Mitu erinevat komplekti ta saab moodustada? Kasutades korrutamisreeglit, saame erinevaid võimalusi 12. 4. Esimese n positiivse täisarvu korrutise ülesmärkimiseks kasutatakse sümbolit n! (n faktoriaal). n! = 1*2*3* ... *(n-1)*n 1! = 1 0! = 1 5. Permutatsioonideks n elemendist nimetatakse n-elemendilise hulga n- elemendilisi ................................?........................................ osahulki ning permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! 6. Hiireküla algkooli kehalise kasvatuse õpetaja tahab teada, mitu võimalust on panna erinevasse järjekorda oma neljaliikmelise võistkonna õpilasi 4 ×100 m teatejooksuks. Leia võimaluste arv. P4=4*3*2*1=24 7. Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetatakse n-elemendilise hulga k- k elemendilisi osahulki
P0 1 Näide: Mitmel erineval viisil on võimalus moodustada 5-st õpilasest järjekorda? P5 5! 1 2 3 4 5 120 Variatsioonide tüüpülesande võib esitada kujul: On antud n erinevat elementi. Mitmel erineval viisil saab nende hulgast välja valida k elementi, nii et oleks erinev kas vähemalt üks element või elementide järjekord. Variatsioonideks n elemendist k elemendi kaupa nimetatakse n-elemendilise hulga k elemendilisi järjestatud osahulki. Tähis variatsioonide arvu n elemendist k kaupa n! A V k k n n ( n k )! Kui k = 1, siis A n 1 n Kui k = n, siis A n n! Pn n Kui k = 0, siis 1 0 A n Näide: On neli võistkonda. Mitmel erineval moel saab jaotada I, II ja III kohta?
" Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n + m. Korrutamislauset iseloomustab lause: ,,nii objekt A kui ka objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n*m. Permutatsioonid on ühe hulga elemendi kõikvõimalikud järjestused. Permutatsioon nullist on üks. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade erinevaid järjestusi. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n- elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Pn = n! n! =1 2 3 ... ( n -2) ( n -1) n n! V nk = n (n -1) ( n - 2) ... (n - k +1) = = C nk + Pk (n - k )! n! C nk = k! ( n -k )! (a + b) n = C n0 a n + C n1 a n -1b + C n2 a n -2 b 2 + ... + C nn -1 ab n -1 = C nn b n C n0 + C n1 + C n2 + ... + C nn = 2 n Pn permutatsioon n hulga elementide arv n! faktoriaal V nk variatsioon
arengupeetusega 6-7 a laste hulgakujutluste ja arvu mõiste iseärasusi. On välja toodud mitmed omadused vaimse arengupeetustega lastele. Vaimse arengu peetusega lapsed ei suuda kasutada oma teadmisi standardsetest hulkadest verbaalse ülesande lahendamise situatsioonis(nt nad teavad, et neil on 2 kätt, aga nad ei oska öelda, mitu kätt on nt tüdrukul/poisil) ning nad ei taju hulki täielikult, vaid pealiskaudselt. Nad ei erista koguhulgas osahulki ega ühenda osahulki koguhulgaks. Nad omandavad liitmise ja lahutamise mehaaniliselt, sest pole selget kujutlust arvust. Nad ei oska kasutada loendamisoskust, teevad ebatäpseid üldistusi, on rasketi õpetatavad.Viiest suurema arvuga opereerimine valmistas suuremaid raskusi kui normaalsetel lastel. Esinevad raskused arvu, hulga ja numbri vahelise seose kujunemisel. Neile tuleb meelde tuletada õige võte, kuidas tegutseda, neid on vaja stimuleerida tegutsemise ajal rääkima ja kuulama või näidisega võrdlema.
Katse on tegevus (täringu või mündi viskamine, urnist esemete võtmine). Katse kolm tingimust nõuavad, et katse tulemusi peab olema lõplik arv, kõik tulemused on võrdvõimalikud ning katse tulemusena tuleb esile ainult üks võimalikest tulemustest. Elementaarsündmused (E1; E2; E3; ...; En) on katse tulemused, kui kõik kolm tingimust on täidetud. Elementaarsündmuste ruumi (U = { E1; E2; E3; ...; En }) moodustavad kõik elementaarsündmused kokku. Elementaarsüdmuste ruumi kõiki osahulki nimetatakse sündmusteks (A; B; C; ...). Sündmusi liigitatakse juhuslikuks sündmuseks (võib esile tulla, võib ka mitte tulla), võimatuks sündmuseks (ei saa esile tulla; V) ning kindlaks sündmuseks (tuleb esile igal katsel; ). Sündmuse A vastandsündmuseks A nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. Sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A
n! v kn =n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗( n−k +1 )= erinevaid järjestusi. ( n−k ) ! 69) kombinatsioonid ja arvutamine. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa k n! (k ≤ n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki Cn = k ! ( n−k ) ! 70)Sündmus ja selle tähistamine. Sündmus on tegevus, mille katse võimalikku tulemust ei teata ette (P) 71)Mis on tõenäosus ( sõnastus ja valem) Sündmuse tõenäosus on arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust teatud tingimustel. soodsate võimaluste arv Sündmus= kõigi võimaluste arv 72) a) Eksponentfunktsiooni graafik
elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x rohkem kui kombinatsioone. 4. Kombinatsioonid. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Vnk =Cnk Pk . Cnk =n! / k! (n-k)! 5. Newtoni binoomvale Nt: (a+b)2 = a2 +2ab +b2 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 Püramiid : 1 1=2 0 1 1 2= 2 1 1 2 1 4= 2 2 1 3 3 1 8= 2 3
erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on
alati reaalarv.
REAALARVUDE PIIRKONNAD
Reaalarve võime kujutada punktidena arvteljel. Valime arvteljel kaks suvalist
reaalarvu a ja b nii, et a < b. Kandes need reaalarvud kasvavas järjekorras arvteljele,
näeme ,et punktid a ja b jaotavad arvtelje kolmeks osaks e. piirkonnaks.
xb x
Sellised piirkonnad kujutavad endast reaalarvude osahulki. Mõnedele neist hulkadest
on antud spetsiaalsed nimetused ja tähised. Need on esitatud järgmises tabelis.
Nimetus Tingimus Tähis Graafiline esitus
Lõik a-st b-ni Axb [a; b]
a b
Vahemik a-st b-ni A
igale punktile parajasti üks reaalarv. Seega võime öelda, et reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üksüheses vastavuses. Valime arvteljelt kaks suvalist reaalarvu a ja b nii, et oleks a < b. Need arvud jaotavad arvtelje kolmeks osaks e piirkonnaks. x x Sellised piirkonnadb kujunevad endast b reaalarvude hulga osahulki. Mõnedele neist hulkadest on antud spetsiaalsed nimetused ja tähistused. Lõiguks [a,b] nimetatakse kõigi nende reaalarvude x hulka, mille puhul a x b x a b Vahemikuks (a,b) nimetatakse kõigi nende reaalarvude x hulka, mille puhul a < x < b x a b
Sammud, mis on vajalikud matemaatilise induktsiooni tõestusmeetodi läbiviimiseks: (1) Näitame, et esimene väide 1 on tõene (induktsiooni baas). (2) Suvalise täisarvu 1 korral oletame, et on tõene (induktsiooni hüpotees). (3) Tõestame, et +1 on tõene (induktsiooni samm). Matemaatilise induktsiooni meetodi põhjal järeldame, et iga on tõene. Hulga karakteristlik funktsioon Olgu universaalne hulk ja vaatleme tema osahulki . Hulga karakteristlikuks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni (): {0,1}, kus ()={1, , 0, . Karakteristlikul funktsioonil on hulgateoreetiliste operatsioonide suhtes järgmised omadused: 1) ()()() 2) ()()1- () 3) ()()()((),()) 4) ()()+()-()()((),()) 5) ()()-()() 6) ()()+()-2()() 7) ×(,)()() Lõplikud ja lõpmatud hulgad Hulkade ekvivalentsus
= 1 · 2 · 3 · … · n erineval viisil. Näiteks 20 õpilasega klassis saab lapsi erineval moel ritta panna 2432902008176640000 erineval viisil (vähemalt 2 last on vahetanud koha). n! Kombinatsioonid n-elemendist m-kaupa Cn m m! (n m )! N: 10 elemendilisest hulgast saab moodustada 4-elemendilisi osahulki 10! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C104 210. 4!6! 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 NB! Siin pole elementide järjekord hulgas oluline. n! Variatsioonid n-elemendist m kaupa An m (n m )!
raskepärane. 25 26. Kujutluste loomine hulkadest, operatsioonid hulkadega, nende õpetamine. Kujutluse loomine hulkadest põhineb suuresti hulkade materialiseerimisel ja näitlikustamisel. Hulkadega tegelemisel on esimeseks operatsiooniks hulkade tajumine, edasi juba võrreldakse hulkades leiduvate elementide omadusi üks- ühesesse vastavusse viimise teel, seejärel õpetatakse hulki liitma ja eraldama osahulki. Lapsele tuleb selgitada näidete varal, et hulka võib kuuluda väga palju esemeid, millel on vähemalt üks ühine tunnus, nt on hulk klassis olevatest õpilastest. See, et sinna kuuluvad nii tüdrukud kui ka poisid pole esmatähtis, sest see hulk koosnebki õpilastest. Õpilasi on selles hulgas nt 10. õpilasi võib selles hulgas ka ümber paigutada, nt Minni läheb teise pinki istuma, sellest ei muutu aga hulga suurus
rang, kui sellega kaasneb täpsus, põhjalikkus ja andmestiku teadlastele kättesaadavaks tegemine, on siiski heakskiitmist pälviv tegevus kui teadus- töö ajaliselt esimene etapp. 2 0.2. Süstemaatika kui teaduse olemasolu aluseks on tõsiasi, et elusolen- did ei moodusta oma varieeruvuses kontiinuumi, vaid üksteisest enam või vähem selgelt erinevaid rühmitusi (hulki; elusolendite kui hulga osahulki). Süstemaatika põhiühikuks loetakse liiki; nende kirjeldamisega tegeleb nn. α-taksonoomia. Liigid ühendatakse süsteemis perekondadeks, sugukondadeks jt. liigist kõrgemateks rühmitusteks (ß-taksonoomia); neid kõiki koos nime- tatakse taksoniteks. Tuleb eristada taksonit (näit. perekonda või liiki) kui süstemaatika kategooriat, hierarhilise liigitamise klassi (viimase sõna loogika-alases tähenduses) ja konkreetset taksonit (näit. perekonda Anemo-
A = 2. A = {a, b} LAHENDUS 1. A = , ()=? |A| = 0, () = {X | X } = , |()| = 1 2. A = {a, b} |A| = 2, (a, b) = {X | X {a, b} } = {, {a}, {b}, {a, b}}, |()| = 4 Lause Kui hulgas A on n elementi, siis hulgal A on 2n erinevat osahulka TÕESTUS {a 1 , a2 , ... , an } Olgu A hulk, milles on n elementi. Siis A on kujul . Iga elemendi juurde käib mõtteliselt 1 või 0 ehk kas võtan osahulka või mitte, seega osahulki on 2*2*2* ... ehk 2n. 5. LOENG Tehted hulkadega Definitsioon Hulkade A ja B ühendiks nimetatakse hulka A B, mille moodustavad kõik elemendid, mis kuuluvad vähemalt ühte hulkadest A või B, s.t A B = {x | x A x B} Märgime, et alati A A B ja B A B. Tehete abil moodustatud hulkadest piltliku ettekujutuse saamiseks kasutatakse nn Venni diagramme. Näide: 1
annaabi.ee 
