Seejuures ei vaatle me igasu- guseid maatrikseid, vaid selliseid, mis on u ¨hesuguste m~o~otmetega, n¨aiteks selliseid, millel on m rida ja n veergu. Seega vaatluse all on maatriksite hulk M at(m, n). Definitsioon 1.12. Mistahes kahe (m,n)-maatriksi x11 x12 . . . x1n y11 y12 . . . y1n x x22 . . . x2n y y22 . . . y2n X = 21 , Y = 21 ..................... .................... xm1 xm2 . . . xmn ym1 ym2 . . . ymn korral hulgast M at(m, n) nende summaks nimetatakse maatriksit, mida t¨ ahistatakse X + Y abil ja defineeritakse valemiga x11 + y11 x12 + y12 . . . x1n + y1n
Seejuures ei vaatle me igasu- guseid maatrikseid, vaid selliseid, mis on u ¨hesuguste m˜o˜otmetega, n¨aiteks selliseid, millel on m rida ja n veergu. Seega vaatluse all on maatriksite hulk M at(m, n). Definitsioon 1.12. Mistahes kahe (m,n)-maatriksi x11 x12 . . . x1n y11 y12 . . . y1n x x22 . . . x2n y y22 . . . y2n X = 21 , Y = 21 ..................... .................... xm1 xm2 . . . xmn ym1 ym2 . . . ymn korral hulgast M at(m, n) nende summaks nimetatakse maatriksit, mida t¨ ahistatakse X + Y abil ja defineeritakse valemiga x11 + y11 x12 + y12 .
Referaat
Määratud integraali ligikaudne
arvutamine Simpsoni valemiga.
Veahinnangud. Näited
2015
Määratud integraali arvutamine
Simpsoni valemiga
Simpsoni valemiga määratud integraali leidmiseks teosteme lõigu [a, b] alajaotuse 2n
võrdseks osaks:
x 0 a x1 x 2 ... x 2 n 1 b x 2 n
Joonis 1
ja märgime jaotuspunktidele x1, x2, ...., x2n-1 vastavad punktid funktsiooni f(x) graafikul
AB vastavalt tähtedega P1, P2, ... , P2n-1, kusjuures P0 = A, Pn = B (joonis 1).
Olgu i mingi paaritu arv (0
vähendada tulemuse viga. Kuna valemid on selgitusest asjalikumad, siis toon ära ka tõestuse. Olgu tehtud n mõõtmist ja saadud tulemused x1 , x2 , . . . , xn . Kõigi mõõtmiste suhteline viga olgu p. Absoluutsed vead on siis px1 , px2 . . . , pxn . Mõõdetud tulemuste aritmeetiline keskmine on x¯ = x/n, mille vea leian valemi (11) järgi. 1 1 ∆x¯ = (px1 )2 + (px2 )2 + . . . + (pxn )2 = p x21 + x22 + . . . + x2n n n Kuna kõik katses mõõdetud tulemused on ligikaudu võrdsed aritmeetilise keskmisega, siis asen- dan üksikud tulemused x1 , x2 , . . . , xn aritmeetilise keskmisega x¯. 1 1 √ 2 p¯ x ∆x¯ = p x21 + x22 + . . . + x2n = p n¯
majandussüsteemidele, mis on samaaegselt nii tootjad, kui ka tarbijad. Majandusmudeli koostamiseks on vajalik järgmine info: Tootjad Tarbijad Lõpptoodang Kogutoodang T1 T2 Tn T1 x11 x12 . x1n y1 x1 T2 y2 x2 Tn yn xn x21 x22 . x2n ... ... . ... xn1 xn2 . xnn Lisatud väärtus z1 z2 zn y = z i k Kogu toodang x1 x2 xn x = x i k Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate tootjate toodangut, veerud aga näitavad, kuidas erinevates harudes toodetakse.
2 x1 - 2 x 2 + 2 x3 3 x k 0. Bilansimudelid. Bilansimudelid ehk majandusliku tasakaalumudelid koostatakse majandussüsteemidele, mis on samaaegselt nii tootjad, kui ka tarbijad. Majandusmudeli koostamiseks on vajalik järgmine info: Tootjad Tarbijad Lõpptoodang Kogutoodang T1 T2 Tn T1 x11 x12 . x1n y1 x1 T2 x21 x22 . x2n y2 x2 ... ... . ... yn Tn xn1 xn2 . xnn xn Lisatud väärtus z1 z2 zn y i = z k Kogu toodang x1 x2 xn x i = x k Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate tootjate toodangut, veerud aga näitavad, kuidas erinevates harudes toodetakse. Tabelis kirjeldatut on võimalik esitada maatrikskujul:
.. bk xk 1 u1 · Parameetrite arv on k y2 b1 b2 x22 b3 x32 ... bk xk 2 u2 · Seletavate tunnuste ehk regressorite arv on k-1: Tunnuse X2 väärtused: x21, x22,...x2n ... yn b1 b2 x2 n b3 x3n ... bk xkn un Tunnuse X3 väärtused: x31, x32,...x3n Üldiselt tunnuse Xj väärtused: xj1, xj2, xjn Kasutame maatrikseid
-3 X= Ø -4 X = R {0} -5 X = Ø -6 X = R -7 -8 © Allar Veelmaa 2014 9 11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium ASTMEFUNKTSIOON y = x2n y = x6 y = x4 y = x2 © Allar Veelmaa 2014 10 11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium ASTMEFUNKTSIOON y = x2n+1 y = x5 y = x3 © Allar Veelmaa 2014 11 11
√ √ (c) Kuna iga n = 2, 3, . . . korral n n > 1, siis xn := n n − 1 > 0. Binoomvalemi abil saame võrratuse n (n − 1) 2 2 (n − 1) 2 n = (1 + xn )n > 1 + xn ehk x2n < = , 2 n (n − 1) n √ √ millest tuleneb, et 0 < xn < √2 → 0, järelikult n n → 1. n 2.2 Koonduvuseteooria neli printsiipi Selles alapunktis esitame neli pidevuse aksioomist järelduvat fundamentaalse tähendusega teoreemi. 2.2
1 -4 -2 0 2 4 x -1 2. Astmefunktsioon y = x (¨ uldjuhul X = R+ Y = R+ ). Juhul = 2n ( n N) saame, et y = x2n (X = R Y = R+ {0}) on paarisfunktsioon ja kui = 2n + 1 (n N), siis y = x2n+1 (X = R Y = R) on paaritu funktsioon. Kui = 1/(2n) (n N), siis saame y = 2n x (X = R+ {0} Y = R+ {0}). Juhul = 1/(2n + 1) (n N) leiame, et y = 2n+1 x (X = R Y = R) 23 on paaritu funktsioon.
. ...-.*-^, (" '-' '..: L"J,-""- &.^"-- , !.*n X2n :a :-> -- 1'.-& Y # =#r-q Jv *)* u
. ...-.*-^, (" '-' '..: L"J,-""- &.^"-- , !.*n X2n :a :-> -- 1'.-& Y # =#r-q Jv *)* u
Siit 2 2 j¨areldub, et k~oik funktsiooni sin x paaris j¨arku tuletised punktis 0 v~ordu- vad 0-ga, paaritut j¨arku tuletised f (2n+1) (0) = 1, kui n on paarisarv ja f (2n+1) (0) = -1, kui n on paaritu. 12 Seega funktsiooni sin x arend Maclaurini valemi (3.11) abil on x x3 x5 x2n+1 sin x = - + - . . . + (-1)n + R2n+1 (x) 1! 3! 5! (2n + 1)! mille j¨aa¨kliige on (3.12) p~ohjal x2n+2 x2n+2 R2n+1 (x) = sin x + (2n + 2) = sin (x + (n + 1)) , (2n + 2)! 2 (2n + 2)! kus 0 < < 1. Ka siin on v~oimalik n¨aidata, et iga fikseeritud x R korral on
Arvuta determinant omaduste (vt teoreem 2) abil. 3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 6 12 13 9 7 = · · · = 5 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3 4.3 Vandermonde'i determinant Arvuta n-j¨arku Vandermonde'i determinant 1 1 ... 1 x1 x2 ... xn Vn (x1 , . . . , xn ) := x21 x22 ... x2n = ··· = (xk - xi ) .. .. .. .. . . . . k>i xn-1 1 xn-1 2 ... xn-1 n II. Maatriksarvutus 1 Maatriksi m~ oiste ja elementaartehted 1.1 Maatriksi m~ oiste
25 Kordajaid x1 , . . . , xn avaldises x = (x1 , . . . , xn ) nimetatakse vektori x Rn koordinaatideks baasil {e1 , . . . , en }. Omadus 13.4 Igat vektorit x = (x1 , . . . , xn ) Rn saab üheselt avaldada loomuliku baasi {e1 , . . . , en } kaudu, x = x1 e1 + · · · + xn en , x Rn . (13.6) Definitsioon 13.26 Vektori x Rn pikkus |x| leitakse valemiga |x| = x21 + · · · + x2n . (13.7) Märkus 13.11 Ei ole raske näha, et igale ruumi punkti X E3 kohavektorile OX E3 saab leida üheselt koordinaatidega vektori x R3 ja vastupidi: igale elemendile x R3 saab üheselt leida punkti X E3 ja selle kohavektori OX E3 . Samasugune arutelu kehtib sirge ja tasandi korral. Kui n > 3, siis on ruumi Rn vektoreid visuaalselt (geomeetriliselt) väga raske ette kujutada, kuid matemaatiliselt saab lihtsasti kogu teooriat ikkagi ära kasutada.
annaabi.ee 
