61. Mis on pööriseline elektriväli? Lähtudes Faraday elektromagnetilise induktsiooni seadusest, tuletage alltoodud valem. 63. Esitage Maxwelli võrrandid integraalkujul. 64. Tuletage laengu võnkumise võrrand võnkeringi jaoks.Lähtuge Ohm'i seadusest suletud ahela kohta. 65. Joonistage ainult aktiivtakistust sisaldava vahelduvvoolu ahela vektordiagramm. On antud pinge. Milline on vool? 66. On antud ahelale rakendatud pinge. Milline on vool selles ahelas? Mis on induktiivtakistus? Joonistage induktiivsust sisaldava ahela vektordiagramm. 67. Milline on vool ahelas? Mis on mahtuvustakistus? Joonistage vastav vektordiagramm. 68
ulatuses, on paljude protsesside juures väga tähtis just tiheduse jaotus (nii horisontaalne kui vertikaalne jaotus).Keskkonna tiheduse sõltuvust seda määravatest parameetritest nimetatakse olekuvõrrandiks. Merevee puhul määravad tiheduse temperatuur (T), soolsus (S) ja rõhk (p). Seega on merevee tihedus funktsioon kolmest muutujast: = (T , S , p) (5.1) Merevee olekuvõrrand integraalkujul Praktilistes arvutustes kasutatakse olekuvõrrandit integraalkujul, mille saamiseks arendatakse eriruumala või tihedus Taylori ritta mingi punkti ümber (näiteks S = 35 , T = 0 ºC ja p = p a = 1013.25 mbar.Merevee tiheduse arvutamiseks on tänapäeval välja töötatud küllaltki täpsed empiirilised valemid. Teatud eeldustel on võimalik arvutada tihedus lihtsustatud valemite abil, nagu näiteks Lineikini valem: ( T , S , p ) = 1 + 10 -5 ( 6.89T - 0.918T 2 - 0
Tõestus Kui ja on integreeruvad lõigul , siis on integreeruvad ka ja . Kahe integreeruva funktsiooni korrus on integreeruv, seega on integreeruv Integreerime lõigul 23. Taylori valemi jääkliikme integraalkuju Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n- järku Taylori valemi f(x) = Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul 24. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid: Kui f(x) , siis . Kui f(x) , siis .
ajamuutuja t on likvideeritud. Leides komplekssed lahendid Ê(x, y, z) and H(x, y, z), mis rahuldavad kõiki Maxwelli võrrandeid, millede sinusoidaalne ajast sõltuvus on võimalik taastada korrutades iga ruumist jt sõltuvat lahendit Ê ja H teguriga e ning saame reaalosa kujul Võib näidata, et rakendades analoogset protseduuri komplekssetele amplituudidele saame komplekssed aeg-hormoonilised Maxwelli võrrandid integraalkujul. Edasi viime sisse kompleksse dielektrilise läbitavuse. Teisendame esimest võrrandit (2.3.6) kasutades (2.3.7) Seega komplekssele dielektrilisele läbitavusele vastab suurus Kus suhet nimetatakse kaonurga tangensiks. On näha, et 7. Lainevõrrandid. Elektrodünaamilised potentsiaalid. http://study.risk.ee/files/2011/06/lainevaljad.pdf 5.1 & 5.2 3. ELEKTROMAGNETILISED LAINED 1. Lainelise protsessi mõiste.
Gaas teeb tööd siseenergia arvel , kus qsoojushulk(J),Atöö(J),ivabadusastmete arv,nmoolide arv,Runiversaalne gaasikonstant 8,314J/mol, T x temperatuur (K), prõhk(Pa), Vruumala(m3), =Cp/Cv 24)Maxwelli võrrandid Maxwelli võrrandid määravad seosed elektriliste ja magnetiliste nähtuste vahel ja väljade seosed väljaallikatega. Maxwelli võrranditest järeldub elektromagnetlainete olemasolu. Maxwelli võrrandeid võib kasutada nii diferentsiaal kui ka integraalkujul, mõlemad on samaväärsed. Kirjeldus Integraalne kuju Diferentsiaalkuju Koguvoolu Kõik kinnise joonega ümbritsetud seaduse üldistus pinda läbivad voolud võtavad osa magnetvälja tekitamisest sellel joonel Elektromagnetilise Elektrivälja tugevuse tsirkulatsioon induktsiooni piki suletud kontuuri on võrdeline seaduse üldistus seda kontuuri läbiva magnetvoo
() ( ) 14. M¨a¨aratud integraali aditiivsuse omadus t ~oestusega. f(x) = =0 ! ( - ) + ( )()Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv 15. Lebesgue'i teoreem. Konstantse funktsiooni integreeruvus. Pideva funktsiooni lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul integreeruvus. 1 (+1) ( )() = ()( - ) Monotoonse funktsiooni integreeruvus. U¨ ks lausetest to~estada. ! 16. N¨aidata, et 17
funktsiooni f(x) uurime. TÕESTUS Kuna me tahame tõestada võrdust '(x) = f(x), siis oleks vast hea avaldada definitsiooni järgi '(x): ( x + x ) - ( x ) lim '(x) = x 0 x Integraali ülemine rada omab x lisamisel seega väärtuse (x+x) . Samas muutus x võrra see lõik, mille piires uurime integreeritavat funktsiooni f(x). Üritame tuletises selle murrujoonepealse avaldise ka integraalkujul kirja panna. Tasa ja targu, avaldame muudu integraalkujul: x x+ x a a Et (x) = f(t) dt , siis (x+x) = f(t) dt x+ x x a a ja seega (x+x) - (x) = f(t) dt - f(t) dt Lähme edasi: kuna (x+x) - (x) tähistab funktsiooni muutu, siis saab selle kohmaka avaldise tähistada lühidalt .
Järelikult selline muutuv elektriväli on pööriseline nagu magnetväli. 62. Mis on nihkevool? Kasutades alltoodud lähtepunkte, tuletage nihkevoolu avaldis. Igasugune elektrivälja muutus kutsub esile pööriselise muutuva magnetvälja tekke. Vaatame kondensaatorit vahelduvvoolu ahelas. Kuna kondensaatori plaatide vahel puudub juhtiv keskkkond, siis eeldame seal nn. nihkevoolu olemasolu. Juhtmetes on siis nn. juhtivusvool. 63. Esitage Maxwelli võrrandid integraalkujul. 1) Elektriväli võib olla nii potentsiaalne, kui ka pööriseline. See võrrand näitab, et muutuva elektrivälja allikaks on muutuv magnetväli. 2) Tsirkulatsiooniteoreem ehk üldistatud koguvooluseadus. See võrrand näitab, et magnetvälja põhjustab liikuv laeng või muutuv elektriväli. 3) Gauss'i teoreem elektrivälja jaoks. 4) Gauss'i teoreem magnetinduktsiooni vektori jaoks. Tähistab fakti, et magnetlaenguid ei eksisteeri. 64. Tuletage laengu võnkumise võrrand võnkeringi jaoks
Järelikult selline muutuv elektriväli on pööriseline nagu magnetväli. 62. Mis on nihkevool? Kasutades alltoodud lähtepunkte, tuletage nihkevoolu avaldis. Igasugune elektrivälja muutus kutsub esile pööriselise muutuva magnetvälja tekke. Vaatame kondensaatorit vahelduvvoolu ahelas. Kuna kondensaatori plaatide vahel puudub juhtiv keskkkond, siis eeldame seal nn. nihkevoolu olemasolu. Juhtmetes on siis nn. juhtivusvool. 63. Esitage Maxwelli võrrandid integraalkujul. 1) Elektriväli võib olla nii potentsiaalne, kui ka pööriseline. See võrrand näitab, et muutuva elektrivälja allikaks on muutuv magnetväli. 2) Tsirkulatsiooniteoreem ehk üldistatud koguvooluseadus. See võrrand näitab, et magnetvälja põhjustab liikuv laeng või muutuv elektriväli. 3) Gauss'i teoreem elektrivälja jaoks. 4) Gauss'i teoreem magnetinduktsiooni vektori jaoks. Tähistab fakti, et magnetlaenguid ei eksisteeri. 64. Tuletage laengu võnkumise võrrand võnkeringi jaoks
(-rA.V)+U.A. erineb 1st järgust -erinevate reaktsioonide puhul võib -põhimõtteliselt ei erine homogeensete reaktori--te diferentsiaal ja integraalkujul?-Fj0+ Rj-Fj= dNj/dt reaktsioonide jaoks neid kasutatakse?-Termin (T0-T)=CA0.V.CPs.dT/dt:-entalpiavoog sisse-
𝑥 𝑘 + (𝑅𝑛 𝑓)(𝑥). *Diferentsiaali omadusi: Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. 12)b) Kui n+1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a,x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga 𝑑𝑦 piirprotsessi ∆𝑥 → 0. ; 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 ; 𝑑(𝑓 + 𝑔) = 𝑑𝑓 + 𝑑𝑔 ; 𝑑(𝑓 ∙ 𝑔) = 𝑑𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑑𝑔 ;
G ( x +h )−G ( x )= ∫ f ( t ) dt−∫ f (t ) dt = ∫ f ( t ) dt . Kui M = , siis|G ( x +h ) −G(x)|≤ ∫ f ( t ) dt ≤ M |h| | | Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul ( ) x a a x 1 x
dJ=Fdt Jõu impulsiks lõplikus ajavahemikus nimetatakse elementaarimpulsside integraalsummat Jõusüsteemi peavektori impulss võrdub üksikute jõudude impulsside geomeetrilise summaga. 24. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem diferentsiaalkujul. Valem. Süsteemi liikumishulga tuletis aja järgi võrdub kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetrilise summaga ehk välisjõudude peavektoriga. dK/dt=sum(Fe) lüh K'=Fe 25. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem integraalkujul. Valem. Süsteemi liikumishulga muutus mingis ajavahemikus võrdub kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude impulsside geomeetrilise summaga samas ajavahemikus. Valem: (eelmise integraal) K1-K0=sum(Jke) 26. Panna lühidalt kirja kõik järeldused süsteemi liikumishulga teoreemist. 1.Süsteemis mõjuvad sisejõud ei saa mõjutada süsteemi summaarset liikumishulka. Seda saavad mõjutada ainult süsteemile mõjuvad välisjõud. 2. süsteemi liikumishulga jäävuse seadus
201. Kuidas arvutada mehaanikalise süsteemi liikumishulka? 202. Mida nimetatakse jõu impulsiks? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Vektoriaalne suurus. 203. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem diferentsiaalkujul. Valem. Süsteemi liikumishulga tuletis aja järgi on võrdne kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetrilise summaga ehk peavektoriga. dK = Fdt 204. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem integraalkujul. Valem. Süsteemi liikumishulga muutus mingis ajavahemikus võrdub kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude impulsside geomeetrilise summaga samas ajavahemikus. J = Fdt 205. Panna lühidalt kirja järeldused süsteemi liikumishulga teoreemist. 1) Sisejõududega süsteemi summaarset liikumishulka muuta ei saa. 2) Kui välisjõudude geomeetriline summa on võrdne 0-ga, siis süsteemi liikumishulk jääb suuruse ja summa poolest samaks.
201. Kuidas arvutada mehaanikalise süsteemi liikumishulka? 202. Mida nimetatakse jõu impulsiks? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Vektoriaalne suurus. 203. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem diferentsiaalkujul. Valem. Süsteemi liikumishulga tuletis aja järgi on võrdne kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetrilise summaga ehk peavektoriga. dK = Fdt 204. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem integraalkujul. Valem. Süsteemi liikumishulga muutus mingis ajavahemikus võrdub kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude impulsside geomeetrilise summaga samas ajavahemikus. J = Fdt 205. Panna lühidalt kirja järeldused süsteemi liikumishulga teoreemist. 1) Sisejõududega süsteemi summaarset liikumishulka muuta ei saa. 2) Kui välisjõudude geomeetriline summa on võrdne 0-ga, siis süsteemi liikumishulk jääb suuruse ja summa poolest samaks.
Valem. Süsteemi liikumishulga tuletis aja järgi võrdub kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude dK geomeetrilise summaga ehk välisjõudude peavektoriga. =Fe dt 217. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem integraalkujul. Valem. Süsteemi liikumishulga muutus mingis ajavahemikus võrdub kõigi süsteemile mõjuvate t1 välisjõudude impulsside geomeetrilise summaga samas ajavahemikus. K1 - K 0 = Fdt 0 218
Näeme, et populatsiooni kasvukiirus on positiivne senikaua, kui N < K. Tingimusel N = K on populatsioon nullkasvus (N on ajas stabiilne), kui N > K on kasv negatiivne, st populatsiooni isendite arv on languses. Matemaatilises mõttes on keskkonna kandevõime seega populatsiooni maksimaalne võimalik stabiilne tihedus ehk populatsioonitiheduse asümptood. Viimast saab märkida populatsioonitiheduse teljele graafikul, kus piiratud kasvu võrrand on integraalkujul esitatud. Piiratud kasvu võrrandis on seega kaks muutujat (N, t) ja kaks liigiomast parameetrit (r, K). Viimased on olulised liigi põhilisi kohastumusi väljendavat suurused. Kui r on kõrge, siis liik on kiire paljuneja, kui K on kõrge, siis liik kasutab ressursse efektiivselt ja ökosüsteemis on korraga võimelised elatuma ning paljunema suur hulk isendeid. K kujuneb evolutsioonis välja kui sündivuse ja suremuse tasakaal teatava populatsioonitiheduse juures. Mõlemad võivad
n f (k) (a) f (x) = (x - a)k + (Rn f )(x). k! k=0 ¨ Kui (n + 1)-jarku ~ tuletis on integreeruv loigul [a, x], siis ja¨ akliige ¨ on esitatav integraalkujul x 1 (Rn f )(x) = f (n+1) (t)(x - t)n dt n! a Lagrange' kuju saame kasutades keskva¨ artusteoreemi ¨ (c (a, x)) x
annaabi.ee 
