saab selle skalaari determinandi ette tuua. 5. Kui determinandi mingi rida või veerg avaldub elementide summana saab determinandi kirjutada 2'e determinandina. 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid. 7. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud (esmalt esimest järku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik.
-0,4 0,5 2400 -0,4 * 2400 + 0,5 * 2100 90 Vastus: Planeeritud juhul jõuab lõpptarbijani 1230 ühikut esimese haru toodangut ja 90 ühikut teise haru toodangut. · Oletame, et see plaan osutus sobimatuks. Leian, milline peaks olema kogutoodangu vektor, et lõpptoodang oleks esimeses harus 600 ja teises harus 200. 0,7 -0,1 1. Leian maatriksi E A = miinorite maatriksi: -0,4 0,5 0,5 -0,4 [M ij] = -0,1 0,7 2. Vastava aladeterminandi maatriks on: 0,5 0,4 [A ij] = 0,1 0,7 3. Transponeerin selle maatriksi, leides maatriksi E A adjungeeritud maatriksi. Adjungeeritud maatriksit leitakse, kui asendada lähtemaatriksis iga elemendi a ij talle vastava aladeterminandiga A ij.
· Kustutame A i-nda rea ja j- inda veeru ning sellisel juhul saame uue maatriksi B(n- 1 × n-1). · Arvutame uue maatriksi determinandi ja nimetame selle maatriksi A elemendile aij vastavaks miinoriks ja märgime sümboliga mij · Saadud miinori mij korrutatakse läbi teguriga (-1)i+j. Saadakse uued suurused ij, millised nimetatakse maatriksi A elemendile aij vastavaks alamdeterminandiks. i j = (-1) i + j mi j A' = ( mi j) miinorite maatriks A* = (i j) alamdeterminantide maatriks A~ = A*T adjungeeritud maatriks Maatriksi omaväärtused ja omavektorid Kui teatava ruutmaatriksi A (n × n) korral leidub maatriksi X (n × 1) X ja leidub reaalarv , et rahuldatud on tingimus A X = X, siis maatriksi X nimetatakse maatriksi A omavektoriks ja reaalarvu nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks.
2. Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena teljestiku algpunktidest. || = r a/r = cos b/r = sin = r ( cos + i sin) trigonomeetriline kuju 3. Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Def2 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu. Def3 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalset arvu.
Def lvsi üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, millest on parameetritele arvväärtuste omistamise teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks
a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a am2 ... a m3 Olgu antud maatriks A = m1 . Definitsioon 1. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute reavektorite (veergude) maksimaalarvu. Maatriksi astak on võimalik defineerida teisiti selle maatriksi nullist erinavate miinorite järgu kaudu, mis annab praktilise eeskirja maatriksi astaku leidmiseks. Definitsioon 2. Kui maatriksis A leidub vähemalt üks nullist erinev r järku miinor, kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse , et maatriksi astak (rank) on r. Miinorite arvitamise hõlbustamiseks teisendatakse kõigepealt maatriksi A peadiagonaalist allpool asuvad elemendid nullideks, millest enamasti piisab astaku üle otsustamiseks
.. a 2 n Olgu antud maatriks A = . ... ... ... ... a am2 ... a m 3 m1 Definitsioon 1. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute reavektorite (veergude) maksimaalarvu. Maatriksi astak on võimalik defineerida teisiti selle maatriksi nullist erinavate miinorite järgu kaudu, mis annab praktilise eeskirja maatriksi astaku leidmiseks. Definitsioon 2. Kui maatriksis A leidub vähemalt üks nullist erinev r järku miinor, kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse , et maatriksi astak (rank) on r. Miinorite arvitamise hõlbustamiseks teisendatakse kõigepealt maatriksi A peadiagonaalist allpool asuvad elemendid nullideks, millest enamasti piisab astaku üle otsustamiseks
. . jn,
nimetatakse miinori Mm algebraliseks täiendiks
Laplace teoreem Olgu X n-järku ruutmaatriks ja selliselt, et i1
Maatriksi X determinant |X| v~ordub k~ oigi selliste korrutiste, mille u ¨heks teguriks on fikseeritud ridadele i1 , i2 , . . . , im toetuv m-j¨ arku miinor ja teiseks teguriks tema algebraline t¨aiend, summaga, s.o. |X| = Mm An-m , (4.5) 37 kus summa tuleb v~otta u ¨le k~ oigi miinorite, mis toetuvad nendele fikseeritud ridadele. T~ oestus. Summas (4.5) iga liidetav Mm An-m annab lemma 4.1 kohaselt determinandi |X| valemist (3.1), milles on n! liidetavat, m!(n - m)! liidetavat. Kuna summas (4.5) on aga n(n - 1) . . . (n - m + 1) n! Cnm = = m! m!(n - m)! liidetavat, siis determinanti |X| defineerivas valemis (3.1) on k¨atte saadud
v˜ordub k˜ oigi selliste korrutiste, mille u ¨heks teguriks on fikseeritud ridadele i1 , i2 , . . . , im toetuv m-j¨ arku miinor ja teiseks teguriks tema algebraline t¨aiend, summaga, s.o. |X| = Mm An−m , (4.5) 37 kus summa tuleb v˜otta u ¨le k˜ oigi miinorite, mis toetuvad nendele fikseeritud ridadele. T˜ oestus. Summas (4.5) iga liidetav Mm An−m annab lemma 4.1 kohaselt determinandi |X| valemist (3.1), milles on n! liidetavat, m!(n − m)! liidetavat. Kuna summas (4.5) on aga n(n − 1) . . . (n − m + 1) n! Cnm = = m! m!(n − m)! liidetavat, siis determinanti |X| defineerivas valemis (3.1) on k¨atte saadud
eemaldamise teel saadud determinandid. r-t järku minor on r-t järku determinant. Seega -maatriksi mingi elemendi miinor on maatriksi -t järku miinor. Näide. Maatriksi esimest järku miinorid on selle maatriksi elemendid: 1,2, 3 jne. Teist järku miinorid on näiteks Kolmandat järku miinorid on Kõrgemat järku miinorid antud maatriksil puuduvad. Definitsioon. Maatriksi astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1) leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, 2) puuduvad nullist erinevad r-ist kõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Näide. Vaatleme maatriksi Sellest on võimalik koostada kuni 4-t järku miinorid. Meid huvatavad aga nullist erinevad miinorid. Saame maatriksist koostada nullist erineva nt. sellise 3-t järku miinori
Sel juhul nende ridade ja veergude ühistest elementidest moodustatud determinanti M nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. 18 2.5. Lineaarvõrrandisüsteemid Definitsioon 2.7 Maatriksi A astakuks nimetatakse selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeimat järku. Maatriksi astakut tähistatakse ka rank(A). Maatriksi astaku leidmiseks saab kasutada neid samu ridade ele- mentaarteisendusi, mis pöördmaatriksi leidmise juures. Selleks teisen- datakse maatriksis kõik elemendid ühele poole peadiagonaali nullideks. Elementaarteisendusi kasutades maatriksi astak ei muutu. 2.5 Lineaarvõrrandisüsteemid Vaatleme võrrandisüsteemi kujul
annaabi.ee 
