(X + Y ) + Z = X + (Y + Z). (1.19) 2 Iga X M at(m, n) ja nullmaatriksi M at(m, n) korral X + = X, + X = X. 3 Iga X M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi -X M at(m, n) korral kehtib X + (-X) = , (-X) + X = . 4 Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t~oestame need omadused, m¨argime, et t~oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) - (1.15). T~oestuste l¨abiviimisel kasutame maatriksite liitmise definitsiooni kompaktsel kujul, mis antakse valemitega (1.17) ja (1.18). Soovitame lugejal m~oned neist t~oestustest kirja panna, kasutades maatriksite liitmise detailsemat definitsiooni antuna valemiga (1.16). T~oestame n¨ ¨d maatriksite liitmise omadused 1 - 4 . uu
(1.19) 2◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja nullmaatriksi θ ∈ M at(m, n) korral X + θ = X, θ + X = X. 3◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi −X ∈ M at(m, n) korral kehtib X + (−X) = θ, (−X) + X = θ. 4◦ Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi X, Y ∈ M at(m, n) korral X + Y = Y + X. Enne kui t˜oestame need omadused, m¨argime, et t˜oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) − (1.15). T˜oestuste l¨abiviimisel kasutame maatriksite liitmise definitsiooni kompaktsel kujul, mis antakse valemitega (1.17) ja (1.18). Soovitame lugejal m˜oned neist t˜oestustest kirja panna, kasutades maatriksite liitmise detailsemat definitsiooni antuna valemiga (1.16). T˜oestame n¨ ¨d maatriksite liitmise omadused 1◦ − 4◦ . uu
f(x) Pn(x). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polu¨noomi ka McLaurini polu¨noomiks. 29. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga . Tõestada vastav teoreem. Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad j¨argmised v¨aited: 1. Kui f'(x) > 0 iga x (a,b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a,b). 2. Kui f'(x) < 0 iga x (a,b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a,b). Tõestus: T~oestame v¨aite 1. Olgu f'(x) > 0 iga x (a,b) korral. Valime vahemikus (a,b) kaks suvalist punkti x1 ja x2 nii et x1 < x2. Kui meil ~onnestub n¨aidata, et kehtib v~orratus f(x1) < f(x2), siis on f kasvav vahemikus (a,b) ning v¨aide 1 ongi t~oestatud. Lagrange'i teoreemi p~ohjal leidub vahemikus (x1,x2) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et kehtib v~ordus f(x2) - f(x1) = f'(c)(x2 - x1) Selle v~orduse paremal poolel olev tuletis f'(c) on nullist suurem, kuna me eeldasime f'(x) positiivsust vahemikus (a,b)
, R. Siis 1) A + B = B + A (liitmise kommutatiivsus), 2) (A + B) + C = A + (B + C) (liitmise assotsiatiivsus), 3) A + 0 = A = 0 + A (nullmaatriksi neutraalsus), 4) A + (-A) = 0 = -A + A (vastandmaatriksi olemasolu), 5) (A + B) = A + B (distributiivsus), 6) ( + )A = A + A (distributiivsus), 7) (A) = ()A (arvuga korrutamise assotsiatiivsus), 8) 1A = A (unitaalsus). T~oestus. Me juba t~oestasime omaduse 3) lausega 1 ja omaduse 4) lausega 2. T~oestame veel omaduse 5). Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga A - B := A + (-B) Maatrikstehete omadusi illustreerib h¨asti j¨argmise teoreemi t~oestus.
Seega ka l~opmatut piirv¨a¨
artust omav jada on hajuv jada. Olgu c k~oigi koonduvate
jadade hulk. Asjaolu, et jada {xn } koondub, t¨ahistatakse {xn } c ja asjaolu, et jada
{xn } hajub, t¨
ahistatakse {xn } / c. Definitsioonidele 6 ja 7 v~oib anda kompaktse kuju
xn a ( > 0 n0 = n0 () N : n > n0 |xn - a| < )
ja vastavalt
xn + (M R n0 = n0 (M ) N : n > n0 xn > M ) .
N¨ aide 2. T~ oestame Definitsiooni 6 abil, et N¨aites 1 esitatud jada {(n - 1)/n}
piirv¨a¨artus on arv 1.
Olgu > 0 suvaline. Antud n¨ aite korral xn = (n - 1)/n ja a = 1. Uurime Definit-
sioonis 6 esinevat tingimust |xn - a| < :
n-1 1 1
-1 <
Muutuvat suurust nimetatakse l~ L~opmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise p¨o¨ordarvud. Kehtib j¨argmine v¨aide. 30 Teoreem 2.1. Suurus on l~ opmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1 on l~ o pmatult kasvav. 1 T~oestus. T~ oestame ainult selle v¨ aite esimese poole, so: kui on l~ opmatult kahanev, siis 1 on l~opmatult kasvav. Vastupidine v¨ aide (kui on l~ opmatult kasvav, siis on l~ opmatult kahanev) t~ oestatakse analoogiliselt. Niisiis olgu l~ opmatult kahanev, st 0. Me peame t~ oestama, et suurus = 1
L~opmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise p¨o¨ordarvud. Kehtib j¨argmine v¨aide. 30 Teoreem 2.1. Suurus on l~ opmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1 on l~ o pmatult kasvav. 1 T~oestus. T~ oestame ainult selle v¨ aite esimese poole, so: kui on l~ opmatult kahanev, siis 1 on l~opmatult kasvav. Vastupidine v¨ aide (kui on l~ opmatult kasvav, siis on l~ opmatult kahanev) t~ oestatakse analoogiliselt. 1 Niisiis olgu l~ opmatult kahanev, st 0
suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b], siis b m(b - a) f (x)dx M (b - a), a st m¨a¨aratud integraal j¨a¨ab v¨ahima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise ning suurima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise vahe- le. T~oestus. V~orratuste t~oestused on sarnased. Seep¨arast t~oestame ainult pa- rempoolse v~orratuse. Funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b] on M . Seega iga osal~oikudel juhuslikult valitud punktis k on f (k ) M , st iga k = 1, 2, . . . , n korral f (k )xk M xk . Summeerides saame, et n n f (k )xk M xk =
2 x -2 - 2 -1 Joonis 1.9: funktsioon y = tan x · Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon; · kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon; · paaris- paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon. T~oestame antud v¨aidetest teise. Olgu f (x) ja g(x) paaritud funktsioonid. T¨ahistame nende korrutise h(x) = f (x)g(x) ja leiame h(-x) = f (-x)g(-x) = -f (x) · [-g(x)] = f (x)g(x), st korrutis h(x) on t~oepoolest paarisfunktsioon. 1+x N¨aide 1.9. Vaatleme funktsiooni y = x ln . 1-x 1+x
argumendi muutudest x1 , x2 , . . . , xm , st z dz = C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cm xm . Juhul kui funktsioon f on diferentseeruv punktis A ja osatuletised fx1 , fx2 , . . . , fxm eksisteerivad punktis A, siis Ci = fxi (A) , (6.25) millest j¨ areldub et dz = fx1 (A)x1 + fx2 (A)x2 + . . . + fxm (A)xm . (6.26) T~ oestame valemi (6.25). Olgu funktsioon f diferentseeruv punktis A. Siis on z avaldatav kujul (6.24), kus on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus |P A| suhtes kui |P A| 0. Fikseerime u¨he konkreetse i v¨ a¨artuse 1 - st kuni m-ni. Valime punkti P j¨argmiselt: P = (a1 , a2 , . . . , ai-1 , xi , ai+1 , . . . , am ), kus xi = ai . Siis x1 = x2 = . . . = xi-1 = xi+1 = . . . = xm = 0 ja xi = xi - ai = 0. J¨arelikult |P A| = |xi |. Seega saame valemist (6.24)
Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist j.arku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka teise tuletise m.argi abil. Paneme t.ahele, et joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti .umbruses n~ogus, so .ulespoole kaarduv ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti .umbruses kumer, so allapoole kaarduv. . Ulej.argmise paragrahvi teoreemis 4.5 me t~oestame, et graafik on n~ogus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. 31. Nogusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Nogususe ja kumeruse seos teist jarku tuletise margiga . Teoreem 4.5
Erijuhul, kui I on l˜oplik ja I = {1, 2, . . . , n}, on topoloogi- liste ruumide (Xi , Ti ), i ∈ I, otsekorrutise X = X1 × · · · × Xn topoloogia T baasiks ruumide Xi lahtiste hulkade Ai ∈ Ti otsekorrutised A1 × · · · × An . Kui Bi (xi ) on punkti xi ∈ Xi u ¨mbruste baas, siis punkti x = (x1 ; . . . ; xn ) u ¨mbruste baas on B(x) = { U1 × . . . × Un | U1 ∈ B1 (x1 ), . . . , Un ∈ Bn (xn ) }. Meetriliste ruumide otsekorrutise vaatlemiseks t˜oestame Lemma 5.1 Mis tahes reaalarvude a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn jaoks kehtib v˜orratus n n n 2 ( ai b i ) ≤ ( a2i ) ·( b2i ). (5.4) i=1 i=1 i=1 T˜oestus. Vaatleme funktsiooni
annaabi.ee 
