kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
....................................... 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10
....................................... 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10
ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Arvrida k nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida k| koondub. Absoluutselt koonduva rea igaümberjärjestus koondub samaks summaks. Koonduvat arvrida k nimetatakse tingimisi koonduvaks, kui ta ei koondu absoluutselt. Tingimisi koonduval real k , ak∈ R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või ∞ või -∞. 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus. Funktsionaalreaks nimetatakse rida ΣUK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kϵN on funktsioonid ΣUK:Xk→Yk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (X≠tühihulk) Fikseerides argumendi X0 ϵ X väärtuse saame arvrea Uk(X0) ϵ R Σ UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0ϵX, kui koondub arvrida Σ UK(x0)
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (P E x + Q y + R z )dxdydz . kus pindintegraal on võetud üle pinna väliskülje. 24 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §6. FUNKTSIONAALREAD 1. Funktsionaalrea mõiste, koonduvuspiirkond, omadusi Def. Funktsionaalreaks nimetatakse rida u (x ) = u (x ) + u (x ) + ... + u (x ) + ... , n =0 n 0 1 n mille liikmed u n (x ) n = 0,1,... on mingil hulgal X määratud funktsioonid u n = u n (x ) .
Fourier' koosinusrida: Suvaline funktsioon f(x), mis on lõigul [0, l] integreeruva ruuduga, on sel lõigul ( lim 𝑘 = 𝛾 ≠ 0) ⇔ (∀𝜀 > 0∃𝑘0 = 𝑘0 (𝜀): | 𝑘 − 𝛾| < 𝜀(𝑘 ≥ 𝑘0 ). Võime piirduda juhuga k0=1. Et | 𝑘 − 𝛾| < 𝜀 ⇔ −𝜀 < 𝑘 − 𝛾 < 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane ∫−𝑙 √𝑙 𝑙
moodustatud rida u1+ u2+...+un+... . Kui aga muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... koondub, kuid tema liikmete absoluutväärtustest moodustatud rida u1+ u2+ ...+un+... hajub, siis nim. antud muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... tingimisi ehk mitteabsoluutselt koonduvaks. Absoluutse koonduvuse mõiste abil formuleeritakse teoreem 39.1. sageli järgmiselt: iga absoluutselt koonduv rida on koonduv rida. 17. Funktsionaalrida, selle koonduvuspiirkond, funktsionaalrea summa: vastavate mõistete definitsioonid. Rida u1+ u2+...+un+... nim. funktsionaalreaks, kui tema liikmed on argumendi x funktsioonid. Argumendi x nende väärtuste hulka, mille puhul funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks. On ilmne, et rea koonduvuspiirkonnas on rea summa suuruse x mingi funktsioon. Seetõttu märgitakse funktsionaalrea summat sümboliga s(x).
Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? = a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral. Koondub kui on täidetud tingimused: 1) = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi TEOORIAKÜSIMUSED nr 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid. = u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summe S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 2. Mis on astmerida?
Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks. 63. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? = =a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral, koondub kui on täidetud tingimused: 1) lim a = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi. 64. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summa S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 65. Mis on astmerida
Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa Koonduva ja hajuva rea mõiste Mis on diskonteerimine? Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D’Alemberti tunnus Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Mis on astmerida? Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida. Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Teooriaküsimused nr. 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? 2. Mis on astmerida? 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
Def: koonduvat rida (U), mille (U ) rida hajub, nim tingimisi koonduvaks. Riemanni teoreem: tingimisi koonduval real leidub alati niisugune ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt ette antud arv S, mis võib olla ka või - Funktsionaalrida ja tema koonduvuspiirkond DEF: Rida, mille liikmed on mingi argumendi funktsioonid: n =1 un(x)= u1(x)+ u2(x)+ ...+un(x)+... nimetame funktsionaalreaks (u(x)). un(x)- funktsionaalrea üldliige. Olgu liikmed un(x) määratud piirkonnas X on reaalarvude hulk. Iga xo puhul piirkonnas X saame arvrea: n =1 un(xo)= u1(xo)+ u2(xo)+ ...+un(xo)+... Koonduvusküsimused: 1.Kui rida koondub lim S n ( x0 ) = S ( x0 ) DEF: Kõigi nende argumendi väärtuste hulka, mille puhul funktsionaal reale vastav arvrida (u(xo)) on koonduv nimetatakse vaadeldava funktsionaal rea koonduvus piirkonnaks. (See on alamhulk) xo kuulub koonduvuspiirkonda
. . . . . 150 6.3.6 Abeli ja Dirichlet’ koonduvustunnused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.4 Ridade ümberjärjestused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.5 Funktsionaalread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.5.1 Funktsionaalridade punktiviisi ja ühtlane koonduvus . . . . . . . . . 156 6.5.2 Funktsionaalrea summa omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.6 Astmeread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.6.1 Astmerea koonduvuspiirkond. Cauchy–Hadamardi teoreem . . . . . . 160 6.6.2 Astmerea summa omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.3 Funktsiooni Taylori rida . . . . . . . . . . . . . . . .
Sn (x) = uk (x) k=1 on samuti muutuja x funktsioonid, mis moodustavad funktsionaaljada S1 (x), S2 (x), . . . , Sn (x), . . . (8.13) Definitsioon. Argumendi x v¨a¨artuste hulka X, mille korral osasummade jada (8.13) koondub, st S(x) = lim Sn (x), (8.14) n nimetatakse funktsionaalrea (8.11) koonduvuspiirkonnaks. Sellisel juhul ¨oeldakse, et S(x) on funktsionaalrea (8.11) summa ja kirju- tatakse S(x) = uk (x). k=1 Viimase v~orduse asemel v~oime kirjutada n S(x) = uk (x) + uk (x) k=1 k=n+1
annaabi.ee 
