Mittehomogeenne väli ( väljatugevus ei ole kõigis punktides ühesugune) muutub iga telje suunas erinevalt. Iga välja punkt on laengu enda punktiks. Juhul kui div E on positiivne, siis nendes välja punktides asuvad välja allikad. Seal kus on negatiivne seal välja neelud. Vektori E jooned saavad alguse allikatest ja suubuvad neeludes. 4. Gaussi teoreemi rakendusi. · Ühtlaselt laetud lõputu tasandi väli. Vaatleme välja, mille tekitab konstantse pindtihedusega laetud lõputu tasand; konkreetsuse mõttes loeme laengu positiivseks. Sümmeetrilisusest järeldub, et väljatugevus on igas välja punktis suunatud tasandiga risti. Tasandi suhtes sümmeetriliselt paiknevates punktides on väljatugevus suuruselt ühesugune ja suunalt vastupidine. Kui me kujutame ette silindrilist pinda, mille moodustajad on risti tasandiga ja põhjad S asetsevad tasandi suhtes sümmeetriliselt. Rakendades sellel pinnal Gaussi teoreemi.
Tallinna Tehnikaülikool Polümeermaterjalide instituut Tekstiilitehnoloogia õppetool Laboratoorsete tööde protokoll Kanga pindtiheduse määramine Õppejõud: Tiia Plamus Üliõpilane: Marco Oolo Õpperühm:KAOB51 Üliõpilaskood: 134416 Teostatud: 13.11.15 Kaitstud: Tallinn 2015 Kogu eelneva edastasin teile kirjalikul kujul , siin on ainult arvutused ja järeldus.. 4. Arvutuskäik Pindala S(cmxc x(cm) y(cm) m) Camo 11 12 132 10,3 10 103 10 10 100 Teksa 10 11,5 115 10 11 110 102,97 9,66 10,66 5 Sinine 9,75 ...
siis summaarne elekriväljatugevus on võrdne üksikute elektriväljatugevuste vektori summaga. Elektrivälja jõujooned pidevad jooned mille igast punktist tõmmatud puutuja siht ühtib väljatugevuse vektori sihiga. Homogeenne elektrivälielektrivälji mille tugevus on välja igas punktis nii suuruselt kui suunalt ühesugune. Ühtlaselt laetud kera elektriväli Laeng on jaotunud ühtlaselt kera pinnal. Jaotumist keha pinnal iseloomustatakse pindtihedusega. Ühtlaselt laetud tasandi elektriväliElektriväljatugevus ei sõltu punkti kaugusest tasandist. Polaarne dielektrik koosnevad molekulidest mille positiivse ja negatiivse laengu jaotuskeskkond ei ühti. Mittepolaarne dielektrik koosnevad molekulidest mille positiivse ja negatiivse laengu jaotuskeskkond ühtib Potensiaaliväli väli mille jõudude töö ei sõltu laengu liikumise trajektoorist. Seal tehtav tõõ võrdub 0 kui laeng liigub uletud trajektooril.
pöördvõrdeline kera pindalaga. See tähendab, et laengu mõju jaotub laengut ümbritsevale pinnale, mis punktlaengu korral laengust eemaldudes suureneb. Vaatame nüüd punktlaengu asemel laetud pinda, kus laengu pindtihedus (ühe ruutmeetri laeng) on . Kui pind on küllalt suur (teoreetiliselt lõpmatu), siis saab temast mõlemal pool olla ainult homogeenne elektriväli, mille tugevus ei olene kaugusest. Analoogia põhjal punktlaenguga võime oletada, et väljatugevus on võrdeline laengu pindtihedusega ja pöördvõrdeline 2-ga, kus 2 tähistab kahte suvalist pinda uuritavast pinnast ühel pool ja teisel pool. Sellise kvalitatiivse analüüsi alusel saame tasapinnalise laengu tekitatud elektrostaatilise välja tugevuseks E= , kus on laengu pindtihedus. 2 0 Pseudojõud Pseudojõud on sellised jõud, mida tegelikult pole olemas. Need on nähtused, mida tekitab
r
vektori E suunaga nendes punktides.
r
Gaussi teoreem: E - voog läbi kinnise pinna S on võrdne selle pinna sisse jäävate
r q
laengute q S algebralise summaga, jagatud 0 -ga: E dS = S . Siit on saadavad
S 0
valemid ühtlaselt pindtihedusega laetud lõputu tasandi elektrivälja jaoks: E = ja
2 0
q
laenguga q sfäärilise pinna, raadiusega R jaoks: E = , kui r>R ja E=0, kui r
siis pindintegraal avaldub kahekordse integraalina ʃʃΩfdS=ʃʃDf[x,y,z(x,y)]sqrt(1+zx2+zy2)dxdy 16. I liiki pindintegraali rakendused: ruumilise pinnatüki pindala, mass, masskese ja inertsmomendid, näiteid 1)Pinnatüki pindala. Sileda pinna Ω pindala on arvutatav valemiga SΩ=ʃʃΩdS 2)Pinna mass. Olgu pinna Ω pindtihedus määratud funktsiooniga γ= γ(x,y,z). Pinna mass on sellisel juhul mΩ arvutatav mΩ=ʃʃΩγ(x,y,z)dS 3)Masskeskme koordinaadid. Materjaalse pinna pindtihedusega γ(x,y,z) masskeskme C(xc,yc,zc) koordinaadid saab arvutada valemitest: xc=1/mΩʃʃΩxγ(x,y,z)dS yc=1/mΩʃʃΩyγ(x,y,z)dS zc=1/mΩʃʃΩzγ(x,y,z)dS 4)Pinna inertsmomendid. Olgu pinna Ω pindtihedus määratud funktsiooniga γ=γ(x,y,z). Selle pinna inertsmomendid koordinaattelgede suhtes saab arvutada järgnevate valemitega: Ix=ʃʃΩ(y2+z2)γ(x,y,z)dS Iy=ʃʃΩ(x2+z2)γ(x,y,z)dS Iz=ʃʃΩ(x2+y2)γ(x,y,z)dS 17
S=llruutjuur(1+(f´x)2+(f´y)2)dxdy piirkond Dk n(vektor)=(dz/dx;dz/dy;-1) D z-zk=dz/dx(x-xk)+dz/dy(y-yk) =limk=llruutjuur(1+(z´x)2+(z´y)2)dxdy pinnatüki pindala, ei sõltu jaotusest D k=Sk/cos=Sk*ruutjuur(1+(z´x)2+(z´y)2) n(vektor)=(z´x;z´y;-1) cos=1/ ruutjuur(1+(z´x)2+(z´y)2) n =lim ruutjuur(1+(z´x)2+(z´y)2)*Sk=llruutjuur(1+(z´x)2+(z´y)2)dxdy k=1 24. Keha massi, masskeskme ja inertsmomentide arvutamine Olgu xy-tasandi piirkond D kaetud massiga pindtihedusega (x,y). Nimetame koorikuks keha, mille üks mõõde on teistest oluliselt väiksem. Seega tegemist on meil koorikuga, mis paikneb piirkonnas D ja on pindtihedusega (x,y). Olgu D jaotatud osapiirkondadeks Di(i=1;...;n). Olgu Pi(i,i) kuulub Di. Kui Si on piirkonna Di pindala, di piirkonna Di läbimõõt ja (x,y) kuulub C (D), siis vaadeldava kooriku mass m on leitav kui piirväärtus n lim (Pi)Si m=ll(P)dS (3.4.9) max di->0 i=1 D
EdS = q s = i =1 qi pideva jaotuse korral EdS pdV n qs = S 0 S 0 V 1.5. Gaussi teoreemi rakendusi 1.5.1. Ühtlaselt pindtihedusega laetud lõputu tasandi elektriväli dq E= dS 1.5.2. Kahe paralleelse erinimeliselt laetud lõputute tasandite elektriväli 1 Nende vahel E = , väljaspool E=0 1.5.3. Laetud (q) kera pinna väli q
I-ndta tükki kui i-nda tüki pindala. Olgu S i mass mi. Kui osapiirkond Si on väike, siis võib aine pindtiheduse Si peal lugeda ligikaudselt konstatntseks ja võrdseks arvuga (Pi)Si saame funktsiooni integraalsumma n mn= (Pi)S, mis võrdub ligikaudselt piirkonna D massiga i=1 11. Tuletada valem tasandilise kujundi masskeskme koordinaatide arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu. Olgu antud tasandiline materiaalne kujund D pindtihedusega (P). Määrata tuleb kujundi D masskeskme Pc=(xc,yc) koordinaadid. Ülesande lahendamiseks jaotame piirkonna D osapiirkondadeks S1,S2,...Sn ja valime igas osapiirkonnas Si ühe punkti Pi=(xi,yi) Tähistagu Si jälle samaaegselt nii i-ndat tükki kui i-nda tüki pindala ning tüki Si mass olgu mi. Eelnevalt nägime, et väikese osapiirkonna Si korral: mi (Pi) Si Asendame materiaalse pinnatüki Si punkti Pi kontsentreeritud masspunktiga, mille mass on mi
Neile ristkülikutele ehitatakse risttahukas, mille külgtahud lõikavad lõpmatust tasandist välja ristkülikukujulise pinnatüki. Nüüd on meil mõõtmetega kinnine pind, mida elektriväli läbib ning saab rakendada Gaussi teoreemi: Φ=4 π kS σ Voog läbib ainult risttahuka otsmisi tahke ja on nendega risti. Seepärast saab selle jagamisel tahkude pindalaga voo tiheduse otsimisel tahul ehk väljatugevuse samas kohas: Φ E= =2 π k σ Väljatugevus on võrdeline laengu pindtihedusega. 2S Ühtlaselt laetud lõpmatu tasandi elektriväli: E=σ/(2* ε0) Kahe paralleelse tasandi (mille laengu pindtihedused on σ 1 ja σ 2¿ puhul on, vastavalt superpositsiooni printsiibile, tegelik väljatugevus kummagi plaadi poolt põhjustatud väljatugevuste summa. Plaatide vahel: E= E 1−E 2=2 π k ( σ 1−σ 2) Väljaspool: E= E 1+ E 2=2 π k (σ 1+σ 2) Need valemid kehtivad piisava täpsusega ka lõplike plaatide korral, kui plaatidevaheline kaugus
elektriväli? Punktlaengu q elektrivälja tugevus kohavektoriga r määratud punktis: E=1qer/40r2 Lõputu laetud silindri väli E(r)=1/2 0* /r Ühtlaselt laetud tasandi väljas on tugevuse suurus mistahes kaugusel ühesugune E=/20 Kahe erinimeliselt laetud tasandi piirkonnas on liituvad väljad ühesuunalised, mistõttu resultantvälja tugevus on E=/0 Sfääriline pind, mille r < R , ei sisalda laenguid, mistõttu E(r)=0 . Seega ühtlase pindtihedusega laetud kera sisemuses väli puudub.Väljaspool seda pinda on väljal samasugune kuju nagu sfääri keskpunkti paigutatud niisama suure punktlaengu väljal. Punktlaengu q1 väljatugevus teise punktlaengu q2 asukohas F12 q q q E1 = = k 12 2 = k 12 q2 r q2 r Elektriväli juhi sees ja juhid elektriväljas Elektriväli juhi sees - Juhtides elektriväli puudub nii välise välja puudumisel kui ka selle olemasolul
siis valemi 21 põhjal saame Rdxdy 2 R d S R d 2 R2 R2 x2 y2 0 0 R2 2 D 3.1.3.2 Pinna mass Olgu pinna pindtihedus määratud funktsiooniga x, y, z . Siis pinna mass m on arvutatav valemiga m x, y, z dS 3.1.3.3 Masskeskme koordinaadid Materjaalse pinna pindtihedusega x, y, z masskeskme C(x C , y C , z c koordinaadid saab leida valemitest 1 xc m x x, y, z dS 1 yc m y x, y, z dS 1 zc m z x, y, z dS 3.1.3.4 Pinna inertsmomendid Kui pinna pindtihedus on x, y, z siis selle pinna inertsmomendid koordinaattelgede suhtes on arvutatavad valemitega Ix y2 z2 x, y, z dS
suure tiheduse saavutamiseks kasutatakse mitmekihilisi hologramme. Info kodeeritakse ja säilitatakse tasapinnaliste pikselkujutistena, kus iga piksel tähistab 1 bitti. Täielik paralleelsus võimaldab kiiret lugemist: kui võtta lugemiskiiruseks 1000 hologrammi sekundis, kusjuures iga hologramm sisaldab 1 000 000 pikslit, siis saame väljundkiiruseks 1 Gbit/s. Võrdluseks, DVD kiirus on 10 Mbit/s. Õnnestunud on katsed pindtihedusega 100 bitti ruutmikroni kohta 1 mm paksuses materjalis; paksemas materjalis võib see ulatuda ligi 350 bitini ruutmikroni kohta. Võrdluseks, DVD puhul on pindtihedus 20, magnetketastel aga 4 bitti ruutmikroni kohta. Selle salvestustehnika potentsiaal on haaranud arendusse kaasa paljud firmad alates Bell Labsist kuni USDARPAni (kuhu kuuluvad näiteks IBM, Kodak, Polaroid jt). Meeldetuletus füüsikast Hologramm on kujutis, mis saadakse kahe koherentse valguskiirte kimbu lõikumisel
kui dipooli, mille dipoolmomendi moodul on vastavalt valemile (11.1) p qd p Sd pV , kus d on risttahuka paksus ja V ruumala. Tulemust ruumalaga V jagades saame valemi (11.5) põhjal risttahuka polarisatsioonivektori mooduli P p, 8 s.t. risttahuka polarisatsioon on võrdne otstahul indutseeritud polarisatsioonilaengu pindtihedusega. Tulemust eelmisse valemisse asendades saame summaarse elektrivälja tugevuse mooduli arvutamiseks dielektrikus valemi P E E0 , (11.6) 0 kus E 0 on elektrivälja tugevus samadel tingimustel vaakumis, P on dielektriku polarisatsioon. Saadud valem kehtib suvalise kujuga dielektriku korral mistahes elektriväljas. Valemis (11
Mida suurem on keha laeng, seda suurem on potentsiaalne energia: Kuid see tähendab ka seda, et seda suurem on välja energia, kus laetud keha parajasti asub. Mida suurem on välja energia, seda enam aeg ja ruum teiseneb. Kuid peab arvestama ka seda, et keha seisuenergia ei muutu potentsiaalse energia muutumise arvelt välises jõuväljas. 3.2.1.2 Laetud sfäärilise pinna väli Nüüd aga oletame seda, et meil on sfääriline pind, mis on laetud ühtlase pindtihedusega . Sfäär on raadiusega R. Selline sfäär loob tsentraalsümmeetrilise välja. Igas punktis läbib E vektori siht sfääri tsentrit. Kuid väljatugevus sõltub kera tsentri kaugusest r. Sfäärilise pinna ( raadiusega r ) kõigi punktide jaoks En = E (r). Kui aga r väärtus on suurem R väärtusest, siis sellisel juhul jääb laeng q sfäärilise pinna sisemusse. Laeng q tekitab kogu välja. Seega kust 114
annaabi.ee 
