Mis on hulga tükeldus? Hulga tükeldus on selle hulga mittelõikuvate osahulkade hulk, millel on kindlat omadused. Millest tükeldus koosneb? Tükeldus kui hulkade hulga elementideks ehk mittelõikuvateks osahulkadeks on ekvivalentsisuhte kõik ekvivalentsiklassid. Mis on tükelduse plokk? Tükelduse koosseisu kuuluvaid ekvivalentsiklasse nimetatakse ka tükelduse plokkideks ehk tükelduse tükkideks. Millisel juhul on kaks hulgaelementi ekvivalentsed? Ühte ekvivalentsiklassi kuuluvad hulgaelemendid on ekvivalentsed. Millised omadused on tükelduse osahulkadel? Hulga tükelduseks pole mitte iga tema suvaline mittelõikuvate osahulkade hulk vaid ainult kindlate omadustega osahulkade hulk. Kolm tingimust: Ükski plokk pole tühi hulk Mistahes kaks plokki ei oma ühisosa. Kõikide plokkide ühend võrdub tükeldatud hulgaga. Tükeldust märgitakse kompaktsemal kujul P={{abe}{cd}}(P=Õpikus toodud näitega). Seega
ekvivalentsiks. Nt samasusrelatsioon; olgu X kõigi lausearvutusevalemite hulk. Loeme, et kaks valemit on relatsioonis R parajasti siis, kui nad on samaväärsed. Niisugune relatsioon on ekvivalents; fikseerime täisarvu n, olgu täisarvude hulgal määratud relatsioon R, mis kehtib kahe täisarvu a ja b puhul parajasti siis, kui need arvud on annavad arvuga n jagades sama jäägi. b. Defineerime hulga X iga elemendi x X jaoks tema ekvivalentsiklassi relatsiooni R järgi: [x]R = {y X | xRy}. Näide: Olgu X lausemuutujatest A ja B moodustatud lausearvutuse valemite hulk ja FRK tähendagu valemite F ja G samaväärsust. Siis valemi F ekvivalentsiklass on kõigi temaga samaväärsete ainult muutujaid A ja B sisaldavate valemite hulk. Selgitasime välja, et hulk X jaguneb 16 ekvivalentsiklassiks. c. Teoreem hulga jaotumisest ekvivalentsiklassideks:
Teoreem 1. 1. Iga hulga korral kehtib: 2. Kõikide hulkade ja korral kehtib: kui , siis . 3. Kõikide hulkade , ja korral kehtib: kui ja , siis . Tõestus. 1. Hulgal defineeritud samasusteisendus () = seab hulga üksühesesse vastavusse iseendaga. 2. Kui , siis leidub bijektsioon : . Funktsiooni pöördfunktsioon -1 on siis samuti bijektsioon 3. Kui ja , siis leiduvad bijektsioonid : ja : . Nende kompositsioon : on siis samuti bijektsioon. Hulga võimsuseks nimetatakse tema ekvivalentsiklassi seose ~ järgi. Võimsusi nimetatakse ka kardinaalarvudeks. Hulga võimsuse jaoks kasutatakse tähiseid ||, ja . Loenduvad hulgad Hulka nimetatakse loenduvaks, kui leidub üksühene vastavus naturaalarvude hulga ja hulga vahel. Seega loenduvad on parajasti need hulgad , mida saab esitada kujul ={1,2,3,...}. Näiteid 1. Täisarvude hulk ja paaris-naturaalarvude hulk on loenduvad hulgad. 2. Igasugune hulga lõpmatu osahulk on ise loenduv ning sama võimsusega kui naturaalarvude hulk . 3
Algebralised, mis seovad muutujate iga ajahetke väärtusi omavahel. 2. Diferentsiaalvõrrandid, mis seovad muutujaid kirjeldavaid ajafunktsioone. 3.Lineaarsed võrrandid, mis võivad sisaldada liikmetena vaid muutujaid esimeses astmes, muutujate korrutisi konstantsete või ajast sõltuvate parameetritega ning liikmete summasid-vahesid. 4. Mittelineaarsed kõik, mis ei ole lineaarsed. Abstraktne süsteem on konkreetsete süsteemimudelite ekvivalentsiklassi ühtne esindaja, milles on säilitatud matemaatilised funktsionaalsed seosed ja võrrandid, kuid on kõrvaldatud muutujate ja parameetrite füüsikaline või muu päritolu ning igasugused mõõtühikud. Abstraktset süsteemimudelit kasutades on hõlpus käsitleda mudeli teisendamise, analüüsi ja ajaliste protsesside arvutamise meetodeid puht-matemaatiliste ülesannetena. Kui abs
qj lähtudes võib automaat samu sõnu aktsepteerida. Seega on ekvivalentsiklassiks hulkade ühend. Basically .. kuna automaadi olekute hulk on lõplik, on lõplik ka ekvivalentsiklasside hulk. Piisavuse tõestus: Olgu H ekvivalentsiklassid C0, .., Cm. Koostame automaadi olekutega Q = {Ci} i = 0,..,m. Algolekuks saab ekvivalentsiklass, mis sisaldab tühja sõna (C0 = {e, ...}). Kui aga ekvivalentsiklass sisaldab keele sõna, siis kuulub sellesse ekvivalentsiklassi terve keel (xe kuulub keelde ja ye kuulub keelde). Klassist Ck sagu lõppolek. Kui x ja y kuuluvad ühte ekvivalentsiklassi, siis kuuluvad sinna ka terminaali a korral xa ja ya. Automaati lisame iga oleku Ci ja iga terminaali a jaoks kaare olekusse Cj. Nii tagame, et (w,C0) * (e,Ck) mis tähendab, et automaat aktsepteerib keele mis omakorda tähendab, et keel on regulaarne. 13. KV-keelte süntaksi- ja tuletuspuud. Süntaksipuu:
omadused. 4. Millest tükeldus koosneb? Tükelduse elementideks on ekvivalentsisuhte kõik ekvivalentsiklassid. 5. Mis on tükelduse plokk (ehk tükelduse tükk)? Tükelduse koosseisu kuuluvaid ekvivalentsiklasse nimetatakse ka tükelduse plokkideks ehk tükelduse tükkideks. 6. Millisel juhul on kaks hulgaelementi (konkreetse ekvivalentsisuhte kohaselt) ekvivalentsed? Kaks hulgaelementi on ekvivalentsed, kui nad kuuluvad ühte ekvivalentsiklassi. 7. Millised omadused on tükelduse osahulkadel? Ükski plokk pole tühi; mistahes kaks plokki ei oma ühisosa; kõikide plokkide ühend võrdub tükeldatud hulgaga. 8. Milliseid tehteid saab tükeldustega teha? Tükeldustega saab teha tehteid: liitmine, korrutamine ja võrdlustehted. 9. Kas erinevate hulkade tükeldustega saab teha tehteid? Omavahel liita, korrutada ja võrrelda saab ainult sama hulga tükeldusi. 10. Mis on tükelduste korrutiseks või tükelduste summaks? 11
2) Transitiivsus - Kui esimene seotud vektor on ekvivalentne teisega ning teine kolmandaga siis on ka esimene ja kolmas seotud vektor omavahel ekvivalentsed. 3) Sümmeetria - Kui üks seotud vektor on ekvivalentne teise seotud vektoriga, siis on ka teine ekvivalentne esimesega. Ekvivalentsiklass - Seotud vektoriga AB E 0 ekvivalentsete seotud vektorite hulka { : ~ AB } nimetame ekvivalentsiklassiks moodustajaga AB . Ekvivalentsiklassi moodustajaga AB tähistame abil. Seega := { : ~ AB }. Vabavektor ehk vektor Hulga E elemente, täpsemalt hulga ekvivalentsiklasse, nimetame edaspidi vabavektoriteks ehk lühidalt vektoriteks. Nullvektor - Vektorite summa . Vektorite ja y summaks nimetatakse vektorit z E, mis saadakse järgmisel teel: 1) valime mingi punkti A E ning leiame sellise punkti B E, et AB ;
mudeli võrrandite tüüpilisi liike: 1.Algebralised, mis seovad muutujate iga ajahetke väärtusi omavahel. 2. Diferentsiaalvõrrandid, mis seovad muutujaid kirjeldavaid ajafunktsioone. 3.Lineaarsed võrrandid, mis võivad sisaldada liikmetena vaid muutujaid esimeses astmes, muutujate korrutisi konstantsete või ajast sõltuvate parameetritega ning liikmete summasid-vahesid. 4. Mittelineaarsed kõik, mis ei ole lineaarsed. Abstraktne süsteem on konkreetsete süsteemimudelite ekvivalentsiklassi ühtne esindaja, milles on säilitatud matemaatilised funktsionaalsed seosed ja võrrandid, kuid on kõrvaldatud muutujate ja parameetrite füüsikaline või muu päritolu ning igasugused mõõtühikud. Abstraktset süsteemimudelit kasutades on hõlpus käsitleda mudeli teisendamise, analüüsi ja ajaliste protsesside arvutamise meetodeid puht-matemaatiliste ülesannetena. Kui abs.mudelit ei saa realiseerida
oluliselt testija kompetentsusest. 5.5 Liigitus testimiseks kasutatavate andmete valiku meetodi järgi Sisendi/väljundi ekvivalentsiklassid ja piirjuhud Ekvivalentsiklasside ja piirjuhtude analüüs (equivalence partitioning) on kõige laialdasemalt kasutatav meetod musta kasti testilugude koostamiseks. Programmi sisendi ja väljundi põhjal leitakse ekvivalentsiklassid ehk andmete piirkonnad, mille siseselt programm töötleb andmeid ühte moodi. Kui ekvivalentsiklassi üks väärtus leiab vea, siis leiab vea ka suvaline teine väärtus ekvivalentsiklassist, eeldusel, et klassid on õigesti määratletud. Analoogne on olukord, kui väärtus ei leia viga. See omadus võimaldab testida programmi toimimist valides 1-2 väärtust igast ekvivalentsiklassidest. Ekvivalentsiklasside piiridele jäävaid väärtusi nimetatakse piirjuhtudeks ning neid tuleb reeglina testida eraldi.
1.Algebralised, mis seovad muutujate iga ajahetke väärtusi omavahel. 2. Diferentsiaalvõrrandid, mis seovad muutujaid kirjeldavaid ajafunktsioone. 3.Lineaarsed võrrandid, mis võivad sisaldada liikmetena vaid muutujaid esimeses astmes, muutujate korrutisi konstantsete või ajast sõltuvate parameetritega ning liikmete summasid-vahesid. 4. Mittelineaarsed kõik, mis ei ole lineaarsed. Abstraktne süsteem on konkreetsete süsteemimudelite ekvivalentsiklassi ühtne esindaja, milles on säilitatud matemaatilised funktsionaalsed seosed ja võrrandid, kuid on kõrvaldatud muutujate ja parameetrite füüsikaline või muu päritolu ning igasugused mõõtühikud. Abstraktset süsteemimudelit kasutades on hõlpus käsitleda mudeli teisendamise, analüüsi ja ajaliste protsesside arvutamise meetodeid puht-matemaatiliste ülesannetena. Kui abs.mudelit ei saa realiseerida konkreetse süsteemina, siis peab formuleerima sellised piirangud või
Süsteemi matemaatilise mudeli liigid: 1.Algebralised, seovad omavahel muutujate iga ajahetke väärtusi. 2. Diferentsiaalvõrrandid, seovad muutujaid kirjeldavaid ajafunktsioone. 3. Lineaarsed võrrandid, võivad sisaldada liikmetena vaid muutujaid esimeses astmes, muutujate korrutisi konstantsete või ajast sõltuvate parameetritega ning liikmete summat ja vahet. 4. Mittelineaarsed ehk kõik mis ei ole lineaarsed. 5. Abstraktne süsteem on konkreetsete süsteemimudelite ekvivalentsiklassi ühtne esindaja, milles on säilitatud matemaatilised funktsionaalsed seosed ja võrrandid, kuid on kõrvaldatud muutujate ja parameetrite füüsikaline või muu päritolu ning mõõtühikud. Abstraktset süsteemimudelit kasutades on lihtne käsitleda mudeli teisendamise, analüüsi ja ajaliste protsesside arvutamise meetodeid puht- matemaatiliste ülesannetena. Kui abstraktset mudelit ei saa realiseerida konkreetse süsteemina, siis
ekvivalentsusseose R korral aRb a A b A (a , b) A × A . Seega antud juhul R=U = A × A , s.t kõige jämedamale klassijaotusele {A} vastab kõige laiem ekvivalentsusseos ehk universaalne seos A×A . Meenutame, et hulki Aja B nimetatakse ekvivalentseteks, kui leidub bijektsioon f : A B . Tähis on A B või ¿ A¿B¿ . Varasemast teame ka, et seos on ekvivalentsusseos. Definitsioon Hulga võimsuseks nimetatakse tema ekvivalentsiklassi seose järgi. Olgu H mingi ¿ A¿ [ A ]={ X H : X A } hulkade hulk, siis . Definitsioon Seost R hulgal A nimetatakse järjestusseoseks, kui ta on (a) refleksiivne, s.t kui aRa iga a A korral; (b) antisümmeetriline, s.t kui aRb ja bRa , siis a=b ; (c) transitiivne, s.t kui aRb ja bRc , siis aRc . Kui R on järjestusseos, siis asjaolu aRb märgitakse a b või samaväärselt ba .
seotud vektoriga. Definitsioon 13.9 Seotud vektorit AB nimetame ekvivalentseks seotud vektoriga CD, tähistame AB CD abil, kui |AB| = |CD| ja AB CD. 13.2 Vabavektorid Definitsioon 13.10 Seotud vektoriga AB ekvivalentsete seotud vektorite hulka {XY | XY AB} nimetame ekvivalentsiklassiks moodusta- jaga AB. Viimast tähistame AB abil. Seega AB := {XY | XY AB}. Märkus 13.7 Seotud nullvektorid moodustavad omaette ekvivalentsiklassi 0 := {XX | X E}. Definitsioon 13.11 Tähistame E3 = {XY | XY E3 }, E2 = {XY | XY E2 } Siin mõtleme, et näiteks ruu- mi E3 (punktide) poolt moo- ja dustatud seotud vektorite ruu-
annaabi.ee 
