xa y T~oestus*. T~oestuses kasutame reaalarvude absoluutv¨a¨artuse omadust ||a| - |b|| |a - b|. Kui lim y = b siis > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| < siis xa |y - b| < . Mainitud absoluutv¨a¨artuse omaduse p~ohjal ||y| - |b|| < ehk - < |y| - |b| < , st |b| - < |y| < |b| + Siis p¨oo¨rdv¨a¨artuste korral on t¨aidetud tingimus 1 1 1 < < |b| + |y| |b| - Et on suvaline positiivne suurus, siis v~oime valida = 0, 1|b|, mille korral 1 1 1 < < , 1, 1|b| |y| 0, 9|b| 1 st on t~okestatud suurus ja y 1
Teoreemi 2.1 p˜ohjal saab leiduda ainult ¨ks topoloogia hulgal X, milles hulgad U(x) on hulga X punk- u tide u ¨mbruste s¨ ¨ usteemideks. Uhtlasi n¨aitab teoreem 2.1 ¨ara ka lahtised hulgad. Moodustame T = { A | A = ∅ v˜oi A rahuldab tingimust (2.1) }. N¨aitame, et T rahuldab topoloogiale p¨ ustitatud n˜oudeid 10 -30 definitsioonist 1.1. Teoreemi 2.2 omaduste 10 ja 20 p˜ohjal X ∈ T . Et ka ∅ ∈ T , siis topoloogia n˜oue 10 on t¨aidetud. Olgu Ai ∈ T , i ∈ I ja A = ∪i∈I Ai . Siis Ai = ∅ v˜oi Ai ∈ U(x) iga x ∈ Ai ja i korral. (2.2) Kui A = ∅, siis A ∈ T . Oletame, et A = ∅ ja valime x ∈ A. Siis leidub selline j ∈ I, et x ∈ Aj . Kuna Aj ∈ T , siis tingimuse (2.2) t˜ottu Aj ∈ U(x) ja teoreemi 2.2 omaduse 20 p˜ohjal A ∈ U(x). J¨arelikult hulk A rahuldab tingimust (2.1) ning A ∈ T . Topoloogia n˜oue 20 on t¨aidetud. Olgu A1 , . .
55 1.7. Funktsiooni pidevus Esialgne kujutelm pidevast funktsioonist seostub omadusega, et teatud piirkon- nas saab selle funktsiooni graafikut joonestada ilma kirjutusvahendit paberilt t~ostmata. ¨ Uritame j¨ argnevalt anda funktsiooni pidevusele range matemaatilise kirjelduse. Definitsioon 1. Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks punktis x0 , kui on t¨aidetud kolm tingimust: 1) f (x0 ); 2) lim f (x); xx0 3) lim f (x) = f (x0 ). xx0 uhidalt f (x) C (x0 ) . Fakti, et funktsioon f (x) on pidev punktis x0 , t¨ahistame l¨ M¨arkus 1
f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu
diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. x = x - a - argumendi muut kohal a, y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a. Siis f'(a) = lim xa f(x) - f(a)/ x a = lim xa y /x= lim x0 y /x . Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. T~oestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on m¨a¨aratud punktis a, siis on t¨aidetud pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimus. J¨a¨ab veel n¨aidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb t~oestada, et lim xa f(x) eksisteerib ja v~ordub arvuga f(a). Kuid see j¨areldub j¨argmisest v~orduste reast: lim xa f(x) = lim xa [f(x) - f(a)] + f(a)= lim xa f(x) - f(a)/ x a * lim xa (x - a) + f(a) = f'(a) · 0 + f(a) = f(a). Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis
1 - < xn < 1 + 1 - < 1 + (-1) 2n < 1 + - < (-1) 2n < 2n < 1 < 2 2 > n > log2 . 1 n n 1 1 arelikult: kui me etteantud > 0 korral valime elemendi xm nii, et m > log2 1 , J¨ siis kehtib xn (1 - , 1 + ) iga xm -le j¨argneva jada liikme xn korral. Seega on jada( piirv¨a¨ artuse ) definitsioon t¨aidetud arvuga a = 1. Olemegi t~oestanud, n et lim 1 + (-1)2n = 1. Illustreerime seda t~oestust veel m~onede erijuhtude vaatlemisega . Selleks paneme kirja m~oned jada esimesed elemendid: x1 = 0.5, x2 = 1.25, x3 = 0.875, x4 = 1.0625, x5 = 0.96875, x6 = 1.015625, x7 = 0.9921875, x8 = 1.0039625, . . . Olgu = 0.1. N¨aeme, et alates neljandast elemendist kuuluvad k~oik j¨argnevad jada elemendid u ¨mbrusesse (1 - , 1 + ) = (1 - 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1).
1 - < xn < 1 + 1 - < 1 + (-1) 2n < 1 + - < (-1) 2n < 1 n n 1 1 2n < 1 < 2 2 > n > log2 . J¨arelikult: kui me etteantud > 0 korral valime elemendi xm nii, et m > log2 1 , siis kehtib xn (1 - , 1 + ) iga xm -le j¨argneva jada liikme xn korral. Seega on jada piirv¨a¨artuse definitsioon t¨aidetud arvuga a = 1. Olemegi t~oestanud, n et lim 1 + (-1)2n = 1. Illustreerime seda t~oestust veel m~onede erijuhtude vaatlemisega . Selleks paneme kirja m~oned jada esimesed elemendid: x1 = 0.5, x2 = 1.25, x3 = 0.875, x4 = 1.0625, x5 = 0.96875, x6 = 1.015625, x7 = 0.9921875, x8 = 1.0039625, . . . Olgu = 0.1. N¨aeme, et alates neljandast elemendist kuuluvad k~oik j¨argnevad jada elemendid u ¨mbrusesse (1 - , 1 + ) = (1 - 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1)
|f (x)|dx. a Teoreem 5. P¨aratu integraali (5.11) absoluutsest koonduvusest j¨areldub selle koonduvus. N¨aide 8. Uurime p¨aratu integraali arctan xdx 1 1 + x2 koonduvust. Pooll~oigul [0; ) on t¨aidetud tingimus arctan x . N¨aite 6 p~ohjal 2 dx arctan x p¨aratu integraal 2 koondub. V~ottes teoreemis 3 f (x) = ja 0 1+x 1 + x2 1 (x) = · saame, et antud p¨aratu integraal koondub.
Leida kompleksarvude ±1 ± 3i trigonomeetrilised ja ekponent- kujud. V. Kompleksarvud 23 14.6 ¨ Ulesanne 6 Leida hulga i elementide trigonomeetrilised kujud. VI. Vektorruumid 1 oiste Korpuse m~ Hulka K = {, , , . . . } nimetatakse korpuseks, kui hulgal K on defineeritud elementide liitmine ja korrutamine nii, et on t¨ aidetud j¨argmised tingimused: 1) + = + , K (liitmise kommutatiivsus) 2) ( + ) + = + ( + ) , , K (liitmise assotsiatiivsus) 3) 0 K nii, et + 0 = = 0 + K (nulli 0 K olemasolu) 4) K - K nii, et + (-) = 0 = - + (vastandelemendi - olemasolu) 5) () = () , , K (korrutamise assotsiatiivsus) 6) ( + ) = + , , K (distributiivsus) 7) 1 K nii, et 1 = K (unitaalsus) 8) = , K
A 3, 0 · 3, 00 6.3 Vundamendi k~ orguse m¨ a¨ aramine l¨ abisurumisarvutusest Vundamendi k~ orguse m¨ a¨aran eeldusel, et vundamenditaldmikus ei ole p~oikj~ou vastuv~otmiseks rangid vajalikud. Sel juhul peab olema t¨aidetud tingimus: VEd VRd (320) kus VEd,red VEd = (321) u·d kus u --baaskontrollperimeeter ja d -- vundamendi kasusk~orgus. 30 6.4 P~ oikarmatuurita postvundamendi l¨
lahkab m¨ arki £73 ¢puu , annab metsa. Met- kui ja l¨uhendit. on sal on ka hiie, kui vaimude `t¨aidetud taldrik' (). 111 ja on sarnased m¨argid, esi- kui k¨aelaba . K¨asi ja kael mesele on lisatud veel kaas. on homofoonid. on algm¨ argiks viidates kaanega rituaalin~ o ule
象形 ˜ ark 會, muud variandid ・ , 会 on mugandatud m¨argikuju 俗 ✂ ✁Oige m¨ ふた こしき 字. 會 on kaanega 蓋 toidun˜oud, alaosas u¨ mmargune keedun˜ou 甑, u¨ laosas kaane- しふ ぞう そう えき ga n˜ou. 〔説文〕lahkab m¨arki kui ja 曾 l¨uhendit. 曾 on ‘t¨aidetud taldrik’ (益). そう 會 ja 曾 on sarnased m¨argid, esimesele on lisatud veel kaas. 曾 on 甑 algm¨argiks てい かいごう viidates kaanega 蓋 rituaalin˜oule 鼎. 会合 t¨ahendas kaane peale sobitamist. 異字同訓 ⇒合 旧字
annaabi.ee 
