Näited 2a (5 2c) 2 ratsionaalne avaldis: (3x 2 y 3 )3 irratsionaalne avaldis: x2 y2 irratsionaalne avaldis: x2 / 3 y3/ 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Üksliikmed (e. monoomid) Arvulise teguri ja ühe või mitme tähelise sümboli naturaalarvulise astendajaga astme korrutist nimetatakse üksliikmeks e. monoomiks. 3 2 5 2 Näited üksliikmed: 11ab c ; d ; 2d ; 5; 1 x; 4 2 ei ole üksliikmed: 1/ 3 5
Ruutvõrrand Juurvõrrand - võrrand, milles tundmatu esineb juuritavas. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 0 Võrrandi mõlemaid pooli tuleb astendada - b ± b 2 - 4ac (sobivalt valitud) ühe ja sama x1, 2 = naturaalarvulise astendajaga. 2a Diskriminant D = b 2 - 4ac NB! Võrrandi poolte astendamisel paarisarvulise astendajaga võib tekkida Kui D>0, siis 2 erinevat lahendit x1 x 2 . võõrlahendeid. Nende väljaselgitamiseks Kui D=0, siis 2 võrdset lahendit x1 = x 2
2.4 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. FUNKTSIOONI PIDEVUS Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi. Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel. Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub funktsioone, mis on määratud vaid arvtelje ühel osal: poolsirgel, vahemikus või lõigul
ja kuupsplaininterpolatsioon! vt osa 7 punkt 1.15.1 lk 53 OSA 4 1. Mis on jada, arvrida? Esitage 2 näidet! Argumendi n väärtuste kasvamise järgi järjestatud funktsiooni f(n) väärtusi f(1), f(2), f(3),....,f(n),... nimetatakse jadaks. Jada elementidest koostatud avaldist f(1)+f(2)+f(3)+....+f(n)+... nimetatakse arvreaks. Näited: n- 1 n- 1 1. Olgu n:=1,2..20. Naturaalarvulise argumendiga n funktsiooni ( -1) väärtused yn:= ( -1) moodustavad lõpliku jada. yT = ( 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ) 2. Mis on jada elemendid ja arvrea liikmed? Esitage 2 näidet! Arve f(n) nimetatakse jada elementideks ja arvrea liikmeteks. 3. Mis on lõplik arvrida, jada? Esitage 2 näidet! Jada ja arvrida nimetatakse lõplikuks kui selles on lõplik arv elemente või liikmeid. Näited: 4. Mis on lõpmatu jada, arvrida? Esitage 2 näidet!
k = lim =1 ja b = lim [ f ( x ) - kx ] = lim - x = 0, x x x x x siis vaadeldava joone parempoolseks kaldasümptoodiks on sirge y=x. Analoogiliselt saame, et sirge y= x on ka antud joone vasakpoolne kaldasümptoot. §5 JADAD JA READ 1. Arvjadad Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x(n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Definitsioon 13. Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n Jada, mis ei koondu ( nlim x n = ± või lim x n ), , nimetatakse hajuvaks. n
k = lim ja b = lim [ f ( x ) - kx ]. x - x x - III Joone y = f(x ) rõhtasümptootideks on sirged y =b. Sel juhul xlim f ( x) = b või xlim f ( x) = b. Rõhtasümptoodid on kaldasümptootide erijuhud, mille korral tõus k = 0. - 21. Arvjadad. Arvjada koonduvus ja hajuvus. Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x ( n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n Jada, mis ei koondu ( nlim x n = ± või lim x n ), , nimetatakse hajuvaks.
2ne ja 3mas predikaatvalem lihtsustuksid: Predikaadid on võrdväärsed (ekvivalentsed) , kui nende __ tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku. ∀x [ H (x) ∨ H (x) ] ∀ x ∃ y [ D (x , y) ] näide: Olgu naturaalarvulise muutumispiirkonnaga ühekohalised predikaadid: ülesanded: P (x) ≡ " x jagub 3-ga " Q (x) ≡ " x jagub 4-ga " Näidata kahekohalise predikaadi P (x , y) tõesuspiirkond: S (x) ≡ " x jagub 12-ga " T ( x ) = P ( x ) ∧ Q (x ) P (x , y) ≡ x 2 — y 2 = 0 . . . . siis: S ( x) ≡ T ( x) vastus: (x = y) ∨ (x = - y)
n+ n Arv e = 2.7182818246 . . . on irratsionaalarv. Logaritmi alusel e, st logaritmi loge x nimetatakse naturaallogaritmiks ja t¨ahistatakse ln x. Eksponentfunktsiooni ex jaoks kasutatakse ka t¨ ahistust exp(x). 1.5. Funktsiooni piirv¨ a¨ artus Punktides 1.3 ja 1.4 vaatlesime jada piirv¨a¨artust, kusjuures oli tegemist kahe prot- sessiga: naturaalarvulise argumendi n l¨ahenemisega suurusele + ja jada u ¨ldliikme xn l¨ahenemisega suurusele a. K¨asitleme j¨argnevalt u ¨ldisemat juhtu. Definitsioon 1. Suurust a nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨ a¨artuseks punktis x0 , kui suuruse a suvalise -¨umbruse U (a) korral leidub selline arvu x0 -¨ umbrus U (x0 ), et f (U (x0 ){x0 }) U (a).
Definitsioon 3.12 Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saa- davad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel. Märkus 3.13 Elementaarfunktsioonid on sealhulgas funktsioonid, milledel on mate- maatikas rida lihtsaid omadusi. Sõnastame need hiljem vastavate tee- made all, nagu piirväärtus, pidevus, tuletise ja integraali leidmine. 3.7 Jadad Definitsioon 3.13 Jadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x(n), n = 1, 2, 3, . . . . Tähistame (xn ). Arvu xn nimetatakse jada (xn ) üldliikmeks (ka ele- mendiks). Kirjutame ka (xn ) = (xn )n=1 = x1 , x2 , . . . , xn , . . . . 35 PEATÜKK 3. FUNKTSIOONID JA JADAD 36 Peatükk 4 Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 4
Selles alampunktis leiame definitsiooni (2.1) abil elementaarfunktsioonide tu- letisi. Alustame konstantsest funktsioonint y = c. Siis f (x) = c ja f (x + 0 x) = c ning y = c - c = 0. Konstandi tuletis c = limx0 = 0. Siit x saame esimese reegli: konstandi tuletis v~ordub nulliga: c = 0. Teiseks vaatleme naturaalarvulise astendajaga astmefunktsiooni y = xn . Antud juhul f (x) = xn , f (x + x) = (x + x)n ja funktsiooni muut y = (x + x)n - xn . Newtoni binoomvalemi abil y = xn + nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn - xn = nxn-1 x + Cn2 xn-2 x2 + ... + xn . Siit y = nxn-1 + Cn2 xn-2 x + ... + xn-1 . x ja y (xn ) = lim = nxn-1 ,
väide P (n + 1). Tõepoolest, kui eeldada, et (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1) x, siis (1 + x)n+2 = (1 + x) (1 + x)n+1 > (1 + x) (1 + (n + 1) x) = 1 + (n + 1) x + x + (n + 1) x2 > 1 + (n + 2) x, ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 17 s.t. P (n) ⇒ P (n + 1) . Matemaatiline induktsioon võimaldab rekursiivselt defineerida naturaalarvulise ar- gumendiga kujutusi A : N → Z, kus Z on mingi (mittetühi) hulk. Selleks tuleb defineerida A (1) ja esitada eeskiri, kuidas elemendist A (n) saadakse A (n + 1). Näiteks: • arvu x ∈ F astmete xn defineerimiseks määrame x1 := x ja xn+1 := xn · x, • naturaalarvude faktoriaalide n! defineerimiseks määrame 1! := 1 ja (n + 1)! := n!·(n + 1) , X n 1
(funktsiooni väärtus). Argumendi väärtusteks sobivate objektide hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ning funktsiooni võimalike väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni 2 muutumispiirkonnaks. Funktsiooni määramispiirkond on samas ka funktsiooni lähtehulk ning funktsiooni muutumispiirkond kuulub funktsiooni sihthulka. On küllaltki tavaline, et sihthulgas on elemente, mis ei kuulu funktsiooni muutumispiirkonda (nt ei saa naturaalarvulise ruutfunktsiooni väärtusteks olla naturaalarv 7.) Funktsioonil võib olla mitu sisendit, nt liitmisfunktsioonil on kaks sisendit, funktsiooni väärtuse saamiseks peame sisestama kaks argumendi väärtust. Öeldakse, et funktsiooni sisendite arv määrab funktsiooni aarsuse (arity). Kui funktsioonil on üks sisend, on see ühe muutuja funktsioon ehk ühekohaline funktsioon ehk unaarne funktsioon (nt ruutfunktsioon). Liitmisfunktsioon oli näide kahe muutuja funktsioonist ehk kahekohalisest
piirkonnaks ning funktsiooni võimalike väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni 2 muutumispiirkonnaks. Funktsiooni määramispiirkond on samas ka funktsiooni lähtehulk ning funktsiooni muutumispiirkond kuulub funktsiooni sihthulka. On küllaltki tavaline, et sihthulgas on elemente, mis ei kuulu funktsiooni muutumispiirkonda (nt ei saa naturaalarvulise ruutfunktsiooni väärtusteks olla naturaalarv 7.) Funktsioonil võib olla mitu sisendit, nt liitmisfunktsioonil on kaks sisendit, funktsiooni väärtuse saamiseks peame sisestama kaks argumendi väärtust. Öeldakse, et funktsiooni sisendite arv määrab funktsiooni aarsuse (arity). Kui funktsioonil on üks sisend, on see ühe muutuja funktsioon ehk ühekohaline funktsioon ehk unaarne funktsioon (nt ruutfunktsioon)
annaabi.ee 
