Absoluutväärtus arvu kaugus nullpunktist arvkiirel, see on alati positiivne arv Vastandarv positiivse arvu vastandarv on sama arv miinusmärgiga ehk negatiivne arv ja negatiivse arvu vastandarv on sama arv plussmärgiga ehk positiivne arv Näide: 6 vastandarv on 6 ja vastupidi. Sümbolites 6 = - ( - 6) ja - 6 = - ( + 6) NB! Lahutamistehtemärk tuleb alati asendada liitmistehtemärgiga ja sellele järgnev arv oma vastandarvuga ja alles seejärel hinnata, kas arvud on samamärgilised või erimärgilised LIIDAN siis, kui arvud on samamärgilised ehk # kõik arvud on positiivsed, vastus ka positiivne arv 2+3=5 NB! 2 ( - 3) = 2 + 3 = 5 #kõik arvud on negatiivsed, vastus ka negatiivne arv - 2 + (- 3) = - 2 3 = - 5 NB! - 2 ( + 3) = - 2 + ( -3) = - 5 LAHUTAN siis, kui arvud on erimärgilised ehk üks on positiivne arv ja teine negatiivne arv, vastus on alati absoluutväärtuselt suurema arvu märgiga
taandamisvõttega lahutada 3-1=2 13.Jagatise astendamine - astendatakse eraldi jagatav ja jagaja ning jagatakse esimene tulemus teisega (a:b)n=an:bn 14.Astendaja 0 ja 1 - iga nullist erinev arv astmes 0 on võrdne 1-ga ; iga astmealus astmes 1 on võrdne iseendaga 15.Negatiivne astendaja - nullist erinevat arvu negatiivse täisarvuga astendades tuleb arv või astendada selle astendaja vastandarvuga ja leida saadud astme pöördväärtus ; võib ka teisiti: astendada aluse pöördarv astendaja vastandarvuga 16.Täisarvuline astendaja - sama alusega Õ ül.148,149,152 astmete puhul tuleb astendajatega tehe ära teha ja arvutada; astme või korrutise või jagatise astendamisel tuleb mõelda, kas teha enne tehe = = = = sulgudes või astendajatega = =
a Ruutvõrrandi lahendite omadused 3. Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = c = 0, siis saame võrrandi ax2 = 0. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. (Viet'i teoreem) ax2 = 0 x1 = x2 = 0 Rainis Jõepera
3. Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on b = c = 0, siis saame võrrandi Ruutvõrrandi lahendite omadused 2 ax = 0. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja ax = 0 x1 = x2 = 0 2 vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. (Viet'i teoreem)
Arvu ja vektori korrutis. Koordinaatidega vektori mõlemat koordinaati tuleb korrutada antud arvuga. Geomeetriliselt vektorit tuleb pikendada antud arv miinus vektori pikkus kordi. Skalaarkorrutis. Geomeetriliselt vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. Samasuunaliste vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vastassuunaliste vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastandarvuga. Ristuvate vektorite skalaarkorrutis on null. Vektori skalaarruut on vektori skalaarkorrutis iseendaga ja on võrdne vektori pikkuse ruuduga. Koordinaatide järgi kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite vastavate koordinaatide korrutiste summaga. Kahe vektori vahelise nurga koosinus võrdub nende vektorite skalaarkorrutise ja pikkuste korrutise suhtega.
28.Algarvuks nimetatakse arvu, millel on ainult kaks jagajat. 29.Kordarv on arv, millel on vähemalt kolm jagajat. 30.Kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. 31.Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. 32.Vastandarvud on arvud, mis erinevad ainult märgi poolest. 33.Mis tahes positiivse arvu ja arvu 0 absoluutväärtus on võrdne arvu endaga, negatiivse arvu absoluutväärtus on võrdne tema vastandarvuga 34.Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut. 35.Võrrandi lahend on võrrandist leitud tundmatu väärtus. 36.Osamäär näitab, kui suur osa tervikust tuleb leida või kui suur osa arvust on antud. 37.Protsent on suht arv, mis näitab kui palju üks suurus moodustab teisest. 38.Võrre on võrdus, mille mõlemad pooled on jagatised.
17. Millal on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit? Millal on kaks võrdset lahendit? Millal ruutvõrrandil lahendid puuduvad? Kui diskriminant on nullist suurem, siis on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit. Kui diskriminant on nulliga võrdne, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. Kui diskriminant on nullist väiksem, siis ruutvõrrandil puuduvad lahendid. 18. Viete'i teoreem. Millal võib kasutada Viete'i teoreemi? Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. Viete'i teoreemi võib kasutada ainult taandatud ruutvõrrandis.
Protsendid ja murrud Kui 1% = 1/10 (/=murrujoon) = 0,01, siis 2% = 2/100 = 0,02 ; 12% = 12/100 = 0,12 jne .. 1,25 = 125/100 = 125% 1. Selleks, et teada saada, mitu protsenti moodustab üks arv teisest, jagame esimese arvu teisega ja avaldame tulemuse protsentides. Positiivsed ja negatiivsed arvud 1. Mis tahes positiivse arvu ja arvu 0 absoluutväärtus on võrdne arvu endaga, negatiivse arvu absoluutväärtus on võrdne tema vastandarvuga. NÄIDE: |5|= 5 ; |-5|= 5 ; |-12, 7| = 12,7. 2. Iga negatiivne arv on väiksem mis tahes positiivsest arvust ja arvust 0. 3. Kahest negatiivsest arvust on suurem see, mille absoluutväärtus on väiksem, st mis asub arvtelje nullpuntile lähemal. NÄIDE: -5 > -10, sest |-5| < |-10|
Ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendivalem on 2 p p x1, 2 q 2 2 algusesse Viète'i valemid Viète'i teoreem võimaldab mõnel juhul peast arvutades leida ruutvõrrandi lahendid. Viète'i teoreem. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. Ehk taandatud ruutvõrrandi x 2 px q 0 kordajad p ja q on seotud lahenditega x1 ja x2 järgmiselt: x1 x 2 p x1 x 2 q. algusesse Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatkse võrrandit kujul ax 4 bx 2 c 0 kus x on tundmatu ning a 0. Biruutvõrrandi lahendamiseks tehakse asendus x2 = y,
Elastsusjõud esineb kehade deformeerimisel ja on vastassuunaline deformeeriva jõuga. Hooke'i seadus: Väikestel deformatsioonidel on elastsusjõud võrdeline keha deformatsiooniga. F e = -k l k-jäikus l-keha pikenemine Elastsusjõud Fe tekib keha kuju muutmisel ehk deformeerimisel. Tema suund on vastupidine deformeeritud keha osakeste nihke suunale. Hooke'i seaduse kohaselt on suhteliselt väikeste deformatsioonide korral elastsusjõud võrdne pikenemise ja jäikusteguri korrutise vastandarvuga. (N). Jäikus sõltub keha materjalist ja mõõtmetest. Elastsusjõu mõjul hakkab keha võnkuma, kui jõud ja nihe on suunatud mööda ühte ja sama sirget. Elastsusjõu mõjul hakkab keha liikuma ringjooneliselt kui kehale mõjuv Fe on kiirusega risti. Võib väljendada Newtoni II seaduse kaudu: Näide 1. Kui seina külge panna vedru, mille teine ots ühendada mänguautoga, seejärel autot
101. Täispööre nurk, mille suurus on 360o. 102. Täisruut, ruutarv naturaalarv, mis võrdub mingi täisarvu ruuduga. 103. Vastandarv arv, mille summa on antud arvuga 0. 104. Veerand 1. üks neljandik ühikust. 2. tasandi kvadrant tasandi kahe niisuguse pooltasandi ühisosa, mille ääred ristuvad. 105. Viéte' i teoreem taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. 106. Võrdeline jagamine mingi suuruse jagamine antud arvudega võrdelisteks osadeks. 107. Võrdeline seos kahe muutuja x ja y vaheline seos, milles muutujate vastavate väärtuste jagatis on konstant a. Graafikuks on koordinaatide alguspunkti läbiv sirge. 108. Võrdhaarne kolmnurk kolmnurk, millel on kaks võrdset külge, kolmandat külge nimetatakse aluseks. 109
Kui determinandi ühe rea (veeru) kõik elemendid on nullid, siis on determinant võrdne nulliga. a b a 0 0b 0 0 0 Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus võrdne kõrvaldiagonaali elementide korrutise vastandarvuga. 5
Kui determinandi ühe rea (veeru) kõik elemendid on nullid, siis on determinant võrdne nulliga. a b a 0 0b 0 0 0 Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus võrdne kõrvaldiagonaali elementide korrutise vastandarvuga. 5
Deformatsiooniks kitsamas mõistes nim aga suurusi, mis iseloomustavad keha kuju ja mõõtmete muutumise intensiivsust. Kontekstis peab alati selguma, kas tegemist on laiema või kitsama tõlgendusega. Elastsus deformatsioon on keha kuju muutus, mis kaob täielikult pärast välisjõudude kadumist. Hooke'i seadus on suhteliselt väiksese deformatsioonide korral elastsusjõud võrdne pikenemise ja jäikusteguri korrutise vastandarvuga. Fe = -kl (N) Jäikus sõltub keha materjalist ja mõõtmetest. Pilet 16.3 Ül: jada ja rööpühenduse kohta. 1/C1+1/C2+1/C3... jadaühendusel, C1+C2+C3... rööpühendusel. Pilet 17.1 Vooluallika elektromotoorjõud. Ohmi seadus suletud vooluahela kohta. Voolutugevus on võrdeline vooluallika EMJ'ga ja pöördvõrdeline välis ja sisetakistuse summaga. EMJ on vooliallika max pinge, saadakse avatud vooluringi puhul kui voltmeeter on ühendatud rööbiti vooluallikaga. Ohmi seadus suletud
5. Uue tabeli väärtuste arvutamine ehk uue lubatava lahendi leidmine toimub simpleksteisendustega, mille aluseks on Gauss-Jordani elimineerimisvõte. Selleks: * kõik juhtrea elemendid jagatakse juhtelemendiga, mille tulemusena uues tabelis juhtelement saab väärtuseks +1 ; * ülejäänud ridadele liidetakse teisendatava rea juhtveerus asuva kordaja vastandarvuga korrutatud juhtrida. Uues simplekstabelis varem valitud juhtveeru kõik elemendid peale juhtelemendi (see on +1) muutuvad nullideks ning see veerg on muutunud ühikveeruks ehk vastav tundmatu baasitundmatuks. Lahendid: 24. Need tundmatud, mille veerud ei ole ühikveerud, on baasivälised ehk vabad tundmatud ja nad võrduvad nullidega, baasitundmatute väärtused asuvad vabaliikmete veerus (vastava tundmatuga tähistatud reas).
1) sest 4 =16 5) võrdub nulliga; arvu ruudu pöördtehe; 2) 6) üldiselt =|a|, |a|=a, kui a 0 või |a|=a, kui 3) 7) a<0 4) 8) NB ruutjuurt negatiivsest arvust ei ole olemas, aga ruutjuur negatiivse arvu ruudust võrdub selle vastandarvuga 3.Ratsionaalarvud - kahe täisarvu jagatis vaata kujul (q 0); tähis Q; Q=täisarvud+ Ül.1279,1289 Esitada kahe täisarvu jagatisena. positiivsed ja negatiivsed murdarvud; -8=-8:1 0,0082=82:10 000 osahulgad: naturaalarvude hulk ja - =- täisarvude hulk; siia kuuluvad murdarvud on kas lõplikud või lõpmatud perioodilised kümnendmurrud; iga ratsionaalarv avaldub Leida, kumb on suurem.
(a + b) Trapets P=a+b+c+d S= h 2 Taandamata ruutvõrrandi lahendivalem: -b ± b 2 -4ac x= 2a Viete'i teoreem : Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga x1+x2 = -p ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega x1·x2 = q. Pöördteoreem: Kui kahe arvu x1 ja x2 summa on -p ja korrutis q, siis need arvud x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendid. Viete'i teoreemi pöördteoreemi abil saab koostada ruutvõrrandit antud lahendite järgi.
Korrutades det mingi arvuga, tuleb selle arvuga korrutada ainult det üks rida(veerg) 3)kui det mingis reas on ainult 0id, siis on det null. 4)Olgu det mingi rea element kahe liidetava summa. Siis avaldub det kahe det summana. Esimeses detis on vaadeldavas reas esimesed liidetavad ja teise det vaadeldavas reas on teised liidetavad. Ülejäänud read on endised. 5)Kui detis vahetada kaks rida, siis on tulemus võrdne esialges det vastandarvuga 6)kui detis on kaks ühesugust rida, on det 0 7)Det väärtus ei muutu, kui tema mistahes reale liita juurde mingi arv kordne teine rida 8)Kui det on kolmnurksel kujul, st peadiagonaalist ühel pool on ainult nullid, siis võrdub det peadiagonaali elementde korrutisega. 9)Ruutmtxte korrutamisel kehtib lABl=lAllBl . Deti arvutamist lihtsustab veelgi arendusvalemite kasutamine. Miinor: Mtx A=(aij) elemendi aij miinoriks Mij nim det, mis saadakse mtxi A det-st i-nda rea ja j-nda veeru eemaldamisel
6.10 Vektori skalaarkorrutis Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a·b nimetatakse nende vektorite pikkuste ning vektorivahelise nurga koosinuse korrutist. 6.11 Järeldusi skalaarkorrutiste definitsioonist · Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega · Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastandarvuga · Vektorite ristseisu tunnus: kaks nullvektorist erinevat vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nende skalaarkorrutis on null, st · Vektori skalaarruut võrdub vektori pikkuse ruuduga, so 6.12 Vektorite skalaarkorrutiste omadusi · Skalaarkorrutis on kommutatiivne, st · Skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga (arvuga) korrutamise suhtes · Skalaarkorrutis on distributiivne vektorite liitmise suhtes, st 6
7. Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on b) kolmerealiste determinantide korral; determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel 8. Kui determinandi mõne rea (veeru) elemendid esinevad kahe liidetava pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus summana, siis ka determinant avaldub kahe determinandi summana, võrdne kõrvaldiagonaali elementide korrutise vastandarvuga. kusjuures esimese determinandi vastavas reas (veerus) on esimesed lii- Selle omaduse kehtivust kontrollime kolmerealise determinandi korral kahe näite detavad ja teise determinandi vastavas reas (veerus) teised liidetavad. abil. Näited: 9. Determinandi väärtus ei muutu, kui ühe rea (veeru) elementidele liita
tõmmata ning lahti lasta, tõmbab kõigepealt vedru autot tagasi seina poole. Seda tehes surub aga vedru ennast kokku ning lükkab ennast elastsusjõu mõjul uuesti lahti, seejärel tõmbub jälle kokku jne. Auto hakkab edasi- tagasi võnkuma). 12 Hooke'i seadus seadus, mille kohaselt on suhteliselt väikeste deformatsioonide korral elastsusjõud võrdne pikenemise ja jäikusteguri korrutise vastandarvuga. Fe=-kl (N). Jäikus sõltub keha materjalist ja mõõtmetest. (k jäikustegur) 18. Jõu õlg. Jõumoment. Momentide reegel. Tasakaalu tingimused. Tasakaalu püsivus. Jõu õlg on jõu mõjusirge kaugus pöörlemisteljest. Jõu õlg on alati jõu mõjusirgega risti. Tavaliselt tähistatakse jõu õlga tähega l (väike L). Ühik on meeter (1 m). (N: kui sa kasutad kivi tõstmiseks kangi, siis kang on jõu õlg. Ilma selleta sa ei jaksaks kivi tõsta. Seega
Teoreem 2. Determinantidel on j¨ argmised omadused. 1) Kolmnurkne determinant v~ ordub peadiagonaali elementide korrutisega. 2) Kui determinandis on kaks u ¨hesugust rida (veergu), siis on determinant null. 3) Determinant ei muutu, kui tema read kirjutada u ¨mber veer- gudena (loomulikus j¨ arjestuses). 4) Vahetame determinandis kaks rida (veergu). Tulemus v~ ordub esialgse determinandi vastandarvuga. 6 I. Determinandid 5) Korrutame determinandi mingit rida (veergu) arvuga. Tule- mus v~ ordub esialgse determinandi ja arvu korrutisega. Tei- siti ¨ oeldes v~ oib determinandi rea v~oi veeru u ¨hise teguri tuua determinandi m¨ arkide ette. 6) Determinant ei muutu, kui reale (veerule) liita arvkordne tei-
annaabi.ee 
