Külgpindala - Sk = a · h · n Silinder Põhja pindala: Sp = Külgpindala: Sk = 2 · · r · h Ruumala: V = Sp · h = · ·r 2 Täispindala: St = Sk + 2Sp = 2 · · r · h + 2 · r2 · h ABCD - telglõige · r2 Korrapärane püramiid Külgpindala: Sk = Ruumala: V = Sp h Põhja pindala: kus n on tahkude arv Täispindala: St = Sk + Sp P põhja ümbermõõt Koonus
S k = 2 r h S = Sk + 2 S p = silindri külgpind = 2 r (r + h) gl et h Ruumala i r dnili s V = r 2h silindri moodustaja r silindri põhjad Silindri telglõige Telglõikeks nimetatakse tasandilist kujundit, mis tekib geomeetrilise keha lõikamisel tasandiga, mis läbib lõigatava keha telge h 2r Silindri ristlõige Ristlõikeks nimetatakse tasandilist kujundit, mis tekib geomeetrilise keha lõikamisel tasandiga, mis on risti lõigatava keha teljega
Püramiidi tipp on -S, põhi on ruut -ABCD, külgtahud on -ABS, BCS, CDS, ja ADS, külgservad on -AS, BS, CS, DS, põhiservad on- AB, BC, CD ja AD kõrgus on - SO. Liigid: 1. Korrapärased ja mittekorrapärased 2. kolmnurksed, nelinurksed jne püramiidid Pindala: St=Sk+Sp Ruumala: V=·h·Sp 8. Silinder: Mõiste: Silinder on pöördkeha. Silindri moodustab ristkülik, mis pöörleb ümber ühe külje. Telgllõige: Silindri telglõige tekib, kui silindrit lõigata tasandiga, mis läbib põhjade diameetreid. Pindala: S=Sk+2Sp Ruumala: V= r²·h 9. Koonus: Mõiste: Koonus on pöördkeha. Koonuse moodustab täisnurkne kolmnurk, mis pöörleb ümber ühe kaateti. Koonuse telglõige: Koonuse lõikamisel tasandiga, mis läbib telge nim. telglõikeks. Pindala: S=Sk+Sp Ruumala: V= r²·h 10. Kera: Mõiste: Kera on keha, mis tekib poolringi pöörlemisel umber oma diameetri. Lõiked:
Vastus: Joonte puutujad on paralleelsed, kui x = - ja kujundi pindala S = 2 2 - 2 pindalaühikut. 4 Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net 8. (20p) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. Lahendus: Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Sirge y = 0 on x-telg. Joone y =1 - x 2 graafik on parabool, mis avaneb alla, nullkohad on -1 ja 1. ABC = 900 . Kuna VABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, siis alusnurgad on võrdsed ja CBA = CAB = 450
Seega e a - 1 = 1 e a = 1 + 1 e a = 2 a = log e 2 = ln 2 a = ln 2 Sirge x = a x = ln2 poolitab antud kujundi pindala. Vastus: Kujundi pindala on 2 pindalaühikut ja a = ln 2. Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net 8. (20p) Paja telglõige on piiratud joontega y = x2 ja y = 1. Pada asetseb koonuses, mille tipp on allpool, telg on vertikaalne ja telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke paja põhja kaugus koonuse tipust. Lahendus: Paja telglõige on piiratud parabooliga y = x2 ja sirgega y = 1. Teeme joonise: Kolmnurk KCL on võrdhaarne täisnurkne kolmnurk. KCL = 900 ja CLK = 450 .Seega moodustaja tõusunurk on 45o. Leiame puutuja võrrandi koonuse moodustajale kui parabooli puutujale. Enne tuleb
3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. 5. (1998) Leidke funktsiooni y = x3 -4x2 3x -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. 6. (1998) On antud funktsioon f(x) = x2 2 ln x + 3. 1 1) Leidke f e 2 .
Arvuta prisma maksimaalne ruumala? V: V = 6d² - 0,75d³ ; 56 cm³ 9 3) Riigieksam1998 Koonuse tipp asub punktis T(0;0;8), punkt A( 3 2 ; 3 2 ; 16) paikneb põhja ümberringjoonel ja põhja raadius on 8 cm. Leia koonuse täispindala. Kui kaugele tipust tuleb teha põhjaga paralleelne lõige, mille pindala on veerand põhja pindalast? V: St = 144 cm²; 3 cm 4) Silindri telglõige ja põhi on pindvõrdsed. Avalda silindri täispindala, kui silindri 2 kõrgus on h. V: 4h 2 1 5) Kolmnurkse korrapärase püramiidi kõik külgtahud moodustavad põhitahuga nurga 60o ja apoteem on 12 cm. Leia püramiidi täispindala ja ruumala . V: S t 324 3 cm 2 ja V 648 cm 3 6) Koonuse tipp asub koordinaatide alguspunktis ja põhi on risti y-teljega. Punkt
r Antud on korstna kõrgus h = 15 m; diameeter d = 40 cm = 0,4 m; pleki ruutmeeter kaalub 7 kg; pleki valtsimiseks kulub 8 % materjalist. Korstna külgpindala on Sk = 2rh = dh; Sk = . 0,4 . 15 = 6 ~ 18,84 (m2). Pleki valtsimiseks kulub 8 % materjalist s.o. 0,08 . 18,84 = 1,5 (m2). Kokku on materjali vaja osta 18,84 + 1,5 = 20,34 (m2). Korsten kaalub seega 7 . 20,34 = 142,4 kg. Vastus: Silindrikujuline korsten kaalub 142,4 kg. 11. Silindri telglõige on ruut, mille külg on 12 cm. Leia silindri täispindala. Lahendus: Joonistame silindri, mille telglõige on ruut. Antud on silindri telglõike külje pikkus, mis on 12 cm; silindri diameeter on ka 12 cm ehk raadius r = 6 cm. Leiame silindri täispindala St. Täispindala St = 2Sp + Sk = 2 r2 + 2rh = 2r(r + h); St = 2 . 6(6 + 12) = 216 (cm2). Vastus: Silindri täispindala on 216 cm2. 12. Silindri kõrgus on 5 cm ja põhja raadius 6 cm
Siit d tg = tgb . db Nurk valitakse konstrueerimisel mõõdukates piirides (8...16o), et vältida suurte telgjõudude teket. 4.4.2. Seosed normaal-, ots- ja telglõikes määratud parameetrite vahel Joonisel 73 on toodud kaldhammastega ratta otslõige 1 ja telglõige 2; 3 - hammasratta telg. Joonisel 74 on näidatud hamba normaalprofiil (3) st. hamba külgpinna 1 ja jaotushambajoone 2 risttasandi 4 lõikumisel tekkiv joon. Kaldhamba normaallõige ei ole tasandiline ega lõikes tekkiv profiil täpselt evolventne. Kaldhammaste parameetrite otslõikesse ümberarvutamiseks vaatleme kaldhammastega latti (joon. 75). Sellelt selgub, et 45 pt = pn / cos . Seega
Tüvipüramiidi ruumala V = h S1 + S1 S 2 + S 2 , kus S1 ja S 2 on põhjade pindalad. 3 6.4 Koonus Põhja pindala S p = r . 2 Külgpindala S k = r m , kus m on koonuse moodustaja. 1 1 Ruumala V = S p h = r 2 h . 3 3 6.5 Tüvikoonus Tüvikoonuse telglõikeks on võrdhaarne trapets, mille pindala S telglõige = ( r1 + r2 ) h , kus r1 ja r2 on põhjade raadiused. Külgpindala S k = ( r1 + r2 ) m , kus m on tüvikoonuse moodustaja. Täispindala St = r1 + r2 + ( r1 + r2 ) m . 2 2 Ruumala V = h 2 3 ( 2 r1 + r1 r2 + r2 . ) 6.6 Kera ja sfäär Kera piirav pind on sfäär.
Iga kera puutub koonuse külgpinda. Leidke kaugus ülemise kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani ja koonuse telglõike tipunurk, kui kerade raadius on r. III Silindris paikneb üks suur ja kaks väikest kera, mis puutuvad nii silindri põhjasid, külgpinda kui ka üksteist, vt joonist. Avaldage silindri selle osa ruumala, mis jääb keradest väljapoole, kui väikeste kerade raadius on r. Silindri telglõige 40 41 Vastused 2r 1 1 4(6 2 1) 3 I r (2 2 ), 907 . II (3 6 ) , 2 arcsin arccos 70,57 . III r .
Tüvipüramiidi ruumala V h S1 S1 S 2 S 2 , kus S1 ja S 2 on põhjade pindalad. 3 6.4 Koonus Põhja pindala S p r . 2 Külgpindala S k r m , kus m on koonuse moodustaja. 1 1 Ruumala V S p h r 2h . 3 3 6.5 Tüvikoonus Tüvikoonuse telglõikeks on võrdhaarne trapets, mille pindala S telglõige r1 r2 h , kus r1 ja r2 on põhjade raadiused. Külgpindala S k r1 r2 m , kus m on tüvikoonuse moodustaja. Täispindala St r1 r2 r1 r2 m . 2 2 Ruumala V h 2 3 r1 r1 r2 r2 . 2
annaabi.ee 
