y ' = lim = lim = lim = lim x x x x x xx( x + x) x x( x + x) -1 1 Määramispiirkonna lähendamine nullile: y ' = lim = - 2 TULETIS x x( x + x) x · Mõningate funktsioonide ja nende tuletiste seoseid: · Pöördvõrdeline seos x-i astendajate suurenemisega: Pöördvõrdelises seoses kehtib x-i astendajate suurenemisel funktsiooni ja tema tuletise vahel järgmine seos: 1 1 1 1 1 1 1 y ........ x x2 x3 x4 x5 x6 xn
K : v = 4 2,5-1 = 41,5 = 4 2 = 4 3 = 2 3 = 8 v=p Vastus : x = 2,5 6) Kirjutatakse välja vastus 2. Lihtsustatavad võrrandid (kasutatakse, kui võrrandis on liikmeid rohkem kui 2 ning astendajas on pluss- või miinusmärke) Näide: 5 x +3 -5 x =124 1) Kui astendajas on plussmärk, kirjutatakse 5 x 5 3 -5 x =124 astendajate summa asemel astmete korrutis 5x =t 2) x sisaldav aste asendatakse muu tähega t 125 -t =124 124t =124 : 124 3) Lahendatakse tuttava kujuga võrrandit t =1 5 x =1 5 x = 50 4) Asendatakse tagasi x sisaldav aste x =0 5) Kasutatakse asmealuste võrdsustamise võtet K : v =5 0 +3 -5 0 = 125 -1 = 124 5) Kontrolli tegemine on kohustuslik
8.klass Õpitulemused Näited 1.Hulkliige - üksliikmete summa üksliikmed: ; ; ; 2.Hulkliikme liikmed ja kordajad - korrastatud hulkliige liikmed: üksliikmed, mille liitmisel hulkliige moodustub liikmed on ; -2 ; kordaja: iga liikme ees olen arv kordajad on 1; -2; 1 3.Korrastatud hulkliige - järjestada hulkliikme liikmed muutujate astendajate summa kahanemise järjekorras, võrdsete astendajate summa puhul lähtuda tähestikust, liikmed normaalkujulised, võimalusel koondada 4.Kaksliige - hulkliige, milles on kaks mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe hulkliikme liikmed kirjutatakse teise järel samade märkidega 7
161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täheline osa jääb muutmata NB koondada saab sarnaseid üksliikmeid selgitus: sarnased on esimene ja teine liidetav, neid saab koondada (täheline osa ei muutu), viimane liidetav jääb nii nagu antud 6.Astmete korrutamine - ühe ja sama alusega astmete korrutamisel astendatakse alus antud astendajate summaga = = 7.Üksliikmete korrutamine - kasutatakse võrdsete alustega astmete korrutamise eeskirja, = kusjuures enne tuleb tegurid sobivalt järjestada ja rühmitada 8.Korrutise astendamine - iga tegur astendatakse = eraldi ja tulemused korrutatakse = 9.Astme astendamine - alus astendatakse astendajate korrutisega = 10.Üksliikmete astendamine - toetume korrutise (
Võrrandi viimine ühe ja sama alusega astmete võrdusele. Lahendamiseks kasutatakse järgnevate võrrandite samaväärsust: a f ( x) = a g ( x) f ( x) = g ( x), a > 0, a 0. Näide Lahendame võrrandi 0,125 x -1 = 2 4 x. 0,125 x -1 =2 4x (1 / 8) x -1 =2 4x (2 -3 ) x-1 = 2 4 x 2 -3 x + 3 = 2 4 x Võrdsete alustega astmete võrdsusest järeldub astendajate võrdsus: - 3x + 3 = 4 x 3 = 7 x x = 3/ 7 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi lahendamine 2. Kui eksponentvõrrand on ax või af(x) suhtes algebraline võrrand, siis lahendame selle vastavalt ax või af(x) suhtes , millega taandame antud eksponentvõrrandi ühele või mitmele võrrandile kujul ax= b või af(x) = b.
Raha kas õnn või õnnetus Inimesed tahavad ikka raha. Raha on ju väga tore paber, mille eest saab endale soetada nii mõndagi: pastaka, kuue, auto, maja või midagi uhkemat. Kuid kas ainult rahast piisab, et olla ka õnnelik ? Eduard Vilde loomingust võib leida nii mõnegi tõese vastuse sellele küsimusele. E.Vilde romaani ,,Mäeküla piimamees" sündmustik toimub ühes väikses külas, mida valitseb mõisnik Kremer. Peategelaseks on Tõnu Prillup, vaene talumees, kes elab nigelas majakeses koos Mari ja kahe lapsega. Kremer tegi Prillupile väga ahvatleva pakkumise. Kremer tahtis n-ö vahetuskaupa teha: ta pakkus Tõnule rikkust ning meiereid, vastu nõudis ta Mari. Prillup nägi viimaks võimalust rikastuda ning sõlmitigi leping. Kaup nagu kaup ikka, mõlemad pooled olid rahul ning nägid selles kasu. Ehkki võis tunduda, et Tõnu tegeles mingil määral inimkaubandusega. Igaühel tekib kindlasti küsimus, kuidas ta oma...
( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 4) Ruutkolmliikme lahutamist teguriteks: ax + bx + c = a( x - x1 )( x - x 2 ) 2 Ruutvõrrandi lahendivalem - b ± b 2 - 4ac x= 2a 5) Seoseid astmete ja astendajate kohta: 1 a m a n = a m+n a0 = 1 a -m = m a a m : a n = a m-n a1 = a m a n = n am ( ) n a m = a m n 6) Rühmitamist: = = = ( 3a 4 + a 3 - 6a - 2 a 3 ( 3a + 1) - 2( 3a + 1) ( 3a + 1) a 3 - 2 3a + 1 )
Prootonite potentsiaal on suurem hüdroksiidide omast. Punkt b tähistab aga ekvivalentruumala väärtust. Teisel on see kalde muutumispunkt ning lisatakse tugevat alust nõrgale happele. Kolmandal on see teine kalde muutumispunkt, ning lisatakse tugevat alust kahe happe segule, millest üks on nõrk. Nernsti võrrand Kineetika potentsiaalide kaudu Kineetika põhipostulaat k-kiiruskonstant; v-reaktsiooni kiirus; x,y-järgud Järk lihtainete kontsentratsioonide astendajate summa ongi järk. Seda saab määrata ka muude meetoditega. Meetodid määramiseks astendaja meetod, poolestusaja meetod, mudelite proovimise meetod, katseline meetod 7 Füüsikaline keemia Kristian Leite Materjalid/ainet andis Kalju Lott Poolestusaeg aeg, mis kuulub poole lähteaine reageerimiseks Pöörduva reaktsiooni konstantide seos
Lahendita - 2 sin 2 x - 7 sin x - 3 = 0 Ruutvõrrandist : 2) sin x = -0,5 t1 = -3; t 2 = -0,5 arcsin ( - 0,5) = -30 0 ( ) Vastus : x = ( - 1) - 300 + n 180 0 , n Z n 4. Homogeensed võrrandid Võrrandi iga liidetava trigonomeetriliste funktsioonide astendajate summa on ühesugune. Lahendamiseks jagatakse kõik liikmed läbi ülesandes esineva kõrgeima astendajaga koosinusega. 3 cos x + 5 sin x = 0 : cos x Näide: 3 cos x 5 sin x + =0 5 tan x = -3 : 5 arctan ( - 0,6) = -310 cos x cos x tan x = -0,6 Vastus : x = -310 + n 180 0 , n Z 3 + 5 tan x = 0 Näide: 4 sin x + 2 sin x cos x = 3 2 (
omavahel jagada, siis 1 1 a b , kulutused jagunevad samas proportsioonis px * 2 2 bc b ab kasulikkusfunktsiooni astendajatega: mida suurem on ühe hüvise koguse astendaja teise hüvise koguse astendajaga võrreldes, seda rohkem tarbija hüvise ostmiseks suhteliselt kulutab. Tuletagem meelde, et astendajate suhe näitas eelistatust! Ülesanne 1.5. Ratsionaalselt käituv tarbija on oma eelarve jaganud kahest hüvisest koosnevate tarbimiskomplektide ostmiseks nii, et kummagi komplekti ostmiseks on 12 ühikut raha. Olgu kõigi hüviste hinnad võrdsed ( pi 3, i 1,...,4 ) . Komplekt A koosneb hüvisekogustest q1 ja q2 , kusjuures eelistusi nende suhtes väljendab kasulikkusfunktsioon u A ( q1 , q2 ) q1 q22 . Komplekt B
MPH K L H . Inimkapitali H kasvu korral selle piirtootlikkus väheneb (tuleneb H 9 tehniliselt H negatiivsest astendajast eelnevas valemis). Tavaline kahaneva piirtootlikkuse printsiip (ehk kui ettevõttes tarkade juhtide arv kasvab, kuid tegelike töötegijate hulk mitte, siis ei saa suurt tulude kasvu loota…) c) Kui suur osa kogu rahvatulust läheb töötajatele? Siinse Cobb-Douglas tüüpi funktsiooni korral, kus tegurite astendajate summa =1, näitabki iga astendaja vastavale tootmistegurile mineva tulu osakaalu: ehk siis tööjõule L läheb 2/9 kogutulust ja inimkapitalile H läheb 4/9 kogutulust. Korrektsed arvutused: töötajate osa kogu rahvatulust = töötajate kogupalk (st töötajate arv korda reaalpalgamäär, mis omakorda võrdub tööjõu piirproduktiga) jagatud kogutulu: w L MPL L (2 / 9 K 1 / 3 L7 / 9 H 4 / 9 ) L 2
võrratuse lahendamise üldise eeskirja. Niisiis: võrratuse lahendamisel leitakse algul selle MP, seejärel teisendatakse võrratust liikmete üleviimise abil nii, et selle parem pool osutub nulliks. Nüüd on võrratuse teine pool üldiselt mitme avaldise korrutis ja/või jagatis. Viimasest võib ära jätta kõik ruutjuured ja alati positiivsed tegurid (näiteks alati positiivsed 5 ruutkolmliikmed jne); paarituarvuliste astendajate korral võib ära jätta astendaja. Kõik alati negatiivsed tegurid võib asendada arvuga -1. Järgnevalt leitakse kõigi ülejäänud tegurite nullkohad (lahendades vastavad võrrandid) ning kantakse need arvteljele. Seejärel tõmmatakse pidev kõverjoon, mis lõikab arvtelge ainult sellele eelnevalt kantud punktides (nullkohtades) x1, x2, x3, ... nagu järgmisel joonisel. + + +
nimetatakse reaktsiooni kiiruse võrrandiks: r f(c A ,c B ,c D ,c E ,...,c N ) r kA B .... L Ideaalses süsteemis: = kcAcB......cL (1.17) Kiiruse võrrandis on k kiiruskonstant ning , ja on täisarvud või pool täisarvud. Kiiruskontsant k on funktsioon temperatuurist ja rõhust, aga rõhu sõltuvus on väike ja üldiselt seda eiratakse. Astendajate summa( + +...+ = n) määrab reaktsiooni kui terviku järgu. Kiiruskonstandi ühik on 1/s. Elementaarreaktsioonis kiirus võrdub: r k A B k A a B b ( aA+bB=dD+eE) A B Kus A ja B on stöhhiomeetrilised koefitsendid( -A = a ja -B = b) Stöhhiomeetriliste koef. summa moodustab reaktsiooni molekulaarsuse. ( A B ...) i reakent
➢ Homogeensed reaktsioonid: reageerivate ainete iseloom, temperatuur, reageerivate ainete kontsentratsioon, katalüsaatorid. ➢ Heterogeensed reaktsioonid: kõik tegurid samad, mis homogeenstel reaktsioonidel, kokkupuutepinna suurus, tahkiste struktuur (poorsus jm) 80. Reaktsiooni mehhanism (molekulaarsus). 81. Reaktsiooni järk. Keemilises kineetikas on üldine reaktsiooni järk kineetilises võrrandis olevate ainete kontsentratsioonide astendajate summa. Reaktsiooni järk kindla aine suhtes on selle aine kontsentratsiooni astendaja. Reaktsiooni järk on tähtis liige kineetilises võrrandis, seega tal on määrav roll reaktsiooni kiiruste uurimisel ja määramisel. 82. Katalüüs ja katalüsaator. Toime selgitus. Näide. 83. Redoksreaktsioonide mõiste. Reaktsioone võib liigitada oksüdatsiooniastme muutuseta ja muutusega kulgevateks reaktsioonideks. Neid nimetatakse redoksreaktsioonideks. Redoksreaktsioonides toimub
kiiruskonstant. See ei sõltu ainete kontsentratsioonidest ega muutu ajas. Kiirusevõrrand. N2O5 lagunemise kiirus = k*N2O5 kontsentratsioon. Võrrandid, mis väljendavad reaktsiooni tõelise kiiruse sõltuvust ainete kontsentratsioonidest. Reaktsiooni järk. Kiirus = konstant * kontsentratsioona; kus astendaja a on reaktsiooni järk Kõige sagedamini on reaktsioonid: (all). Kui kiirus sõltub mitme reagendi kontsentratsioonist, nagu kiirus = k[A]a[B]b... siis reaktsiooni summaarne järk on astendajate summa a+b+... - nulljärku (a=0, kiirus = k), reaktsioonikiirus ei sõltu lähteainete kontsentratsioonidest - esimest järku (a = 1, kiirus = k[A]), kontsentratsioon väheneb ajas eksponentsiaalselt: ln [A]t/[A]t = -k*t [A]t = [A]0e-kt - teist järku (a = 2, kiirus = k[A]2); lähteaine kontsentratsiooni saab arvutada võrranditest: 1/[A]t – 1/[A]0 = kt; [A]t = [A]0/1+kt[A]0 Pseudo-esimest järku reaktsioon. Kui ühte lähteainet on suures
reaktsiooni maksimaalseks molekulaarsuseks 3. Lihtreaktsiooni molekulaarsus määratakse vahetult Arrheniuse võrrandi võib esitada veel kahel kujul: reaktsiooni põhjal. Liitreaktsiooni molekulaarsus määratakse iga staadiumi jaoks eraldi, kuna k 2 -E 1 1 molekulaarsus näitab üksiku reaktsiooni mehhanismi. Reaktsiooni järk astendajate summa k =A e -E RT ja ln = -
leida, et näiteks , Kahtlaselt lähedal arvule 1, kas pole? Tuleb välja, et ükskõik, mis arvu me võtame astmesse 0, saame vastuseks 1. Selle taga on muidugi ka kena matemaatiline põhjendus, millest võite lugeda lisapea- tükist [lk 117]. 114 Irratsionaalarvuline aste Irratsionaalarvuliste astendajate jaoks ei ole senisest intuitsioonist suurt kasu – näi- teks on päris raske vastata küsimusele, mitu korda ma pean korrutama arvu 2, et arvu aste saada arv või arv . Siiski on neistki võimalik rangelt ja täpselt mõtelda, tuleb lihtsalt muuta oma vaa- tenurka. Sellest võib täpsemalt juba lugeda eksponentsiaalfunktsiooni peatükist [lk 280]
y = - = =- x + x x x(x + x) x(x + x) ja tuletise definitsiooni j¨argi 1 -1 1 = lim = - 2 = -x-2 . x x0 x(x + x) x Viimased kaks n¨aidet viitavad sellele, et astmefunktsiooni tuletise valem (2.2) kehtib mitte ainult naturaalarvulise astendaja korral vaid ka negatiivsete ja murruliste astendajate puhul. Viiendaks y = sin x. Leiame funktsiooni muudu y = sin(x + x) - sin x = sin x cos x + cos x sin x - sin x = cos x sin x - sin x(1 - cos x). Tuletise definitsiooni abil saame piirv¨a¨artuse omadusi kasutades, et cos x sin x - sin x(1 - cos x) (sin x) = lim = x0 x cos x sin x sin x(1 - cos x) = lim - =
annaabi.ee 
