Näide. Kui suur on tõenäosus, et täringut veeretades tuleb paaritu arv silmi? Täringu veeretamisel võib tulla silmade arvuks 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma. Seega on kõikide võimaluste arv 6. Neist paaritud arvud on 1, 3 ja 5. Seega on soodsate võimaluste arv 3. Lahendus. Vastus. Tõenäosus, et täringu veeretamisel tuleb paaritu arv silmi, on 50%. Permutatsioonid on n elemendilise hulga elementidest moodustatud n-elemendilised järjestatud osahulgad. Permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! Kirjutist n! loetakse - "n faktoriaalis" ja arvutatakse järgmise reegli järgi: n! = 1 · 2 · 3 ... (n - 1) · n. Jätke meelde, et 0! = 1 ja 1! = 1. Näited: 1) 1! = 1, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 ja 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. 2) Neljast tähest (k, a, r, u) on võimalik moodustada tähtede ümberpaigutamise teel 4! = 24 erinevat sõna. 3) 13 õpilasega klassis on võimalik teha 13! = 6227020800 erineva järjestusega õpilaste nimekirja
KOMBINATSIOONID JA VARIATSIOONID Kombinatsioonid – alamhulgad, kus järjekord ei ole tähtis Variatsioonid – alamhulgad kus järjekord on täht Variatsioon – n-elemendist (koguhulk) k-kaupa on k-elemendilised erinevad järjestused n! k nPr = V n = ( n−k ) ! r=k 24 2 V 4 = 2 = 12 Kombinatsioon – n-elemendist k-kaupa on k-elemendilised osahulgad n! k C n = k ! ( n−k ) ! SÜNDMUSTE KLASSIKALINE TÕENÄOSUS k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv 0 P(A) 1 P(A) + P(À) = 1 SÜNDMUSTE KORRUTIS JA SUMMA Toimub nii üks kui ka teine - nii sündmus A kui ka sündmus B A – algarv täringul B – kolmega jaguv arv täringul
· valida tuleb kas objekt A või B, siis kõigi erinevate valikute arv on m+n (liitmislause). · valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi valikute arv on m*n (korrutamislause). Kombinatoorika põhimõisted · Permutatsioonid n elemendilise hulga kõik erinevad järjestused.s Pn=n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2* · Kombinatsioonid n elemendis k kaupa on kõik k elemndist koosnevad osahulgad. Ckn=n!/[k!(n-k)!] · Variatsioonid n elemendist k kaupa on k elemendilised järjestatud osahulgad. Vkn=n!/(n-k)! Sündmus ja selle liigid · Kindel sündmus sündmus on kindel, kui tema antud tingimustes alati toimub, p(U) või p(). · Võimatu sündmus sündmus on võimatu, kui tema antud tingimustel ei saa toimuda, p(V) või p(Ø). · Juhuslik sündmus sündmus nimetatakse juhuslikuks, mis antud tingimustes toimub ja võib ka mitte toimuda, p(A), p(B).
Hulgas ei eksisteeri korduvaid elemente, iga elementi on hulgas üks eksemplaar. Milliste sümbolitega tähistatakse elemendi hulka kuulimist või mittekuulumist? No see eurosümbol on kuulumise märk ja mittekuulumise märk on sama, aint maha kriipsutatud. Millal on mingi hulk teise hulga osahulk? Hulk A on hulga B osahulk, kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks. Millal on kaks hulka teineteise osahulkadeks? Kaks hulka on teineteise osahulgad siis, kui nad on võrdsed. Mis on venni diagramm? Venni diagramm on diagramm hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks. Vt. kahe, kolme ja neljahulga venni diagramme(lk32 ja 38) Mis on universaalhulk? Universaalhulk on hulk, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Mis on hulga täiend? Hulga täiendi moodustavad elemendid, mis ei kuulu vastavasse hulka. Milline hulk on tühihulk? Hulk, milles elemendid puuduvad.
Eeldame, et saaksime arvuliselt võrrelda sündmuste toimumiste võimalikkust. 11. Tõenäosuse klassikaline definitsioon. Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse tõenäosust, mille arvutame jagades soodsad võimalused kõikide võimalustega(sündmust A väljendavate elementaarsündmuste hulk jagatud kõigi elementaarsündmuste hulgaga). 12. Kombinatoorika mõisted (kombinatsioonid, variatsioonid, permutatsioonid). Kombinatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad. k n! Cn = k ! ( n−k ) ! Järjekord ei ole oluline, erinevad vaid siis kui elementide hulgad on erinevad. Variatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad. k n! V n= ( n−k ) ! Arv hulgas on fikseeritud ning mitu erinevat järjestust saab olla. Permutatsioon on mingi n-elemendilise hulga n-elemendilised järjestatud osahulgad. Pn=n ! Erinevad järjestused. 13. Üksteist välistavate sündmuste summa tõenäosus
erinevat viiekohalist arvu (kui korduvad numbrid pole lubatud) 4. Kui klassis on 27 õpilast, siis nendest saab moodustada 27! järjekorda. Taskuarvutiga arvutades (on olemas n! või x! klahv, kasutada koos funktsiooniklahviga) leiame, et 27! = 1,08 · 1028. Kui ühe järjekorra loomiseks kuluks 15 sekundit, siis kokku kuluks nende järjekordade moodustamiseks 5,2 · 1021 aastat. 2. variatsioonid n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad (hulga elementidest valitakse välja teatud arv elemente (k elementi) ning esitatakse nende väljavalitud elementide kõikvõimalikud järjestused) Näiteks Laual on kaardid tähtedega M U A R I T E L Väikesel Maril lastakse valida 4 tähte ning asetada need üksteise järele. Kui suur on tõenäosus, et ta laob välja oma nime. Lugeda ta veel ei oska. Lähtume klassikalisest valemist. Kõikide võimaluste arv n leidmiseks arutleme järgmiselt.
väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon S = r 2 , kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk. Funktsiooni määramispiirkonna osahulgad Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on null: X0 = {x | x X , f ( x) = 0} Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: X+ = {x | x X, f ( x ) > 0} Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne: X- = {x | x X, f ( x ) < 0} .
a<0 4) 8) NB ruutjuurt negatiivsest arvust ei ole olemas, aga ruutjuur negatiivse arvu ruudust võrdub selle vastandarvuga 3.Ratsionaalarvud - kahe täisarvu jagatis vaata kujul (q 0); tähis Q; Q=täisarvud+ Ül.1279,1289 Esitada kahe täisarvu jagatisena. positiivsed ja negatiivsed murdarvud; -8=-8:1 0,0082=82:10 000 osahulgad: naturaalarvude hulk ja - =- täisarvude hulk; siia kuuluvad murdarvud on kas lõplikud või lõpmatud perioodilised kümnendmurrud; iga ratsionaalarv avaldub Leida, kumb on suurem. lõpmatu perioodilise kümnendmurruna < + LOE 5< <6 ehk 5,... NB moodustavad reaalarvude hulga 3< <4+4< <5 ehk 7,... osahulga 4.Irratsionaalarvud - saab esitada lõpmatu Ül.1283
10 ! 10 ! 6 !7 8 9 10 Erinevaid võimalusi on C10 = 4 !(10 - 4 ) ! = 4 !6 ! = 1 2 3 4 6 ! = 210 . 4 Variatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest. n! A kn = (n - k ) ! Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel. Kombinatsioonid Kombinatsioonid n-elemendist k-kaupa on n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad (elementide järjestus n! ei ole oluline). C n = k k!( n - k )! Teineteist välistavate sündmuste liitmisteoreem Kahe teineteist välistava sündmuse tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( A B ) = P( A ) + P ( B ) . Tõenäosuste korrutamisteoreem
Teoreemi 2 põhjal saame hulga elemendid esitada paarikaupa erinevate elementidega lõpmatu jadana: ={1,2,3,4,...}. Kui jätame sellest jadast välja need liikmed, mis hulka ei kuulu, siis saame lõpmatu osajada, mille elementide hulk on ={1,2,3,...}.. Jada {} liikmed on paarikaupa erinevad, sest see jada saadi erinevate liikmetega jadast elemente välja jättes. Teoreemi 2 põhjal on hulk loenduv. Järeldus 1. Naturaalarvude hulga ja täisarvude hulga kõik lõpmatud osahulgad on loenduvad. Teoreeme 3 ja 4 on loomulik mõista nii, et loenduv võimsus on vähim lõpmatu võimsus. Järgmiseks teeme kindlaks, rea loenduvuse omadusi, mis on seotud ühendi ja otsekorrutisega. Teoreem 5. 1. Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 2. Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 3. Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 4. Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv. 5. Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 6
Samuti || = 0. Osahulk Definitsioon Hulka A nimetatakse hulga B osahulgaks, kui kõik hulga A elemendid on hulga B elementideks (ehk hulga A iga element kuulub hulka B). Kui hulk A on hulga B osahulk, siis kirjutame A B. Kui hulk A ei ole hulga B osahulk, siis kirjutame A B. Kvantorite abil saame osahulgaks olemist ja mitteolemist kirja panna järgmiselt: A B tähendab, et x (x A x B) ja A B tähendab, et x (x A x B) Näide: 1. (0, 1) [0, 1]. 2. Hulgal {a, b} on järgmised osahulgad: , {a}, {b}, {a, b}. 3. 4. {} {, {}} Sisalduvusseose omadused Lause Hulkade sisalduvusseosel on järgmised omadused: 1. Refleksiivsus: Iga hulga A korral A A; 2. Antisümmeetrilisus: Kui A ja B on sellised hulgad, et A B ja B A, siis A = B; 3. Transitiivsus: Kui A, B ja C on sellised hulgad, et A B ja B C, siis A C; 4. Tühi hulk on iga hulga osahulk. TÕESTUS 2. Eeldame, et A B ja B A. Peame näitama, et A = B. Oletame vastuväiteliselt, et A B.
10! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C104 210. 4!6! 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 NB! Siin pole elementide järjekord hulgas oluline. n! Variatsioonid n-elemendist m kaupa An m (n m )! Moodustatakse osahulgad, kus oluline on ka elementide järjestus, näiteks {Jüri; Mary} {Mary; Jüri}. N: 6 võistlejast saab moodustada 4-liikmelisi teatemeeskondi (arvestades nüüd etappide läbimise järjekorda) 6! 1 2 3 4 5 6 A64 360. 2! 1 2 Kui etappide läbimise järjekord pole oluline, siis selliseid võistkondi on 6! C64 15. 4!2!
Reeglina esimesse klassi tulevad lapsed ei oma ettekujutust liitmisest ja lahutamisest ja nende võtetest. Tööd tuleb alustada eelkursuse raames liitmise ja lahutamise tehte sisu õpetamisest. Selle juures tuleb toetuda esemelistele hulkadele. Tegeleda tuleb eelkõige osahulkade ühendamisega, et saaks kokku koguhulga. Algul tuleb neid osahulki võrrelda, võrrelda koguhulgaga. Võrdlemise tulemuseks peaks olema see, et osahulgad on väiksemad ja kui need kokku panna, siis saad suure koguhulga. Tuleb tegeleda ka koguhulgas osahulga eraldamisega. Iga liigutuse järel tuleb muidugi võrrelda ja arutada läbi, mida me selle tegevuse tagajärjel saime. Liitmise ja lahutamise õpetamisel tuleb toetuda esemelis-praktilisele tegevusele ja loendamisele. Alustatakse sellega arvu 2 juures. Töö käib nii, et võetakse esemed ja palutakse lapsel üks ära võtta/juurde panna ja loenda, mitu said
annaabi.ee 
