• suhtelist kõrgust ehk kõrguskasvu Absoluutne kõrgus H määratakse mere või ookeani keskmisest pinnast, mida nimetatakse nullnivoopinnaks. Nivoopind on rahulikus olekus vedeliku pind, mis on igas punktis risti loodjoonega. Seega absoluutsed kõrgused määratakse geoidil. Nullnivoopind määratakse paljude aastate vaatluste põhjal veemõõdulati ehk mareograafi andmetel. Aastast 1946 arvestatakse Eestis absoluutset kõrgust Kroonilinna nullist, mis on määratud Läänemere keskmise nivoopinna alusel aastatel 1825-1840. Käesoleval ajal on meil kasutusel nn Balti kõrguste süsteem – BK77. Absoluutkõrgused Eesti alal on kõige suurema absoluutse kõrgusega Suure Munamäe tipp. Punkti absoluutne kõrgus määratakse nivelleerimise teel. Kõrgtäpse nivelleerimise tehnoloogia võimaldab määrata absoluutseid kõrgusi mõne millimeetri täpsusega. Geodeetilised kõrgused Geodeetiline kõrgus h on punkti kaugus referentsellipsoidi pinnast mööda normaali. Geodeetilised
(z=x2+y2-5) või ilmutamata kujul F ( x 1 , x 2 , x 3 , … x n ; z ) =0 ( x2+y2+z2-5=0) Kahje muutuja funktisooni graafik on kõigi nende punktide (x,y,z) hulk ruumis R3 selliselt, et z=f(x,y) ja (x,y) on määramispiirkonnas D. Seega kahe muutuja graafik on ruumiline objekt, üldjuhul pind, kolmemõõtmelises ruumis R3. Näiteks ring raadiusega 3 2. Nivoopinna mõiste( definitsioon, näited ja omadused) DEF: Määramispiirkonna nende punktide (x,y) hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on konstantne, nimetatakse selle funktsiooni nivoopinnaks võrrandiga f(x,y)=k, kus k on konstant OMADUSED: Määramispiirkonna iga punkti läbib üks nivoopind(näiteks isoterm, isobaar) Nivoopinnad ei lõiku NÄITED: Topograafilised kaardid
puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoopinna normaalvektoriga koos põhjendusega. Kahemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoojoone normaalvektoriga. 19. Nabla. Divergents, solenoidaalne väli. Rootor, keerisevaba väli. Potentsiaalse välja ja potentsiaali mõisted. Tuletada tingimused vektorvälja komponentide jaoks, mida nad peavad rahuldama selleks, et väli oleks potentsiaalne. Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba. 20. Tuletada kahemuutuja funktsiooni teise astme Taylori polünoom. 21
päripäeva määratava suunani Rumb on taandatud esimese veerandi nurk, mida mõõdetakse põhja-lõuna suuna lähima otsa ja määratava suuna vahel Direktsiooninurk ( _ = 0o-360o) so. nurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse suuna põhjapoolsest otsast päripäeva antud suunani See on orienteerimine ristkoordinaatide võrgu x-telje suhtes. Absoluutne kõrgus on kõrgusvahe antud punkti ja Kroonlinna nulli läbiva nivoopinna vahel. Absoluutne kõrgus on punkti kaugus merepinnast mõõdetuna mööda loodijoont Suhteline kõrgus on punkti kaugus suhtelisest nivoopinnast mõõdetuna mööda loodijoont. Geodeetiline kõrgus h on selle punkti kaugus referentsellipsoidi pinnast mööda normaali (vertikaalne sirge). Mõõdistamisvõrk- need on tugipunktid, mille suhtes määratakse situatsiooni elementide ja maastiku objektide asend. Ristjoonte viis- kasutatakse tasasel või nõrga reljeefiga avamaastikul
gradientväljaks] · Gradiendi omadused: 1) suunatuletis: Olgu s vektor ruumis Rm Siis kehtib valem ' s (P)= grad (P)·s/|s|. Erijuhul |s|=1 taandub eelnev valem kujule 's (P)= grad (P) · s. 2) tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui s on gradiendisuunaline. Sellisel juhul 's(P)=| grad (P)|. 3) Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja A punkt tema määramispiirkonnas. Vektor grad (A) on funktsiooni nivoopinna normaalvektor punktis A. teiste sõnadega: grad A) ristub punkti A läbiva nivoopinna (x, y, z)=C puutujatasandiga punktis A. [tuletis funktsiooni u = (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas võrdub nulliga] 22) Nabla. Vektorvälja divergents. Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor. Keerisevaba väli. · Nabla ehk Hamiltoni operaator, mis koosneb ainult osatuletistest. Seega Hamiltoni operaator
gradientväljaks] · Gradiendi omadused: 1) suunatuletis: Olgu s vektor ruumis Rm Siis kehtib valem ' s (P)= grad (P)·s/|s|. Erijuhul |s|=1 taandub eelnev valem kujule 's (P)= grad (P) · s. 2) tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui s on gradiendisuunaline. Sellisel juhul 's(P)=| grad (P)|. 3) Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja A punkt tema määramispiirkonnas. Vektor grad (A) on funktsiooni nivoopinna normaalvektor punktis A. teiste sõnadega: grad A) ristub punkti A läbiva nivoopinna (x, y, z)=C puutujatasandiga punktis A. [tuletis funktsiooni u = (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas võrdub nulliga] 22) Nabla. Vektorvälja divergents. Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor. Keerisevaba väli. · Nabla ehk Hamiltoni operaator, mis koosneb ainult osatuletistest. Seega Hamiltoni operaator
3. Geodeetilised ja ristkoordinaadid määravad punkti plaanilise asukoha ellipsoidil või kaardil. Et Maa füüsilise pinna punktid asuvad kõrgemal nullnivoopinnast, on igale punktile tarvis määrata veel kolmas koordinaat − kaugus nivoopinnast mõõdetuna mööda loodijooont. Seda suurust nimetatakse punkti absoluutkõrguseks ehk altituudiks. Joonisel 2.4 on punkti O absoluutkõrgus tähistatud H O ja punkti P absoluutkõrgus H P . Punkti kõrguse võib määrata ka vabalt valitud nivoopinna suhtes. Sel juhul nimetatakse punkti kõrgust suvaliseks ehk suhteliseks kõrguseks. Joonisel 2.4. on punkti O suhteline kõrgus H OSuht ja punkti P suhteline kõrgus on H PSuht . Vabalt valitud pind võib olla suvaline pind, näiteks õpperuumi põrand. Geodeetiline kõrgus h on selle punkti kaugus referentsellipsoidi pinnast mööda normaali (vertikaalne sirge). 1992.aastast on kasutusel rahvusvaheline ellisoid GRS-80 (Geodetic
(6.38) |s| Erijuhul |s| = 1 taandub valem (6.38) kujule fs (P ) = gradf (P ) · s . (6.39) Omadus 2.Tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui s on gradiendis- uunaline. Sellisel juhul fs (P ) = |gradf (P )|. Omadus 3. Olgu u = f (x, y, z) kolmemuutja funktsioon ja A punkt tema m¨ a¨ aramispiirkonnas. Vektor gradf (A) on funktsiooni f nivoopinna normaalvek- tor punktis A. Teiste s~ onadega: gradf (A) ristub punkti A l¨abiva nivoopinna f (x, y, z) = C puutujatasandiga punktis A. Tuletis funktsiooni u = f (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas v~ ordub nulliga. 22) Nabla. Vektorvälja divergents. Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor. Keerisevaba väli. Nabla. Eemaldades funktsiooni f (P ) gradiendist
w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale. = | gradw | cos , (l0 gradw) l` Iseloomustab: funktsiooni muutumise kiirust määramispiirkonna punkti P liikumisel vektori l0 suunas. Märkus: Gradientvektor on funktsiooni nivoopinna normaaliks ja iseloomustab funktsiooni kiireima muutumise sihti. Definitsioonide kohaselt funktsiooni väärtus ei muutu nivoopinna w` puutuja t0 suunas: =0 t` Gradient: funktsiooni w = f (P ) gradient on n-mõõtmeline vektor, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised: grad w = ( w1 , w2 ,..., wn ) Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum
3 1. Olgu s vektor ruumis R . Siis kehtib valem s f ' ( P ) = |s| 2. Tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui vektor s on gradiendisuunaline 3. Gradient gradf(A) on skalaarvälja f nivoopinna normaalvektor punktis A. Teiste sõnadega: vektor grad f(A) ristub punkti A läbiva nivoopinna f(x,y,z)=C puutujatasandiga punktis A 12. Pinna puutujatasand ja normaalsirge Pinna puutujatasand ja tema võrrand Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y) puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b)) Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis 13
14. Millised geodeetilised põhivõrgud on kasutusel? Eristatakse plaanilist (horisontaalset), kõrguselist (vertikaalset) ja plaaanilis-kõrguselist geodeetilist põhivõrku. Plaanilise geodeetilise põhivõrgu punktid määratakse triangulatsiooni, trilateratsiooni (kolmnurkade kõigi külgede kaugusmõõturiga mõõtmise) või polügonomeetria meetoditega. Kõrguselise geomeetrilise põhivõrgu punktid määratakse geomeetrilise nivelleerimisega mere nivoopinna suhtes. Plaanilis-kõrguselise geodeetrilise põhivõrgu punktid määratakse nüüdisajal Maa tehiskaaslaste (GPS) või elektrontahhümeetrite abil. Geodeetilise põhivõrgu punktide geograafilised koordinaadid määratakse geodeetilise astronoomia meetoditega ja GPS-i mõõtmistega. 15. Mis on geodeetilise põhivõrgu punkt? Geodeetiliseks võrguks nimetatakse maastikul kindlustatud punktide kogumit, millele on ühtses
2) Tuletis suunas, mis gradiendiga risti on null. s grad u = , cos = 0 . 2 11. Nivoojooned ja nivoopinnad. Kõverjoone puutuja ja normaaltasand. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) Def. 11.1. Jooni, mille võrrandiks on f ( x, y ) = c , nimetatakse funktsiooni z = f ( x, y ) nivoojoonteks. Kolme ja enama muutuja funktsiooni korral saame nivoopinnad. Kolme muutja funktsiooni u = f ( x, y, z ) nivoopinna võrrand on f ( x, y, z ) = c . Nivoojoon on pinna z = f ( x, y ) ja tasandi z = c lõikejoon ja selle projektsioon xy tasandile. Vaatleme parameetriliselt esitatud joont kolmemõõtmelises ruumis. x = u(t ) y = v ( t ) (11.1) z = w( t ) t parameeter Anname parameetrile muudu t, siis saavad vastavad muudud ja muutujad x, y, z. Need olgu x, y, z. Vaatleme punkte P ( x, y, z ) ja Q( x + x, y + y, z + z ) Tähistame raadiusvektorid ? r ( t ) = OP = { x ( t ) ; y ( t ) ; z ( t )} ?
kindlad punktide koordinaadid. nüüdseks on rajatud uus tugipunktide võrk, kus koordinaadid on riiklikus ühtses koordinaatide süsteemis. Tiheduspunktide vahele rajatakse polügonomeetrilised käigud, mis ka kuskil sõlmpunktis lõikuvad. Selle süsteemi vead on m=+-1,5 m(d)= +-2..3 mm km kohta. Riiklik kõrgusvõrk on geodeetiliste punktide (reeperid ja kõrgusmärgid) võrk, milledele on määratud kõrgused I, II ja III klassi nivelleerimisega nivoopinna suhtes. Kõrguselise võrgu moodustavad reeperid. Riigi territooriumil reeperid nivelleeritakse käikudena. Meil on kasutusel Balti 1977 aasta kõrguste süstem BK-77, mille aluseks on Kroonlinna veemõõdu null. Riiklikult kindlustatakse kõrgusvõrk fundamentaalreeperitega (allpool külmimispiiri- ca 1,5 m; kõvale aluspõhjalne, otsas nupp, tavaliselt maa all). Tavakasutuseks reeperid pannakse hoonete vundamentidesse
e. Seejärel keeratakse pikksilm tagumise lati poole, seatakse silindrilise vesiloodi mull elevatsioonikruvist keskele ja võetaks punase külje lugem tp. 57. Maa kumerus ja refraktsiooni mõju nivelleerimistulemustele, metoodika nende mõju elimineerimiseks. Rõhtne viseerimiskiir kujutab endast lühemate õlgade puhul sirgjoont, mis on paralleelne instrumendi seisupunkti nivoopinna puutujaga AB0. Et kõrguskasv on tegelikult kahe punkti nivoopindade vahe, siis suuremate kauguste puhul on vaja lõiku BB0 suurendada suuruse k võrra, mida nimetatakse Maa kumerusest tingitud parandiks. Olgu O maakera keskpunkt, AO=OB1=R selle raadius. Maa kumerusest tingitud parandit k=B0B1 saab arvutada täisnurksest kolmnurgast AOB0. Pythagorase teoreemi järgi saame: ehk , kus s=AB0 on nivelleeritavate punktide vahekaugus. Avaldisest
silindrilise vesiloodi mull keskel olema. e. Seejärel keeratakse pikksilm tagumise lati poole, seatakse silindrilise vesiloodi mull elevatsioonikruvist keskele ja võetaks punase külje lugem tp. 54. Maa kumerus ja refraktsiooni mõju nivelleerimistulemustele, metoodika nende mõju elimineerimiseks. Rõhtne viseerimiskiir kujutab endast lühemate õlgade puhul sirgjoont, mis on paralleelne instrumendi seisupunkti nivoopinna puutujaga AB0. Et kõrguskasv on tegelikult kahe punkti nivoopindade vahe, siis suuremate kauguste puhul on vaja lõiku BB0 suurendada suuruse ∆k võrra, mida nimetatakse Maa kumerusest tingitud parandiks. Olgu O maakera keskpunkt, AO=OB1=R selle raadius. Maa kumerusest tingitud parandit ∆k=B0B1 saab arvutada täisnurksest kolmnurgast AOB0. Pythagorase teoreemi järgi saame: 2 2 2 2 2 2
Kõrguskasvu määramise keskmine ruutviga on +- 0,5 mm. GPS mõõtmistega on täpsus sentimeeter. Detsimeetri täpsusega saab teha trigonomeetrilist nivelleerimist. Baromeetriline toimib õhurõhu erinevuste kaudu ning täpsus on detsimeeter. 47. Kõrguslike nivoopindade omadused. Maa kuremusest ja refraktsioonist tingitud parand. Rõhtne viseerimiskiir kujutab endast lühemate õlgade puhul(vahekauguste) sirgjoont, mis on paralleelne instrumendi seisupunkti nivoopinna puutujaga AB. Et kõrguskasv on tegelikult kahe punkti nivoopindade vahe, siis suuremate kauguste puhul on vaja lõiku BB suurendada suuruse k võrra, mida nim. Maa kumerusest tingitud parandiks. k= s²/2R kus s =AB on nivelleeritavate punktide vahekaugus ja R Maa raadius. Peale selle avaldab kõrguskarsvule mõju ka valguskiire refraktsioon. Kallaku maastikul läbib rõhtne viseerimiskiir eri tihedusega õhukihte ja kord-korralt murdudes
annaabi.ee 
