umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ). Defineerime A ja B vahelise kauguse j¨argmise valemiga: |AB| = (a1 - b1 )2 + (a2 - b2 )2 + . . . + (am - bm )2 . (6.1) ¨ Uhe- kahe- ja kolmem~o~otmelisel juhul v~ordub valemiga (6.1) antud kaugus punk- tide A ja B vahele t~ommatud sirgl~oigu pikkusega. Kauguse omadused. 1. A = B siis ja ainult siis kui |AB| = 0. 2. |AB| = |BA|. 3. |AB| |AC| + |CB|. Parameetrilised jooned ruumis Rm . Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud m funkt- siooni x1 = 1 (t), x2 = 2 (t), . . . , xm = m (t). Vaatleme nende funktsioonide
. . , an-1 , an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe pol¨ unoomi jagatis a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn R(x) = . b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm-1 xm-1 + bm xm K~oik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua u ¨sna lihtsaid n¨aiteid. N¨aiteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside'i funktsioon, mis on defineeritud j¨argmise eeskirjaga: { 1 kui x 0, (x) = 0 kui x < 0. 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Para- meetrilisel kujul antud jooned ja funktsioonid. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsioon v~oib olla kas ilmutatud v~oi ilmutamata kujul
. . , an-1 , an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe pol¨ unoomi jagatis a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an-1 xn-1 + an xn R(x) = . b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm-1 xm-1 + bm xm K~oik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua u ¨sna lihtsaid n¨aiteid. N¨aiteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside'i funktsioon, mis on defineeritud j¨argmise eeskirjaga: 1 kui x 0, (x) = 0 kui x < 0. 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Para- meetrilisel kujul antud jooned ja funktsioonid. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsioon v~oib olla kas ilmutatud v~oi ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f (x) ilmutatud
koordinaati (a, b)), kus a on v˜oetud reaalteljelt ja b imaginaarteljelt. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu algebraline kuju Definitsioon Kompleksarvu z esitusviisi z = a + bi nimetatakse kompleksarvu z algebraliseks kujuks. Definitsioon Kompleksarvu z = a + bi mooduliks nimetatakse arvu |z|, mis leitakse j¨argmise seosega: |z| = a2 + b2 . Moodul |z| ≥ 0 on reaalarv ja see kujutab endast komplekstasandil asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kaaskompleksarv Definitsioon Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z¯ = a − bi.
Uus integreerimisl˜oik koosneb funktsiooni u = ϕ(x) v¨a¨artustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel ¨ule kogu esialgse integreerimisl˜oigu [a, b]. Uhtlasi on uue integraali alumine raja v˜ordne ¨ u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele a ja ¨ulemine raja on v˜ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele b. Seega on uue integraali alumine raja ϕ(a) ja ulemine raja ϕ(b). Kokkuv˜ottes saame j¨argmise valemi: b φ(b) ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ψ ( u ) ] ψ ' ( u ) du . a φ(a) b b a a | ∫ udv=uv ba −∫ vdu
Teoreem v¨aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Kui funktsioonid f ja g on l~oigul [a,b] pidevad, vahemikus (a,b) diferentseeruvad ja iga x (a,b) korral kehtib v~orratus g'(x) 0, siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f(b) - f(a) /g(b) - g(a)=f'(c)/ g'(c) T~oestus. Defineerime j¨argmise funktsiooni: Arvutame: F(a) = f(a) (f(b)-f(a)/ g(b)-g(a))* (g(a) - g(a)) = f(a), F(b) = f(b) - f(b)-f(a)/ g(b)-g(a) *(g(b) - g(a)) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a). Seega F(a) = F(b). ¨Uhtlasi on F(x) pidev l~oigul [a,b] ja diferentseeruv va- hemikus (a,b). J¨arelikult rahuldab F(x) Rolle'i teoreemi eeldusi. Rolle'i teo- reemi p~ohjal leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et F'(c) = 0. Valemist leiame funktsiooni F(x) tuletise: F'(x) = f'(x) - f(b) - f(a) /g(b) - g(a) *g'(x).
lausega 2. T~oestame veel omaduse 5). Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga A - B := A + (-B) Maatrikstehete omadusi illustreerib h¨asti j¨argmise teoreemi t~oestus. orrandi A + X = B ainus lahend on X = B - A. Teoreem 4. V~ oestus. N¨aitame k~oigepealt, et B - A on v~orrandi lahend: T~ A + (B - A) = A + B + (-A) = A + B + (-1)A = 1A + (-1)A + B = [1 + (-1)]A + B = 0A + B = 0 + B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t A + Y = B. Siis Y = 0 + Y = (-A + A) + Y = -A + (A + Y ) = -A + B = B + (-A) = B - A ¨tlebki, et lahend B - A on ainus. mis u
Arvupaaride hulka {(x, y)| x X y = f (x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. Anal¨ uu¨tiliselt esitatud funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku ligikaudseks skit- seerimiseks koostatakse esiteks funktsiooni tabel x0 x1 ... xi ... xn f (x0 ) f (x1 ) ... f (xi ) ... f (xn ) kus xi = a + ih (i = 0; 1; . . . ; n) ja h = (b - a) /n. J¨argmise sammuna kantakse punk- tid Pi (xi , f (xi )) (i = 0; 1; . . . ; n) xy -tasandile ja u ¨hendatakse seej¨arel sujuva joonega. Analoogiliselt toimub funktsiooni y = f (x) (x [a, b]) graafiku skitseerimine arvuti abil, kusjuures kasutatakse mingit graafikapaketti. Ka sel korral tuleb m¨a¨arata punk- tide arv, milles arvutatakse funktsiooni f v¨a¨artus. Saadud punktide u ¨hendamiseks xy -
sij = vit wtj = yti xjt = xjt yti . (1.34) t=1 t=1 t=1 Valemite (1.33) ja (1.34) v~ordlemisel saame uij = sij , i Nr , j Np = (XY ) = Y X . 20 2. PERMUTATSIOONID See paragrahv on vajalik ainult j¨argmise paragrahvi jaoks. Meie uuri- misobjektiks on naturaalarvude alamhulk Nn , erijuhul n¨aiteks N1 ja N2 . Tegelikult v~oib hulga Nn asemel v~otta mistahes n erinevast naturaalarvust koosneva hulga Hn . T¨ahistame edaspidi tema elemente kasvavas j¨arjekorras h1 , h2 , ..., hn abil. Seega Hn = {h1 , h2 , ..., hn }, kus h1 < h2 < ... < hn . Meie j¨argnevad arutlused on antud, kui hulga Hn osas on hulk Nn . Analoogiliselt saab need arutlused kirja panna hulga Hn korral.
sij = vit wtj = yti xjt = xjt yti . (1.34) t=1 t=1 t=1 Valemite (1.33) ja (1.34) v˜ordlemisel saame uij = sij , ∀ i ∈ Nr , ∀ j ∈ Np =⇒ (XY ) = Y X . ♠ 20 2. PERMUTATSIOONID See paragrahv on vajalik ainult j¨argmise paragrahvi jaoks. Meie uuri- misobjektiks on naturaalarvude alamhulk Nn , erijuhul n¨aiteks N1 ja N2 . Tegelikult v˜oib hulga Nn asemel v˜otta mistahes n erinevast naturaalarvust koosneva hulga Hn . T¨ahistame edaspidi tema elemente kasvavas j¨arjekorras h1 , h2 , ..., hn abil. Seega Hn = {h1 , h2 , ..., hn }, kus h1 < h2 < ... < hn . Meie j¨argnevad arutlused on antud, kui hulga Hn osas on hulk Nn . Analoogiliselt saab need arutlused kirja panna hulga Hn korral.
Kuna f (a) ∈ V , siis f (U ) ⊂ V . J¨arelikult on f pidev punktis a. 4.3 Hom¨ oomorfism Kui vaadelda topoloogilisi ruume X ja Y ainult topoloogia seisukohalt (sageli v˜oib neil lisaks antud olla ka muid seo- seid, n¨aiteks algebralisi), siis on neid ruume m˜oistlik lugeda topoloogiliselt samav¨a¨arseteks, kui nende vahel eksisteerib sel- line u¨ks¨uhene vastavus, milles u ¨he ruumi lahtisele hulgale vastab teise ruumi lahtine hulk ja vastupidi. Nii j˜outaksegi j¨argmise m˜oisteni. ¨ Definitsioon 4.5 Oeldakse, et topoloogilised ruumid X ja Y on hom¨ oomorfsed ja t¨ahistatakse X ≈ Y , kui lei- dub selline bijektiivne kujutus f : X −→ Y , et ruumi X iga alamhulga A korral hulk A on lahtine parajasti siis, kui tema kujutis f (A) on lahtine ruumis Y . Vastavat kujutust f nimetatakse hom¨ oomorfismiks. Teoreem 4.20 Topoloogilised ruumid X ja Y on hom¨ oomorf-
ilmselt laent¨ahendused35 . 7 t¨ahendus on taas laen harvakasutatavast m¨ argist, mille p~ohit¨ahendusekson `laiali loopima' (). Uksnes¨ jaapani keeles esinevad t¨ahendused ( t¨ahenduses `paar, paari- tama, vastastikku asetama') tulenevad j¨arjestatuse m~oistest. Shirakawa m¨argi et¨umoloogia abil v~oiks kujutada m¨argi eri t¨ahenduste vahelisi seoseid j¨argmise skeemina: looma k¨ app kui vapra s~odalase ehe (t¨ahendus 6) ehe kui au- ja tunnusm¨ ark, mis osutab inimese vaprusele, m¨a¨arab hierarhia s.t. j¨ arjestatuse ja t¨o¨ou ¨lesanded (t¨ahendused 1, 2, 8, 1, 2, 3, 4, 5.) t¨ o¨o ja kohustused igap¨aevane, tavaline, j¨amedakoeline (t¨ahendused 2). Seega m¨argi algt¨ahendus `metslooma k¨app' on v~oimaldab luua mingi seose hilisemate t¨ahenduste vahel
lim y = b 0 xa Teoreem 5.7. Kui punkti a mingis u ¨mbruses y z ja on olemas piirv¨a¨artused lim y ning lim z, siis lim y lim z. xa xa xa xa T~oestus. Kui y z, siis y -z 0 ja teoreemi 5.6 p~ohjal ka lim (y -z) 0. xa Aga siis j¨arelduse 5.4 p~ohjal lim y - lim z 0, mis t~oestabki v¨aite. xa xa 12 J¨argmise teoreemi jaoks vaatleme piirprotsessis x a kolme muutuvat suurust u = u(x), v = v(x) ja w = w(x). Teoreem 5.8. Kui punkti a mingis u ¨mbruses u w v ja v~ordsed piirv¨a¨artused lim u = b ning lim v = b, siis ka lim w = b xa xa xa T~oestus. Kui u w ja w v, siis teoreemi 5.7 p~ohjal lim u lim w ja xa xa lim w lim v. Eelduse j¨argi lim u = b ning lim v = b, seega
annaabi.ee 
