Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n ja osapiirkondade si suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga üle piirkonna D. 3. Muutujate vahetus kahekordses integraalis (koordinaatide teisendamise valem, funktsionaaldeterminant, ülemineku valem ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele). Valem koordinaatide teisendamiseks: f ( x, d )dxdy = F (u, v) I dudv . Selles D D' valemis determinant I on funktsioonide (u, v) ja (u, v) nn. x x Funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan ja ta on järgmine: u v . Üleminek y y
ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi leidumise tarvilikud ja piisavad tingimused. 26. Tinglikud kriitilised punktid. Lagrange’i kordajate meetod tinglike ekstreemumite leidmiseks 27. Gradient, tuletis antud antud suunas. 28. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline tõlgendus - kõversilindri ruumala, tasandilise kujundi pindala. Kahekordse integraali omadused, arvutamine. 29. Muutuja vahetus kahekordses integraalis, üleminek polaarkoordinaatidele 30. Kolmekordse integraali mõiste, arvutamine. 31. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis, üleminek silindrilistele ja sfäärilistele koordinaatidele. Kolmekordse integraali rakendused: keha ruumala ja massi valem. III osa Diferentsiaalvõrrandid (15 punkti) 32. Diferentsiaalvõrrandi mõiste, liigitus, järk. 33. . Diferentsiaalvõrrandi üldlahend, erilahend. Integraalkõver. Cauchy ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesuse teoreem 34
Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11. Gradient (definitsioon, omadused ja tähistused). 12. Tuletis suvalise ühikvektori suunas (tähistus, leidmine). 13. Kahekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kahekordset integraali? 14. Kahekordse integraali rakendusi. 15. Üleminek polaarkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 16. Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? 17. Üleminek silinderkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 18. Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 19. Kolmekordse integraali rakendusi. 20. Joonintergaalid (tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused
Kuidas arvutada kahekordset integraali? OMADUSED: Lineaarsus Adiktiivsus. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1,D2 millel pole ühiseid seesmisi punkte Monotoonsus Kõigepealt arvutan sisemise integraali, panen rajad asemele ja siis välimise integraali ja panen rajad asemele. 16.Kahekordse integraali rakendusi Kujundi pindala leidmine Keerukamate kujundite massi Massikeskmeid 17.Üleminek polaarkoordinaatidele(millal kasutada, üleminekuvalemid) Kasutada siis, kui piirkond D on ringjoon x=r∗cosθ , y=r∗sinθ , r2=x2+y2 18.Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? Lineaarsus Adiktiivsus. Kui piirkond V on jaotatud kaheks piirkonnaks V1 ja V2, millel pole ühiseid seesmiseid punkte Monotoonsus. kui f on suurem kui g igas piirkonna V punktis
Kui f(x,y)s=F(u,v)s, siis f(x,y)sF(u,v)Js', kus paremal olev integraalsumma on võetud üle piirkonna D'. Minnes piirile eeldusel, et diams'0, saame täpse võrduse (21.4.): J See valem (21.4.) võimaldab kahekordse integraali arvutamist üle piirkonna D taandada integraali arvutamise üle piirkonna D', mis võib osutuda lihtsamaks ülesandeks. Kahekordne integraal polaarkoordinaatides. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele on erijuhtum muutujate vahetusest kahekordses integraalis. Sel juhul u=r ja v=: Arvutame ristkoordinaatide x-i ja y-i polaarkoordinaatideks r ja teisendamise jakobiaani: J Järelikult . Üleminekut polaarkoordinaatidele on mõistlik kasutada juhtudel, kus funktsioon f(x,y) on kujul f(x 2+y2) või piirkond D on ring või selle teatud osa. 5
Universumi kärjetaoline struktuur See pilt lõpetas kolm aastat kestnud rahvusvahelise programmi, olles vaid üheks lüliks lõputa ahelas. Algas kõik 1977. a., kui Tõravere astronoom Mihkel Jõeveer tuli mõttele kasutada galaktikate ruumjaotuse uurimisel uut kartograafilist võtet - kiildiagrammi. Nii (ingl. wedge diagram) nimetatakse seda praegu. Meie kasutasime esimest pähe tulnud analoogi -"apelsinilõik". Mõte oli selles, et joonistada galaktikad paberile vastavalt polaarkoordinaatidele, kus polaarnurgaks on näiteks käändenurk, raadiuseks aga punanihkest arvutatud kaugus. Et teist nurka (otsetõusu) paberile panna on võimatu, jaotus on ruumiline - tuli joonistada seeria pilte erinevate otsetõusude vahemike tarvis. Ruumis vastab igale sellisele pildile kiilukujuline kiht, millest ka meetodi nimetus. Juba esimesed pildid näitasid, et senised ettekujutused galaktikate jaotusest ei pea paika.
Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t x Rn, nimetatakse regulaarseks , kui · Ta on üksühene · osatuletised xk(t), k=1,.....,n on pidevad piirkonnas · teiseduse jakobiaan Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Rn ja teisendus t x on regulaarne piirkonnas ' Rn ning teisendub piirknna ' piirkonnaks , siis Üleminek polaarkoordinaatidele, kui teisendus on kujul ja , kui Saame Kui piirkond D on polaarkooordinaatides piiratud kiirtega ning kõveratega ja , siis saab valemi esitada kujul 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides Kolmekordne integraal: c R3 Piirkond ruumis piirkond kinnine, mõõtuv, tõkestatud hulk Definitsoon: Kui eksisteerib Mis ei sõltu osapiirkondadeks j jaotamise viisist ega punktide Pj j valikust, siis seda
Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas Ω teiseduse jakobiaan n Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Ω R ja teisendus t →x ϵ Ω on regulaarne n piirkonnas Ω’ R ning teisendub piirknna Ω’ piirkonnaks Ω, siis Üleminek polaarkoordinaatidele, kui teisendus on kujul ja , kui Saame Kui piirkond D on polaarkooordinaatides piiratud kiirtega ning kõveratega ja , siis saab valemi esitada kujul 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides Kolmekordne integraal: Ω c R3 Piirkond ruumis piirkond – kinnine, mõõtuv, tõkestatud hulk Definitsoon: Kui eksisteerib
Muutuja vahetus Kui x=x(u,v) ja y=y(u,v), siis kahekordses integraalis f ( x , y ) dxdy= f ( x (u , v ) , y ( u , v ) )J ( u , v )dudv , kus J(u,v) on teisenduse D D' jakobiaan J(u,v)= |xy '' uu xy'' vv| !=0 Üleminek Kui x=r*cos, y=r*sin ja teisenduse jakobiaan J(r,)=r, siis polaarkoordinaatidele r 2 () f ( x , y ) dxdy= d f ( rcos , rsin ) rdr D r 1 () Kolmekordne Piirväärtust, mis ei sõltu piirkonna V jaotusviisist ja punktide P i valikust, integraal nimetatakse kolmekordseks integraaliks Muutujavahetus
3) kui integreerimispiirkond D on regulaarne, siis on kaksikintegraalid võrdsed ja integreerimisjärjelord määratakse vastavalt integreerimispiirkonna kujule nii, et arvutisi oleks võimalikult vähe ja nad oleksid võimalikult lihtsad. 4) kui D ei ole regulaarne, siis tuleb ta jaotada regulaarseteks osadeks, arvutada integraalid vastavalt eeltoodud valemitele ja kasutada lõpliku vastuse saamiseks aditiivsuse omadust ehk siis tulemused kokku liita. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele kahekordses integraalis Teoreem: kui funktsioon w=f(x,y) on pidev kinnises piirkonnas D(x,y) ja (u , v) on piirkond, mille võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v) määratud regulaarne teisendus kujutab piirkonnaks D, siis kehtib kahekordsete integraalide jaoks võrdus: f ( x, y)dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv , kus J D x xv
Üleminek funktsiooni F valemi põhjal saame järgmised võrrandid: f′x (x, y) + λ ′x(x, y) = 0 , f′y (x, y) + λ ′y(x, y)= 0 polaarkoordinaatidele, kui teisendus on kujul ja piirkonnas D järgmisi tingimusi: M, N, , Є C(D); ; Ilmselt on funktsiooni F statsionaarseid punkte(st lahendeid) rohkem kui funktsiooni f tinglikke
a c 1 ( x ) 2 ( x) a 1 ( x ) Seega b 2 ( x ) f ( P)dS = dx f ( P)dy D a 1 ( x) Kui piirkond D on regulaarne x-telje suhtes ja antud võrratustega 1(y)x2(y) ja cyd, siis c 2 ( y) f ( P)dS = dy f ( P)dx D c 1 ( y) 19. Kahekordse integraali muutujat evahetuse valem. Üleminek polaarkoordinaatidele Olgu antud f ( x, y )dxdy D ning u=u(x,y) ja v=v(x,y). Igale punktile (x,y)D seatakse vastavusse arvupaar (u,v). Kui (x,y) muutub üle D, siis kujutispunkt (u,v) kujundav uv-tasandil kujundi D'. Eeldame, et a) punkt (x,y)D on üheselt taastatav punkti (u,v)D' põhjal, st iga (u,v)D' leidub üks ja ainult üks (x,y)D nii et (u,v) on (x,y) kujutiseks. Igal (u,v)D' vastab üks ja
kujundi pindtihedus võrdub kõijal ühega, avaldub valemiga IO x2 y 2 dxdy 3 D Tasandilise kujundi D inertsmomendid vastavalt x- ja y-telje suhtes avalduvad aga valemiga I xx y 2 dxdy D I yy x 2 dxdy D Näide 32. Arvutada ringi D inertsmoment keskpunkti O suhtes, kui ringi raadius on R. Minnes üle polaarkoordinaatidele, saame 2 R IO x2 y 2 dxdy 2 d d 0 0 D 2 4 R R4 2 R4 4 0 d 4
piirkonnaks , siis Sama, mis 6. ... f(x) fx1 ... dxn = ... ' f(x(t)) | J(t)| dt1 ... dtn. Üleminek polaarkoordinaatidele, kui teisendus on kujul Tuletada Taylori valem kahe- voi mitmemuutuja funktsiooni jaoks. x = pcos Funktsiooni z=f(x,y) nimetatakse n korda diferentseeruvaks punktis P(x,y), kui selle funktsiooni kõik (n-1)-järku osatuletised on y = psin , kus (p, ) ja diferentseeruvad punktis P
Regulaarne teisendus teisendab kinnise piirkonna kinniseks piirkonnaks, sisepunkti sisepunktiks ning rajapunkti rajapunktiks. Väide. Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud piirkonnas D ning teisendus x = x(u , v ) , y = y (u , v ) on regulaarne ja teisendab piirkonna D piirkonnaks , siis f (x, y )dxdy = f [x(u, v ), y(u, v )]I (u, v )dudv . D Üleminek polaarkoordinaatidele Olgu r 0 ja punkti P = ( x, y ) polaarkoordinaadid. Seega x = r cos y = r sin (r , ) . cos - r sin Jakobiaan I (r , ) = sin r cos ( = cos r cos - sin (- r sin ) = r cos 2 + sin 2 = r . ) Seega f (x, y )dxdy = f (r cos , r sin ) r dr d . D
ristkoordinaadid komplekstasandil. L¨ ahme u ¨le polaarkoordinaati- dele. Olgu punkti z kaugus koordinaatide alguspunktist (polaar- kaugus) ning polaarnurk. Lepime kokku: kui nurka m~ o~odame reaaltelje positiivsest poolest vastup¨ aeva, siis > 0, kui m~o~odame reaaltelje positiivsest poolest p¨ arip¨ aeva, siis < 0. ¨ Uleminekuvalemid polaarkoordinaatidele on j¨ argmised: 2 2 = (Re z) + (Im z) = |z| Re z = cos Im z = sin Im z Ilmselt tan = Re z . Kasutades u ¨leminekuvalemeid, saame z = Re z + i Im z = |z| cos + i|z| sin = |z|(cos + i sin ) 16 V. Kompleksarvud Avaldist
Seega funktsioon polaarkoordinaatides esitatakse s~oltuvusena = (), mis iseloomustab, kui- das polaarraadius s~oltub polaarnurgast. 7 N¨aide 1. Teisendame ilmutamata kujul antud funktsiooni (x-r)2 +y 2 = 2 r polaarkoordinaatidesse. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga (r; 0) ja raadiusega r. Avades antud v~orduses sulud, saame x2 - 2rx + r2 + y 2 = r2 ehk x2 + y 2 = 2rx. Minnes teisenduste (5.6) abil u ¨le polaarkoordinaatidele, saame 2 = 2r cos ehk = 2r cos . N¨aeme, et polaarraadius avaldub polaarnurga suhteliselt lihtsa ilmutatud funktsioonina, mille graafikuks olev ringjoon on joonisel 5.12. r 2r Joonis 5.12. Funktsioon = 2r cos N¨ aide 2. Teisendame polaarkoordinaatidesse ilmutamata kujul esitatud
annaabi.ee 
