Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada..........................................................
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada..........................................................
Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32
𝑘→+∞ √|𝑎𝑘 | 𝑘→+∞ √|𝑎𝑘 | 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist Kui f ∈ L 1(R) on lokaalselt tükiti sile, siis Fourier’ teisendus on pööratav, st F −1F f = f
annavad?) Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali Ostrogadski valemiga saab üle minna Kolmekordselt integraalilt pindintegraalile Stokes’i valemiga saab üle minna pindintegraalilt joonintegraalile Esimest liiki pindintegraali saab arvutada valemiga ❑ ∬ f (x , y , g ( x , y ) )√ z 2x + z 2y + 1dA D 26.Arvread(definitsioonid, lisatakse definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused) DEF: Arvjadast u1, u2, u3,....un moodustatud avaldist ∞ u1 +u2 +u3 +… un +…=∑ un nimetatakse arvreaks n=1 Rea liikmed: nimetatakse arvreast arve u1, u2, u3,....un un Rea üldliige: Rea osasumma: Rea n esimese liikme summa
Saan Et süsteem { k (x)} on ortogonaalne lõigul [a, b] , siis , saame Erijuhul, kui tegemist on ortonormeeritud süsteemiga , omandab valem kuju Def. Ortogonaalrida, nimetatakse funktsiooni f(x) Fourier’ reaks ortogonaalse süsteemi järgi. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Lause Ortonormeeritud süsteemi korral integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) Fourier’ rea osasumma kujutab endast funktsiooni f(x) parimat keskmist lähendit võrreldes teiste sama süsteemi järgi moodustatud ortonormaalridade n-ndat järku osasummadega. Valiku dk = ak korral järeldub Minnes piirile n , saame Besseli võrratuse (f,f)≥ Võrdust (f,f)= nimetatakse Parsevali võrduseks. Lause Funktsiooni f(x) Fourier’ rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x) parajasti siis, kui funktsiooni f(x) korral kehtib Parsevali võrdus.
42. Tuletada Greeni valem. 43. Tõestada, et potentsiaalse jõuvälja integraal mööda kinnist kontuuri tasandil võrdub nulliga. Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest (tuletada vastav valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
mD y × ( x , y ) dxdy o Kujundi D inertsimomendid Ix ja Iy vastavalt x- ja y-telje suhtes on leitavad 1 1 valemitega: Ix = y 2 × ( x , y ) dxdy ja Iy = x2 × ( x , y ) dxdy mD mD 4. Read Arvrea osasumma mõiste Jada (Sn); kus Sn = u0 + u1 + un nimetatakse rea osasummade jadaks. Kui leidub piirväärtus S = n lim S n siis seda nimetatakse rea summaks ja kirjutatakse u n=S n n=0 Arvrea koonduvus (d'Alemberti ja Cauchy tunnused) o Kui rea summa S on lõplik, siis öeldakse, et rida koondub summaks S: Kui
Vähendatud programm 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 2. Kahekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 3. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 4. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (esitada vastav valem tuletamata). 5. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. 6. Kolmekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 7. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 8. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 9. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silind...
. . × R, milles elementide liitmine on defineeritud 1. Tõestada Cauchy-Bunjakovski võrratus. Olgu 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kaks nullvektroist erinevat vektorit. Moodustame nendest Lause Ortonormeeritud süsteemi {𝜑𝑘 (𝑥)} korral integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) Fourier’ rea osasumma 𝑆𝑛 (𝑥) = seosega vektoristest lineaarkombinatsiooni 𝑎⃗ + 𝜆𝑏⃗⃗ , 𝑘𝑢𝑠 𝜆 on mingi skalaar. Tulemuseks saame uue vektori ja mittenegatiivsuse
mille liikmed u n (x ) n = 0,1,... on mingil hulgal X määratud funktsioonid u n = u n (x ) . Fikseerides argumendi väärtuse kujutab funktsionaalrida endast arvrida. n Funktsionaalrea u n (x ) osasummaks nimetatakse summat S n (x ) = u k (x ) . n =0 k =0 Funktsionaalrea osasumma on samuti argumendi x funktsioon. Def. Kui punktis x X leidub lõplik piirväärtus lim S n ( x ) = S ( x ) , siis öeldakse, et n funktsionaalrida u (x ) koondub punktis n =0 n x summaks S (x ) . Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub punktis x .
nimetatakse vektorvälja F rootoriks punktis P(x, y, z) ja tähistatakse rotF, st(rotF) (x, y, z) def. = (1.12.3)= (Zy(x, y, z) - Yz(x, y, z),Xz(x, y, z) - Zx(x, y, z), Yx(x, y, z) - Xy(x, y, z))ehk lühidalt rotF =(Zy - Yz,Xz - Zx, Yx - Xy) . 31. Arvrea koonduvus ja summa Arvujadast u1, u2, ... , un moodustunud avaldist uk = u1+u2+...+un+...seda avaldistt nim reaks. Need arvud u1, u2, ..., un on rea liikmed n- esimesest liikmest koostatud summa Sn=u1+u2+...+un -> rea osasumma, kui olemas limnSn =Sk, siis seda piirväärtust nim rea summaks (kindel suurus) uk=S, öeldakse, et rida koondub. Kui piirväärtust ei eksisteeri või see on lõpmatus, siis rida hajub. 32. Rea koonduvuse tarvilik tingimus Rea koonduvuse tarvilik tingimus: kui rida ai =1 i koondub siis, kui nlim
... Tähistame x ( n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n Jada, mis ei koondu ( nlim x n = ± või lim x n ), , nimetatakse hajuvaks. n 22. Arvread. Arvrea osasumma. Arvrea koonduvus ja hajuvus, arvrea absoluutne koonduvus. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus*. Lõpmatu arvrea ehk rea all mõeldakse avaldist: ( u n ) = u n = u 0 + u1 + ... + u n + ... (1) n=0 Kus u 0 , u1 , ... on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks n Summasid u k =1 1 + u 2 + u 3 + ..
. on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks. Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks. Definitsioon: Jada (U n ) , kus n U n = uk , (2) k =0 nimetatakse rea osasummade jadaks. Igale reale (1) võib koostada tema osasumma jada (2) ja vastupidi, kui on antud rea osasummade jada (2), siis võrduste u0 = U 0 , un = U n - U n-1 (n = 1, 2, ...) abil võime saada rea (1). Seega võime realt alati üle minna tema osasummade jadale ja vastupidi. Definitsioon: Kui eksisteerib (lõplik või lõpmatu) piirväärtus U = lim U n , (3) n
. + pn1 + (−q1 ) + . . . (−qn2 ) + pn1 +1 + . . . + pn3 , Q2 := P2 − qn2+1 − . . . − qn4 , jne. Siis 0 < Pi − a 6 pn2i−1 ja 0 < a − Qi 6 qn2i iga i ∈ N korral 156 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread (põhjendada!)z. Kuna pni → 0 ja qni → 0 protsessis i → ∞ (põhjendada!)z, siis Pi → a ja Qi → a. Olgu s′m ümberjärjestuse (6.14) m-s osasumma. Siis leidub i ∈ N, et kehtib kas Qi−1 6 s′m 6 Pi või Qi 6 s′m 6 Pi (põhjendada!)z. Seejuures i → ∞, kui m → ∞, mistõttu s′m → a, s.t. vaadeldav ümberjärjestus koondub summaks a. Märkus. Teoreemi 6.29 tõestuse käigus sisuliselt juba näidati, et teoreem 6.30 kehtib ka juhul a = ∞ ja a = −∞. Näiteks juhul a = ∞ võib indeksiteks n1 , n2 , . . . , nj , . . . , valida vähimad naturaalarvud, mille korral järgmine summa rahuldaks võrratust
Kui koondub rida uk k=1 siis iga fikseeritud n v¨aa¨rtuse korral koondub ka uk k=n+1 ja vastupidi. N¨aide 1. Geomeetrilist jada (8.2) nimetatakse h¨a¨abuvaks, kui |q| < 1. Selle jada n-is osasumma on a1 (1 - q n ) Sn = 1-q ja summa a1 (1 - q n ) a1 a1 q n a1 S = lim = lim - lim = , n 1-q n 1 - q n 1 - q 1-q sest tingimuse |q| < 1 t~ottu lim q n = 0 n N¨ aide 2. Rea
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
