arvuga; 2) süsteemi suvalisele võrrandile liidetakse juurde mistahes arvuga korrutatud mingi teine võrrand samast süsteemist. Teoreem Võrrandisüsteemist (3) lõpliku arvu teisendustega 1) ja 2) saadud võrrandisüsteem on samaväärne esialgsega. Gaussi meetod Teoreemist selgub, et teisenduste 1) ja 2) rakendamine võrrandisüsteemile on samaväärne võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi ridade elementaarteisendustega. On lihtne näha, et kui võrrandisüsteemi maatriks A on nullmaatriks, siis peab tema lahenduvuseks olema ka vabaliikmete maatriks b nullmaatriks. Sel korral on lahendiks suvaline n-mõõtmeline aritmeetiline vektor. 1 0 0 0 1 0 Maatrikseid käsitleval loengul sõnastatud teoreemi kohaselt on maatriks A ridade 0 0 1
a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n asendamisel vabaliikmete veeruga. xj = = Kui r=n siis on täidetud A A.............. an1an 2. .d n . .ann Crameri peajuhu tingimused *m=n *D ei=0-ga ning seega on süsgteemil üks lahend, mis esitatakse Crameri valemitega: xk = Dk /D (k=1,2,..n) Gauss-selle puhul maatriksi AL ridadele rakendatavate elementaarteisendustega teisendatakse allpool peadiagonaali asuvad elemendid nullideks ja avaldatakse siis lahend. täisdiferentsiaal-dw=Wxdx+Wydy+Wzdz (osatuletised liita)
ridade arv. Vastasel juhul ei saa maatriksite korrutist arvutada. Üldiselt AB BA (omadus). Maatriksi astak, selle leidmine. Näide Def. Kui Maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor (maatriksi ühistest ridadest ja veergudest moodustatud determinant), kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis on maatriksi astak r. Seega m x n-maatriksile r m, n. Maatriksi astaku leidmiseks teisendatakse maatriksit elementaarteisendustega (mis ei muuda maatriksi astakut) nii, et tema nullist erinev kõrgemat järku miinor tuleb maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Maatriksi elementaarteisendused (ei muuda maatriksi astet): 1. maatriksi rea (veeru) korrutamine nullist erineva arvuga, 2. maatriksi reale (veerule) mingi arvu kordse teise rea (veeru) liitmine, 3. maatriksi kahe rea (veeru) ümbervahetamine. Nt: [1,3,5,4; [1,3,5,4; [1,3,5,4; |1 3 | = -7 0
determinandi. Saadud determinanti nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema kõrgeimat järku nullist erineva miinori järku; tähis: r(A) = rank(A) Maatriksi ridade elementaarteisendused (veergude puhul analoogilised): 1. mingile reale skalaarikordse mingi teise rea juurde liitmine 2. mingi rea korrutamine nullist erineva skalaariga (3. kahe rea omavaheline vahetamine) Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisendustega, siis r(A) = r(B) Maatriksi A astaku r(A) leidmiseks teisendatakse see maariks ridade ja veergude elementaarteisendustega selliseks maatriksiks B, mille astak r(B) on maatriksi B kujust hõlpsasti leitav. (r(B) suurune ühikmaatriks, ülejäänud nullid) 21. Teoreem maatriksi astakust (tõestusega). Järeldusi sellest. Kui maatriksi A astak on k, siis maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut reavektorit, millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik reavektorid.
Andes C-le mingi väärtuse, nt C=1, siis saame süsteemi ühe lahendi, mida nim erilahendiks. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Tundmatute maatriks Ja vabaliikmete maatriks A on kordajate ehk süsteemimaatriks. AX=B X=A-1B Nt: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule. Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi. Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige vasakpoolsem nullist erinev element, millest allpool samas veerus on ainult nullid. Teises etapis tehakse kindlaks kas süsteem on lahenduv või mitte. Kui astmelisele kujule viidud laiendatud maatriksis leidub rida, kus ainsaks nullist erinevaks elemendiks on vabaliige,
1.3. Maatriksite elementaarteisendused Maatriksite elementaarteisendusteks kuuluvad: 8. maatriksi kahe rea ümberpaigutamine; 9. suvalise maatriksirea korrumanine arvuga (mis ei ole võrdne nulliga); 10. suvalise maatriksi reale liitmine selle maatriksi teine rida korrutatud arvuga Kaks maatriksit A ja B on ekvivalentsed, kui üks neist on saadud teise maatriksi elementaarteisendustega ja kirjutatakse: A ~ B . Elementaarteisendustega saab suvalist maatriksit viia kujule, kus peadiagonaali alguses on ainult"1" ja kõik ülejäänud elemendid on ,,0". Niisugust maatriksit nimetatakse kanooniliseks : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 - kanooniline matriks Näide . 0 0 0 1.4. Maatriksite omadused 1) A + B = B + A; 2) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ;
- 3 - 6 -18 24 15 - 30 1.3. Maatriksite elementaarteisendused Maatriksite elementaarteisendusteks kuuluvad: 1. maatriksi kahe rea ümberpaigutamine; 2. suvalise maatriksirea korrumanine arvuga (mis ei ole võrdne nulliga); 3. suvalise maatriksi reale liitmine selle maatriksi teine rida korrutatud arvuga Kaks maatriksit A ja B on ekvivalentsed, kui üks neist on saadud teise maatriksi elementaarteisendustega ja kirjutatakse: A ~ B . Elementaarteisendustega saab suvalist maatriksit viia kujule, kus peadiagonaali alguses on ainult"1" ja kõik ülejäänud elemendid on ,,0". Niisugust maatriksit nimetatakse kanooniliseks : -5- Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1 0 0 0 0 1 0 0 Näide
. . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A) või kujul, mida nimetatakse tema arendiseks l-nda veeru järgi: | A | = a1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + . . . + a n l A n l , l = 1, 2, . . . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi
. . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A) või kujul, mida nimetatakse tema arendiseks l-nda veeru järgi: | A | = a1 l A 1 l + a 2 l A 2 l + . . . + a n l A n l , l = 1, 2, . . . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi
Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. maatrikskuju: AX = B. võrrand, kus maatriks ise on otsitavaks. süsteemil on üks lahend, kui süsteemi maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 (detA on nullist erinev) ja võrrandeid ja tundmatuid on ühepalju (m = n). lahend avaldub: X = A-1B näiteks: Crameri valemid: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule: a) Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi. b) Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige vasakpoolsem nullist erinev element, millest allpool samas veerus on ainult nullid. c) Mis tahes rea juhtelement asub vasakul pool sellest reast allpool asuvate ridade juhtelementidest.
Ilmselt r k, r n ning v.t.a. = n - r = (n - k) + (k - r) >0 Seega on teoreemi eeldustel LVS-i u¨ldlahendis v¨ ahemalt u ¨ks vaba tundmatu. Siit j¨areldubki, et antud juhul leidub LVS-il mittetri- viaalseid lahendeid. 7 Gaussi meetod N¨ uu¨d selgitame LVS-ide lahendamist elementaarteisendustega, mi- da kirjanduses tuntakse ka Gaussi 3 meetodi nime all. 7.1 LVS-ide ekvivalentsus ¨ Oeldakse, et LVS-id on ekvivalentsed ehk samav¨a¨ arsed, kui neil on u ¨hesugused lahendihulgad, s.t esimese LVS-i iga lahend on teise LVS-i lahendiks ja vastupidi, teise LVS-i iga lahend on esimese LVS-i lahendiks. LVS-ide ekvivalentsuse t¨ahistamiseks kasutame s¨umbolit 3 Carl Friedrich Gauss (1777-1855), saksa matemaatik
2.6 Cramer'i peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7 Gauss'i elimineerimise meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Süsteemi üldlahend ja erilahend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Kontrolltöö teemad 1. Pöördmaatriks ja selle leidmine ridade elementaarteisendustega. Maatriksvõrrandite lahendamine. 2. Maatriksi astaku leidmine. 3. Gauss'i meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Süsteemi üld- ja erilahendi leidmine. Eksamiteemad 1. Pöördmaatriksi mõisted. Ruut-, ühik- ja nullmaatriks. Regulaarne ja singulaarne maatriks. 2. Maatriksi astak ja selle leidmine. 3. Lineaarvõrrandisüsteemi mõiste, lahend, süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 4. Kronecker'i-Capelli teoreemi sõnastus. Cramer'i peajuht. 5
annaabi.ee 
