=f(x,y) integreeruvaks piirkonnas D ja integraalsumma piirväärtust nim selle funktsiooni kahekordseks integraaliks üle piirkonna D. lim=f(x,y)dxdy n> D Lause: Kui funk. on tõkestatud piirkonnas D, siis ta on integreeruv. Kahekordse integraali omadusi
Piirprotsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, leidub integraalsummal lõplik 1 ( x ) 1 ( x , y ) 3 a
Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga , st Valime igal osalõigul [] ühe punkti . Moodustame summa Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a,b] b. Määratud integraali mõiste Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga , st . Muudame lõigu [a,b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a,b], siis on integraalsummal taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a,b] ja tähistatakse Seega definitsiooni kohaselt 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. a. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem(Vihikust) 38
-1 = . a sin t sin t sin t 42. Määratud integraali mõiste: Määratud integraali mõoiste. Tähistame pikima osalõigu [xi-1; xi] pikkuse sümboliga n, st n = max{x1; x2; ... ; xn}. Muudame lõigu [a; b] tükeldust järjest peenemaks selliselt et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a; b] siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirv. Seda piirv nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse: ab f(x)dx 43. Määratud integraali omadusi: esimesed kaks ongi definitsioonid mis laiendavad määratud integraali juhule a b. 1. aa f(x)dx=0. 2. Kui a > b siis ab f(x)dx = - ab f(x)dx. Järgnev võrdsus väidab et intregreerimislõikude liitmisel integrallide väärtused liituvad: 3. ac f(x)dx = ab f(x)dx + bc f(x)dx. Summa integraal võrdub integraalide
14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. a. Funktsiooni f integraalsumma lõigul : b. Määratud integraal: b.i. Definitsioon 1: b.i.1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga b.i.2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. b.i.3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. b.ii. Definitsioon 2: Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest
Integreerime seda avaldist 3. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 36. See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 38. Kõvertrapetsi leidmine Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega , kusjuures 1
. . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Seega definitsiooni kohaselt 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. Kui F(jõud) on konstantne, siis avaldub töö valemiga A = F(b - a) Kui F ei ole konstantne, siis tuleb töö arvutamisel kasutada integreerimist. Idee on järgmine: jaotame vaadeldava
Määratud integraali mõiste.Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Seega definitsiooni kohaselt 37Kui F(jõud) on konstantne, siis avaldub töö valemiga A = F(b - a)
S n=f ( p 1 ) x1 + f ( p 2 ) x2 +...+ f ( pn ) x n= f ( pi ) x i Seda summat nimetatakse funktsiooni f i=1 integraalsummaks lõigul [a,b] Määratud integraali mõiste Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n , st n=max { x 1 , x 2 ,... , x n } . Muudame lõigu [a,b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a,b], siis on integraalsummal S n taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a,b] ja tähistatakse b f ( x ) dx Seega definitsiooni kohaselt a f ( x ) dx=¿ lim S n n 0 b ¿ a 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. 38. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem.
Valime igal osalõigul [xi−1, xi ] ühe punkti pi . Moodustame summa Sn = f(p1)∆x1 + f(p2)∆x2 + . . . + f(pn)∆xn = Xn i=1 f(pi)∆xi Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga %n, st %n = max{∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus %n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse ʃ b a f(x)dx . Seega definitsiooni kohaselt ʃ b a f(x)dx = lim%n→0 Sn . 37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. Liikugu materiaalne objekt x-teljel punktist a punkti b. Mõjugu temale jõud F, mis üldiselt sõltub koordinaadist x, st F = F(x)
Viies vdu võrduse teisele poolele same udv = uv - vdu . (5.6) Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. ja maaratud integraali moisted. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Wikipediast Olgu f(x) reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatud funktsioon lõigus [a, b], siis määratud integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x = a ja x = b piiratud kujundi märgiga pindalaga, s.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega.
. . + f (pn )xn = f (pi )xi . (5.15) i=1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks l~oigul [a, b]. M¨ a¨ aratud integraali m~ oiste. T¨ahistame pikima osal~oigu pikkuse s¨ umboliga n , st n = max{x1 , x2 , . . . , xn }. Muudame l~oigu [a, b] t¨ ukeldust j¨arjest peenemaks selliselt, et pikima osal~oigu pikkus n l¨aheneb nullile. Kui f on pidev l~ oigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis l~oplik piirv¨a¨artus. 118 Seda piirv¨a¨artust nimetatakse funktsiooni f m¨ aa¨ratud integraaliks l~oigul [a, b] ja t¨ahistatakse b f (x)dx . a Seega definitsiooni kohaselt b f (x)dx = lim Sn
i=1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks l~oigul [a, b]. M¨ a¨aratud integraali m~ oiste. T¨ahistame pikima osal~oigu pikkuse s¨ umboliga n , st n = max{x1 , x2 , . . . , xn }. Muudame l~ oigu [a, b] t¨ ukeldust j¨arjest peenemaks selliselt, et pikima osal~oigu pikkus n l¨aheneb nullile. Kui f on pidev l~oigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis l~oplik piirv¨a¨artus. 118 Seda piirv¨a¨artust nimetatakse funktsiooni f m¨ a¨aratud integraaliks l~oigul [a, b] ja t¨ahistatakse b f (x)dx . a Seega definitsiooni kohaselt b
annaabi.ee 
