matemaatika suursaavutusi. Teos sisaldab geomeetria kõige varasema loogiliselt range ülesehituse. Selle 13nest raamatustt I VI on pühendatud planimeetriale, VII IX aritmeetikale, X ühismõõdututele suurustele, XI XIII stereomeetriale. Eukleidese poolt kasutatud teoreemide tõestamisviis on püsinud tänaseni. Iga tõestus algab eelduse ja väite esitamisega. Seejärel antakse tõestus koos viitamisega neile varem tõestatud lausetele või aksioomidele, millele rajaneb väite õigeks tunnistamine. Iga tõestus lõpeb sõnadega mida oligi tarvis tõestada. Eukleidesel oli võetud laused, mis oli aluseks ja millele rajanes kogu tema suurteos. Põhilaused jagas Eukleides kolme kategooriasse: definitsioonid, aksioomid ja postulaadid. Postulaadid. Nõutakse: 1. ...et igast punktist iga punktini võib tõmmata sirge. 2. ...et igat piiratud sirget võiks piiramatult jätkata. 3. ...et iga punkti ümber võiks igal kaugusel tõmmata ringjoone. 4. ..
Türannia hirmuvalitsus, võim Püütia - preestrinna, kes Apolloni kuulub ebaseaduslikult võimule tulevikuennustusi vahendas tulnud ainuvalitsejale Histooria - Herodotose Lõvivärav pronksiaegse ajalooteos, mis muu hulgas Mükeene tsitadelli peavärav kirjeldab Kreeka-Pärsia sõdasid Teoreem - väide, mille õigsus magistraal - suur keskne tõestatakse loogilise arutlusega, liiklustee tuginedes aksioomidele ja varem magistraat Vana-Rooma tõestatule kõrgem riigiametnik Heureka! - Archimedese diktaator piiramatu võimuga hüüatus ,,Leidsin!" valitseja Meander - jõelooge imperaator - Vana-Roomas Epikuurlane - Vana-Kreeka võiduka väepealiku aunimetus filosoofi Epikurose õpetuse princeps - Rooma keisrite pooldaja, lõbude ja elu nautija, mitteametlik tiitel; vürst, prints
teguriga. 90. Taandamine 1. hariliku murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 2. võrduse mõlema poole jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 91. Taandamata ruutvõrrand ruutvõrrand kujul ax2+bx+c=0 92. Taandatud ruutvõrrand ruutvõrrand kujul x2+px+q=0 93. Tekstülesanne ülesanne, mille lähtesituatsiooni on kirjeldatud sõnalisel kujul. 94. Teoreem lause, mille õigsust tuleb tõestada arutluse kaudu, tuginedes aksioomidele ja varem tõestatud lausetele. 95. Tipunurk võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk. 96. Trapets nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitteparalleelsed. 97. Täiendusnurgad kaks teravnurka, mille summa on 90o. 98. Täisarv hulka Z = {+-1, -+2 ...} kuuluv arv. 99. Täisnurk pool sirgnurgast. Suurus 90o. 100. Täisnurkne kolmnurk kolmnurk, mille üks sisenurk on täisnurk. 101. Täispööre nurk, mille suurus on 360o. 102
liikumise geomeetrilisi omadusi. Kinemaatika uurib ja kirjeldab kehade liikumist ruumis. Seejuures pole oluline, mis on liikumise põhjuseks. Näiteks saab kinemaatikaseaduste abil arvutada, kui kõrgele lendab otse üles visatud kivi. Selleks kasutatakse liikumisvõrrandeid. Kinemaatika üheks põhimõisteks ja põhiliseks suuruseks on aeg (). See koosneb hetkedest. Kinemaatika jaguneb ja deformeeruva keskkonna kinemaatikaks. Kinemaatikas ei ole aksioome ning rajaneb geomeetria aksioomidele. Aeg mehaanikas on pidevalt ja ühtlaselt muutuv skalaarne suurus, mis ei sõltu üheski ruumipunktis ega üheski taustsüsteemis keha liikumisest. Aeg on sõltumatu muutuja. Kõiki teisi muutuvaid suursi vaadeldakse aja funktsioonidena. on alati aja lugemise algus. Jäiga keha kinemaatika Jäiga keha kinemaatikas (ja punktmassi kinemaatikas) kasutatavate põhiliste suuruste seas on teepikkus s (nihe), kiirus v ja kiirendus a, nurkkiirus ja nurkkiirendus. Põhimõistete seas on
kirjeldavad tegelikkust või on kogemust abistavad väljamõeldised Vastus: Realism instrumentalismi vaidlus Kuidas nimetatakse teadusteooriates sisaldavaid objekte või seoseid, mida pole võimalike meeleliselt tajuda Vastus: Teoreetiline suhtust. Üks kolmest seisukohast ei ole filosoofias levinud seletus matemaatika aksioonide tõesuse kohta Vastus: Matemaatika aksioomide tõesus saadakse tuletamise kaudu aksioomidele järgnevatest teoreemidest Milline filosoof pidas oleva algeks piiritut loomust (apeiron) A) Thales B) Herakleitos C) Pythagoras D) Anaximoandros Seisukohta, mille kohaselt pole olemas midagi muud, kui tunnetava subjekti teadvusseisundid, nimetatakse: A) materialismiks B) objektiivseks idealismiks C) subjektiivseks idealismiks D) dualismiks Üks neljast ei ole epistemoloogiline tõeteooria milline?
sündmusele, kuidas nad tõdevad erinevate faktide asetleidmist. Demonstratiivne argumentatsioon ei saa tugineda ainult faktidel. Illusioon, et faktidest võib midagi vahetult tuleneda, tekib sellest, et inimesed tuginevad arutlustes teatud eeldustele, mida nad ei sõnasta ning mis tunduvad neile olevat enesestmõistetavad.16 Nimetatud asjaolusid arvesse võttes saab millegi tõestamisest rääkida vaid matemaatikas ja loogikas. Seal tuginetakse aksioomidele ja varem tõestatud teoreemidele ning kasutatakse täpselt määratletud mõisteid. Neid aksioome ja teoreeme vaidlustatakse harva võib-olla on asi selles, et nad puudutavad väga harva kellegi isiklikke huve. 14. Meos 1996, 100 15. Meos 1996, 102 16. Meos 1996, 104 12 Võiks öelda, et tõestus on selline argumentatsioon, mida üldjuhul keegi ei vaidlusta.
mälestustes, tulevik ootustes. Aeg on üksnes hingeline nähtus ja jumala asetamine ajalistesse seostesse on väär. Jumalatõestus- 1)liikumatu liigutaja; 2)põhjuslikkus; 3)võimalikkus ja paratamatus; 4)jumal kui väärtuste ja hinnangute absoluutne alus; 5) maailmas valitseb teleoloogia, eesmärgipärasus. Peab olema juht, kes suunab. 10. Descartes- eesmärgiks oli ehitada kõik inimlikud teadmised üles ühtse süsteemida. Dedukstioon on tõene siis kui aksioomid on tõesed. Millistele aksioomidele rajada filosoofia? Tema arvates peab metafüüsika andma teadmistele vundamendi. Et mitte rajada teadmiste süsteemi näivatele eeldustele, rakendas ta metoodilist kahtlus. Kas filosoofia saaks rajada meelelistele kogemustele, kuid meeled petavad meid vahel. Mõtlen, järelikult olen- uusaegse pöörde moto, ratsionalismi lähtekoht. Subjekt- iseenesena aluseks lebav, iseseisvalt olev. Uusajal saab subjektiks mõtlev mina ja teised muutuvad selle jaoks objektiks
monaad on ka kogu universumi peegeldus. Kõige krooniks on Jumal, kes aga maailma loomisel polnud vaba, vaid pidi lähtuma temast mitteolenevatest igavestest ideedest. Leibnizi arvates ei olnud mõistuse- ja faktitõdesid küllaldaselt eristatud seega ta kirjeldas nad ise uuesti lahti. Mõistusetõed on nt geomeetria ja aritmeetika väited. Leibnizi arusaama järgi taanduvad matemaatika teoreemid analüüsi tulemusel definitsioonidele, aksioomidele ja postulaatidele. On olemas geomeetria ja aritmeetika lihtideed, mida ei saa defineerida ning aksioomid ja postulaadid, mida ei saa tõestada nad on meie hinges sünnipäraselt olemas. Kuid, rõhutas 3 Leibniz, me ei arutleks nende üle, kui me poleks kunagi midagi näinud või muud moodi meeltega kogenud. Meie hinges on järelikult ideed ja printsiibid, mis ei pärine meelelisest kogemusest, kuid mille teadvustamist viimane ajendab
näidanud, et see on ekslik. Nüüd näeme, et geomeetria aksioomid on lihtsalt definitsioonid ja et geomeetria teoreemid on lihtsalt nende definitsioonide loogilised järeldused. (Vrd Poincar´e 1914: II osa, ptk iii.) Geomeetria iseenesest ei käi füüsikalise ruumi koh- ta; ei saa öelda, et see iseendast üldse millegi "kohta" käiks. Aga me võime geomeetriat kasutada füüsikalise ruumi üle arutlemisel. See tähendab, kui oleme kord andnud aksioomidele füüsikalise tõlgenduse, võime järgnevalt rakendada teoreeme objektide pu- hul, mis rahuldavad neid aksioome. Kas geomeetriat saab raken- dada tegeliku füüsikalise maailma puhul või ei, on empiiriline küsimus, mis jääb väljapoole geomeetria enese ulatust. Seetõttu pole mõtet küsida, millised meile teadaolevatest arvukatest geo- meetriatest on väärad ja millised tõesed. Sel määral, mil need kõik on vabad vasturääkivustest, on nad kõik tõesed. Küsida võib, mil-
siiski katseid testida geomeetriat (Pythagorase teoreemi) tegelikkuses.] [5] Deduktiivse süstematiseerimise ideaalil on kolm aspekti või nõuet: 1) aksioomid on ilmselged tõed (väga lihtsad ja iseenesestmõistetavad); 2) aksioomid ja teoreemid on omavahel deduktiivselt seotud peab olema määratletud lubatavate tuletusreeglite hulk; 3) teoreemid on kooskõlas vaatlustega. (Teoreemide tõestamiseks tuleb aksioomidele lisada defineerimatud algmõisted ehk primitiivsed terminid [hulk hulgateoorias], nende kaudu defineeritavad mõisted ning tuletusreeglid.) Teadusfilosoofid on eriseisukohtadel 2) ja 3) suhtes, kuid on üksmeelsed 1) suhtes. Eukleidese kümnest aksioomist mõned: *. Kõik täisnurgad on võrdsed. *. Mistahes kaks punkti asuvad sirgjoonel. *. Tervik on suurem kui osa. *. Kui võrdsetele lisatakse võrdsed, saadakse võrdsed. 5
sedastus sofistide vastu). Thomas ei saa leppida mõttega, et väärtused on pelgalt kokkuleppelised. 5. Argument väidab, et maailmas valitseb teleoloogia, eesmärgipärasus. Peab olema "juht", kes seda suunab. 10. Uusaja filosoofia tekkimine Descartesi mõtlemise läbi, subjekt-objekt suhe. Descartes (1596-1650): Descartes'i järgi peab metafüüsika andma teadmistele vundamendi, olema teadmiste-puu juureks. Nüüd on otsustav ülesanne selles, et rajada filosoofia kaheldamatutele aksioomidele [aksioom-aluseks võetav seisukoht, mida ei tõestata]. Senised metafüüsika konstruktsioonid ei kõlvanud selleks. Et mitte rajada teadmiste süsteemi näivatele eeldustele, rakendas Descartes metoodilist kahtlust. Kas filosoofia saaks rajada meelelisele kogemusele? See tundub ju vahetuim. Kuid meeled petavad meid vahel, ka unes tundub meile, et teeme midagi jne. ... ,,Mõtlen, järelikult olen" (Cogito, ergo sum) ongi uusaegse pöörde moto ja tulevase ratsionalismi lähtekoht
Mõju jäigale kehale sellega ei muutu. Pärast neid toimingut saamegi pildi, mis on kujutatud joonisel 2.5. J. Kirs Loenguid ja harjutusi staatikast 11 A F2 B Joonis 2.5 Seega oleme rangelt aksioomidele toetudes saanud alg-pildist joonisel 2.3 lõpp-pildi joonisel 2.5. Kuna kõik toimingud teostati rangelt aksioomidele 1 ja 2 toetudes, siis järelikult on lõpp-pildil 2.5 kujutatud, punkti B rakendatud jõud 2 absoluutselt ekvivalentne algpildil 2.3 kujutatud F punkti A rakendatud jõuga F1
igavesti tööle, mingitki resultaati andmata. Niisuguse asümmeetria põhjuseks on asjaolu, et keerulisemate formaalsete keelte jaoks saab kirjutada algoritmi k~igi tõeste väidete tuletamiseks, mitte aga kõigi valede väidete tuletamiseks. Tõeste väidete tuletamise algoritmi skeem on reeglina järgmine: alustatatakse lõplikust hulgast elementaarsetest baastõdedest ehk aksioomidest. Aksioomidele rakendatakse tuletusreegleid, mis kasutavad teadaolevaid ehk juba tuletatud tõeseid väiteid. Sel viisil saadakse uued tõesed väited, mida saab nüüd omakorda kasutada tuletusreeglite eeldustena. Kui meid huvitav väide V on tõene, siis tähendab see, et nimetatud väide taolise protsessi käigus ka ükskord tuletatakse. Kui V aga pole tõene, siis teda muidugi ei tuletata, ning meil oleks vaja mingil viisil tõestada, et väidet V antud tuletusalgoritmiga tuletada ei saa. Üldjuhul pole
annaabi.ee 
