sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige.
1 1+x artanh x = ln : X = (-1, 1), Y = R , 2 1-x 1 x+1 arcoth x = ln : X = (-, -1) (1, ), Y = R {0} . 2 x-1 H¨uperboolne siinus ja kosinus on seotud teatud teist liiki joone, nn h¨ uperbooliga. Selle selgitamiseks tuletame k~oigepealt u¨ he abivalemi. Arvutame: ( )2 ( x )2 ex + e-x e - e-x (cosh x) - (sinh x) = 2 2 - 2 2 1 [ 2x ] 1 [ ] = e + e-2x + 2 - e2x + e-2x - 2
1 1+x artanh x = ln : X = (-1, 1), Y = R , 2 1-x 1 x+1 arcoth x = ln : X = (-, -1) (1, ), Y = R {0} . 2 x-1 H¨uperboolne siinus ja kosinus on seotud teatud teist liiki joone, nn h¨ uperbooliga. Selle selgitamiseks tuletame k~oigepealt u¨he abivalemi. Arvutame: 2 2 ex + e-x ex - e-x (cosh x)2 - (sinh x)2 = - 2 2 1 2x 1 2x = e + e-2x + 2 - e + e-2x - 2 4 4
= (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga A - B := A + (-B) Maatrikstehete omadusi illustreerib h¨asti j¨argmise teoreemi t~oestus. orrandi A + X = B ainus lahend on X = B - A. Teoreem 4. V~ oestus. N¨aitame k~oigepealt, et B - A on v~orrandi lahend: T~ A + (B - A) = A + B + (-A) = A + B + (-1)A = 1A + (-1)A + B = [1 + (-1)]A + B = 0A + B = 0 + B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t A + Y = B. Siis Y = 0 + Y = (-A + A) + Y = -A + (A + Y ) = -A + B = B + (-A) = B - A ¨tlebki, et lahend B - A on ainus. mis u J¨ areldus 5. V~ orrandi A + X = A ainus lahend on nullmaatriks.
positiivne konstant. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga koordinaatide alguses, raadiusega r. Selle funktsiooni ilmutamiseks, st tei- y y1 x0 r x y2 Joonis 1.2: Ringjoon raadiusega r sendamiseks ilmutatud kujule, avaldame v~ordusest muutuja y. K~oigepealt y 2 = r2 - x2 , millest y = ± r2 - x2 . Igale x v¨a¨artusele vahemikust (-r; r) vastab kaks muutuja y v¨a¨artust. Joonisel vastab argumendi x0 v¨a¨artusele kaks y v¨a¨artust y1 = r2 - x20 ja y2 = - r2 - 2 x0 . Seega on antud juhul tegemist kahese funktsiooniga. Funktsioonid y = r - x2 ja y = - r2 - x2 2 on selle kahese funktsiooni u ¨hesteks harudeks
. . + u . (6.14) dx x u1 u2 un n 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem. Ilmutamata funktsiooni tuletise valem. Olgu u ¨hemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul v~orrandiga F (x, y) = 0. Eeldame et tuletis f (x) ja osatuletised Fx , Fy eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesm¨argiks on tuletada valem f (x) jaoks Fx ja Fy kaudu. Selleks leiame k~oigepealt u¨hemuutuja funktsiooni F (x, f (x)) tuletise avaldise. T¨aistuletise arvutamise eeskirja (6.14) p~ohjal kehtib j¨argmine valem: dF (x, f (x)) = Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) . (6.15) dx J¨ argmiseks kasutame asjaolu et v~orrand F (x, y) = 0 m¨a¨arab ilmutamata kujul funktsiooni y = f (x). Sellest tulenevalt kehtib samasus F (x, f (x)) 0 . (6
jaoks seose '(t) = dy /dt . Kasutades neid valemeid arvutame: f'(x) = dy /dx = dy dt/ dx dt = '(t)/ '(t) 22. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l~oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f(x) Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a,f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. L~oikaja AP t~ous on ¯ p = tan. T¨aisnurkselt kolmnurgalt APQ n¨aeme, et ¯ p = tan =f(x) - f(a)/x - a . Vaatleme nu¨u¨d piirprotsessi x a. Kui x a, siis P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda joont y = f(x)
funktsiooni f (x) l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratuks integraaliks ja t¨ahistatakse f (x)dx. a Definitsiooni 1 kohaselt N f (x)dx = lim f (x)dx. (5.8) a N a Seega tuleb p¨aratu integraali arvutamiseks leida k~oigepealt funktsiooni f (x) m¨a¨aratud integraal rajades a-st N -ni ja saadud avaldisest arvutada piirv¨a¨artus piirprotsessis N . dx N¨aide 6. Leiame . 0 1 + x2 Arvutusvalemi (5.8) j¨argi N N dx dx
10. K333 , kus k~oik kolm m¨argikomponenti toimivad s¨ umboltasandil. Toodud m¨arkidest 1.,2. ja 5. toimivad ikoonidena; 3., 4., 6. ja 7. osutavate m¨arkidena, 8., 9. ja 10. aga s¨ umbolitena. Tuues sisse sellise komplekse m¨argis¨usteemi teoreetilise k¨asitluse, oleks ka kohane k¨ usida, kuiv~ord sellest k~oigest v~oiks kasu t~ousta kanji m¨argis¨ usteemi vaatlemisel? K~oigepealt tuleb r~ohutada m¨argiolekute omavahelist s~oltuvust, nimelt olekute j¨arjestatuse printsiipi (Joonis 2.3). Kui pole eelnevalt eksistee- rinud n¨aiteks olekut K111 , pole v~oimalik ka oleku K333 tekkimine. Ole- tagem n¨aitena, et on t~olgendaja, kes ei taju n¨aiteks piisava t¨apsusega toidu soolasuse astet (m¨ark K111 ). Selline t~olgendaja ei saa ilmselt kuna- gi oma maitsmisaistingutele tuginedes v¨aita, nagu oleks kokk armunud
X = Xi = Xi = X1 × . . . × Xn , i∈I i=1 x = (xi )i∈I = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ). Otsekorrutisega X saab seostada kujutused πi : X −→ Xi , kus πi (x) = xi , x = (xi )i∈I . Kujutusi πi nimetatakse projektsioonideks. Otsekorrutisel X = i∈I Xi saab vaadelda v¨ahimat topo- loogiat T , mille suhtes k˜oik projektsioonid πi , i ∈ I, on pi- devad. Topoloogia T saadakse j¨argnevalt. K˜oigepealt peab topoloogiasse T kuuluma projektsiooni πj pidevuse t˜ottu iga Aj ∈ Tj ja j ∈ I korral hulk πj−1 (Aj ) = Aj × Xi = i∈I{j} = { (xi )i∈I | xj ∈ Aj ; xi ∈ Xi , kui i = j } kui lahtise hulga t¨aielik originaal. Et topoloogia T peab olema kinnine l˜oplike u ¨hisosade v˜otmise suhtes, siis iga n ∈ N; i1 , . . . , in ∈ I ja Ai1 ∈ Ti1 , . . . , Ain ∈ Tin korral peavad
⇒跣 白川字統 ⇒之 参考 ⇒脱 白川字統 ⇒ 人 参考 ⇒ 見 1 esiots, see mis on ees 4 ette minek, esile t˜ousmine 2 serv 5 k˜oigepealt, peamine 3 varem (elanud), esi(vanemad) 天 ¨ OKE LO ¨ 4 SAGEDUS B . KANJI SHOHO 422 299 51 卜文 ✄
annaabi.ee 
