Arvuhulkade omadused ● Reaalarvude hulk R 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. 2) on pidev arvuhulk, s.t. Need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel. 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. LÕPP! Tänan vaatamast, head õppimist:D
Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega saame reaalarvude hulga R: R = I U Q ja Q R I R Q N Z Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. Igale reaalarvule vastab üks punkt arvsirgel ja vastupidi. Kahest reaalarvust loetakse suuremaks see, millele vastav punktarvsirgel asub teisega võrreldes positiivses suunas. Nullist suuremaid reaalarve nimetatakse positiivseteks, nullist väiksemaid negatiivseteks. Iga nullist erineva reaalarvu a korral nimetatakse reaalarve a ja a teineteise vastandarvudeks ning a ja 1 teineteise pöördarvudeks. A Reaalarvude hulga omadusi: · Reaalarvude hulk R on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv.
kümnendmurruna. Reaalarvude hulk R 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On pidev arvuhulk, s.t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel; 3. On hulk, mis on kinnise liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. Arvuhulkade omadusi Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b või a=b või ab. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb arv a + 1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve.
Arvuhulgad Referaat Sisukord Naturaalarvude hulk N........................................................................................................ 2 Negatiivsete täisarvude hulk z ......................................................................................... 2 Täisarvude hulk Z............................................................................................................... 2 Murdarvude hulk.................................................................................................................2 Ratsionaalarvude hulk Q.....................................................................................................2 Irratsionaalarvud................................................................................................................. 3 Reaalarvud R....................................................................................................
Def.1 Hulka, mille elementideks on kõik m reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid (x1,x2,...xm) nim m-mõõtmeliseks ruumiks. Igat süsteemi (x1,x2,...xm) nim m-mõõtmelise ruumi punktiks ja tähist. P=(x1,x2,...xm) või P(x1,x2,...xm). Arbe x1,x2,...xm nim. punkti P koordinaatideks. Def.2 Sellist m-mõõtmelist ruumi, kus on määratud iga kahe punkti d(A,B) seosega d(A,B)=( i=1m(ai-bi))1/2 nim m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähist. Rm Def.3 Kui hulgs D igale punktile P=(x1,x2,...xm) on vastavusse seatud üks kindel reaalarv w, siis öeldakse, et hulgal D on määratud w- muutuja funktsioon w=f(x1,x2,...xm), hulka D nim funi w=f(x1,x2,...xm) määramispiirkonnaks, suurusi x1,x2,...xm nim funi argumentideks (funil on m argumenti) Def.4 Punkti ARm ümbruseks nim iga lahtist kera S(a,r) (erijuhud: m=2 A ümbruseks lahtine ring S(a,r), m=1 A ümbruseks sümmeetriline vahemik) Def.5 Öeldakse, et hulk D on lahtine ruumis Rm kui iga tema punk...
Irratsionaalarvud ei ole avaldatavad lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad kokku reaalarvude hulga R. Reaalarvude hulga omadused Reaalarvude hulk on järjestatud lõpmatu hulk Reaalarvude hulk on pidev nendele arvudele vastavad punktid katavad kogu arvtelje Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on reaalarv. Ülesannete lahendamisel on vaja teada tehetes osalevate liikmete nimetusi liidetav +liidetav = summa; vähendatav - lahutatav = vahe; tegur · tegur = korrutis; jagatav : jagaja = jagatis. NB! Lahutamine on liitmise pöördtehe ning jagamise on korrutamise pöördtehe. Tehete järjekord keerulisema avaldise väärtuse arvutamisel: 1)Kui avaldises esinevad ka sulud, siis sooritatakse kõigepealt sulgudes olevad tehted;
suhtelise sagedusega fi ning pidevaid juhuslikke suurusi vaadeldakse sageli diskreetsetena. 2.3 Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon Jaotusrida ei ole võimalik välja kirjutada pideva juhusliku suuruse jaoks ning seetõttu on üldisemaks võimaluseks jaotusseaduse esitamine jaotusfunktsioonina. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F(x), mis määrab iga reaalarvu x korral tõenäosuse, et juhuslik suurus X omandab väärtuse, mis on väiksem reaalarvust x. F(x) = P(X < x), kus x , . Pidevaks nimetatakse juhuslikku suurust, mille jaotusfunktsioon on pidev. Graafiliselt tähendab see, et juhuslik punkt X asetseb juhuslikust suurusest x alati vasakul. Omadused. 1. Kuna jaotusfunktsioon on defineeritud tõenäosuse abil, siis 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. Tõenäosus, et juhuslik suurus omandaks väärtusi lõigul , , on võrdne jaotusfunktsiooni muuduga sellel lõigul P X = F(β) - F(α). 1
Nt: Täringuviskel saadud silmade arv, loengut külastavate üliõpilaste arv Diskreetne suurus – väärtused on isoleeritud, erinevad üksteisest mingi lõpliku arvu võrra Pidev suurus - väärtused täidavad mingi vahemiku täielikult ära Jaotusseadus - Diskreetse juhusliku suuruse X jaotusseaduseks nimetatakse vastavust suuruse kõikvõimalike väärtuste xi ja nende tõenäosuste pi vahel. Jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem-võrdne mingist reaalarvust x. Valem: F(x)=P(X<=x) Keskväärtus ehk oodatav väärtus - Kui juhusliku suuruse X väärtuse xi esinemise tõenäosus on pi , siis selle juhusliku suuruse keskväärtus ehk oodatav väärtus. Oodatav väärtus on otsustamisel kriteeriumiks. Valitakse see alternatiiv, mille korral oodatav väärtus on ekstremaalne. Näiteks: oodatav kasum maksimaalne,oodatav kulu minimaalne Valem: µ=E[X]= ∑ pixi Dispersioon – diskreetse juhusliku suuruse dispersioon σ^2=∑(xi-µ)^2*pi
· On tihe (Aritmeetiline keskmine) · Ei ole pidev · Kinnine kõigi nelja põhitehte suhtes väljaarvatud nulliga jagamine · Tehetega seotud omadused kehtivad 4. Reaalarvude hulga omadused- · On järjestatud · Vahetu järgnevuse omadust pole · On tihe · On pidev (Milline on kõige suurem ühest väiksem arv?) · Kinnine kõigi nelja põhitehte suhtes väljaarvatud nulliga jagamine. Ka ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust jääb reaalarvuks. Kuid kinnine juurimise suhtes ei ole · Tehetega seotud omadused kehtivad. 5. Arvuhulkade vahelised kuuluvusseosed- · Iga naturaalarv on ühtlasi täisarv · Mõned täisarvud ei ole naturaalarvud · Iga täisarv on ratsionaalarv · Iga ratsionaalarv pole täisarv · Mõni ratsionaalarv on naturaalarv · Iga naturaalarv on ratsionaalarv 6. Lineaarfunktsiooni graafik, omadused
Erijuhul kui n=2 saame P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 )
i=1,2
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R määratud funktsiooni F(x)=P(X
· on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes Reaalarvude hulk R · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, iga kahe reaalarvu vahel paikneb alati veel reaalarve · on pidev, s.t need arvud katavad kogu arvtelje · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 1.4 Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused · Kommutatiivsus e vahetuvus: a+b=b+a, ab=ba · Assotsiatiivsus e ühenduvus: a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c · Korrutamise distributiivsus e jaotuvus liitmise suhtes: a(b+c)=ab+ac Sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet: P(A)= m/n 1.5 Reaalarvu absoluutväärtus |a|={a, kui a0 või {-a, kui a<0
(lk 21) Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. näiteks y = x 2 − x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis 29. Defineerida n-mõõtmeline vektor ja n-mõõtmeline ruum. (lk 22) n reaalarvust koosnevat järjestatud hulka ~x = (x1, x2, . . . , xn) nimetatakse n-mõõtmeliseks vektoriks. Kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulka nimetatakse n-mõõtmeliseks ruumiks ja tähistatakse R 30. Defineerida n-muutuja funktsioon, n-muutuja funktsiooni argument, sõltuv muutuja ja määramispiirkond (lk 22) Olgu antud n + 1 muutuvat suurust x1, . . . , xn ja u. Kujutist, mis seab vektori ~x = (x1, . . . ,
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA|
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA|
Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2
Matemaatilise induktsiooni meetod . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Ratsionaalarvude alamkorpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon . . . . . . . . 20 1.5 Reaalarvude korpuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud . . . . . . . . 21 1.5.2 Archimedese printsiip. Ratsionaalarvude hulga tihedus . . . . . . . . 22 1.5.3 Reaalarvu absoluutväärtus. Intervallid . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.4 Hulga R mitteloenduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.5 Dedekindi lõiked . . . . . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
