Arvu b logaritmiks nim. alusel a arvu c millega alust a astendades saadake arv b. _______________________________ =b log a b | b > 0, sest neg. arvudel ja arvul 0 ei ole logaritmi. a>0 a 0 =b _______________________________ Korrutis: log a(b1 * b2 ) = loga b1 + loga b2 Jagatis: log a(b1/b2) = loga b1 loga b2 Aste: = k * loga b _______________________________ Üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele = b Graafiku asümptoot sirge, millele funktsioon graafik tõkestamatult läheneb.
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Logaritm Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N. Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. Jagatise logaritm on võrdne jagatava ja jagaja logaritmide vahega. Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega. Potentseerimiseks nimetatakse avaldise logaritmi või arvu logaritmi järgi vastava avaldise või arvu leidmist. Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = logaX, kus a > 0 ja a 1
LOGARITM Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N logaN=r ar = N N logaritmitav (negatiivsetel arvudel ja arvul 0 puudub logaritm) a - logaritmi alus ( a>0 ja a 1 ) r - arvu N logaritm alusel a Logaritmi omadused: logaa = 1 loga1 = 0 alog a N = N a2log a N = ( alog a N)2=N2 a2+log a N =a2alog a N =a2N
Logaritmid järgmine slaid esitluse lõpp Logaritmi definitsioon Definitsioon Arvu x logaritmiks alusel a ( a > 0, a 1 ) nimetatakse arvu c, mille korral ac = x. Näited Arvu 25 logaritm alusel 5 on 2, kuna 52 = 25 Arvu 0,125 logaritm alusel 2 on -3, kuna 2-3 = 1/8 = 0,125 Logaritmi leidmist nimetatakse logaritmimiseks. Arvu x (logaritmitava) logaritmi alusel a märgitakse sümboliga loga x . Näited logaritm log 3 81 = 4 log1/ 2 1024 = -10 alus logaritmitav
LOGARITMIMINE Logaritmi I definitsioon Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, kui arvuga c alust a astendades saadakse arv b. logab = c <-> ac = b logab = c [logaritm b-st alusel a] a logaritmi alus a > 1 v 0 < a < 0 ; a 1 b logaritmitav b > 0 c logaritmi väärtus cR log10 = 1, kuna 101=10 [kümnendlogaritm 10-st] lneb = c [naturaallogaritm b-st] Naturaallogaritmi alus on e2,7 Logaritmi II definitsioon logx2 log2x = (logx)2
y y ' = lim x 0 x , kus y = f ( x + x ) - f ( x ) 2. Esitada liitfunktsiooni y = f [ g (x)] diferentseerimise reegel y = f [ g ( x)] y ' = f [ g ( x)]'*g ( x)' 3. Mis on lõpmata väike suurus ja lõpmata suur suurus piirprotsessis x + 4. Milline on y = f (x) graafik lõigul [ a, b] ,kui f ( x) C [ a, b] Lõigul [ a, b] on y = f (x) graafik sile, ilma katkevuste ja teravate tippudeta. 5. Defineerida log a x Arvu x logaritmiks alusel a nimetatakse suurust, millega a-d astendades saadakse x. lim f ( x) = A 6. Defineerida võrdus x + lim f ( x) = A ( > 0) ( M ) : ( x > M ) f ( x) - A < x + , kui 7. Defineerida funktsiooni y = f (x) pidevus punktis x = x 0 f ( x) C ( x0 ) ,kui 1) f ( x0 ) lim f ( x) x x0 2) lim f ( x ) = f ( x0 ) 3) x x0
33) esita juure abil a n n a m 34)a n a m a n m 35)a n : a m a n m 36) a n m a nm 37) ab a n b n n n a an 38) b bn c 39) Kirjuta logaritmi def : a =b Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv b c=lo g a b 40) a) Naturaallogarimi mõiste selgitus : on logaritm alusel, kus e on irratsionaalarv. b) Kuidas arvutatakse e väärtus ja milline on e ligikaudne väärtus? n 1 e=lim 1+ n→∞ ( ) n ligikaudne väärtus = 2.72
4)Juure astendamisel tuleb astendada juuritav
5)Juure juurimisel tuleb korrutada juurijad
Arvu logaritm
b
Olgu avaldis a =c
b
1) kui on antud a ja b, siis c=a
b
2) kui on antud b ja c, siis a=c
b
3) kui on antud a ja c, siis b=loga
a-logaritmi alus
b-logaritmitav
c-arvu b logaritm alusel a
Antud arvu logaritmiks antud alusel nimetatakse astendajat, millega tuleb astendada antud
alust, et saada antud arv.
Naturaallogaritm- logaritmi aluseks on arv e.
Negatiivsetel arvudel ja 0 puudub logaritm. Logaritmi alus a on 0
Logaritmid 1. Logaritmi mõiste Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse astendajat x, millega alust a astendades saadakse arv b. Sümbolites: log a b=x a x =b . See võrdus seob omavahel kolm arvu. Neid nimetatakse järgmiselt: arv a on logaritmi alus, arv b on logartmitav ja arv x on logaritm. Seejuuures a > 0, a 1 b > 0; x R . Näiteid: 1) log 2 8=3 , sest 23 = 8. 1 1 2) log 3 =-1 , sest 3-1= . 3 3 1 1
13) 4 2 3 x ( log 2 ) 2 ( x1 = 3 ja x2 = -1,5 ) 2 2x 14) 4 3x 26 x ARVU LOGARITM Arvu logaritmi definitsioon: Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv b. log a b=c a =b logaritm on astendaja! c log a b c a c b a loga b b , kus b > 0, a >0 ja a 1 Pea meeles! log a 1 0; log a a 1 b
· Määramispiirkond kõik reaalarvud
· Muutumispiirkond positiivsed reaalarvud
· Graafik läbib punkti (0;1)
· Kui kahe eksponentfunktsiooni astendatavad on teineteise pöördarvud, siis
nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes
· Kasvav kogu määramispiirkonnas, kui a>1. Kahanev, kui 0
q -1 q -1 2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada Geomeetriline jada on lõpmatult kahanev, kui tema teguri absoluutväärtus q <1 . a1 Jada summa: S = . 1-q Üldliige: an = a1q n -1 . 2.18 Logaritmid 15 Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. log a b = c , kui a c = b ( a > 0 a 1) . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b = b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b = b . Naturaallogaritmide korral: eln b = b . Logaritmide omadused 1. log a 1 = 0 . 2
Lahendame need. 1 − 3x < − 4 või 1 − 3x > 4 − 3 x < −5 : ( −3 ) või − 3 x > 3 : ( −3 ) 5 x> või x < −1. 3 5 Vastus. x > või x < −1. 3 40 3.21 Logaritmid Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. log a b = c , kui a c = b (a > 0 ja a ≠ 1) . Asendades teises võrduses c, saame samasuse log a b a =b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10 log b = b . Naturaallogaritmide korral:
Esimese n liikme summa: S n ehk S n q 1 . q 1 q 1 2.17 Lõpmatult kahanev (hääbuv) geomeetriline jada Geomeetriline jada on lõpmatult kahanev, kui tema teguri absoluutväärtus q 1. a1 Jada summa: S . 1 q n 1 Üldliige: an a1q . 2.18 Logaritmid Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. 15 log a b c , kui a c b a 0 a 1 . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b b . Naturaallogaritmide korral:
7.25 Töötajal, kes on tööl olnud t nädalat, on päevane töömaht Q (t) ' 40 & A e & k t ühikut. Päris alguses suudab töötaja toota 20 toodet päevas, 1 nädala pärast 30 toodet päevas. Kui suur on töömaht 3 nädala pärast? Logaritmid Leiame arvu x, nii et 3x = 9. Peast võib öelda, et x = 2. Leiame nüüd aga sellise arvu x, mille korral 3x = 6. Sellise võrrandi lahendit nimetatakse arvu 6 logaritmiks alusel 3: x ' log3 6. 1,631 . Kontrollime: 31,631 = 6. Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv b c = loga b ] ac = b 1 Näiteks log2 8 ' 3 , sest 23 ' 8 ; log6 36 ' 2 , sest 62 ' 36 ; log4 0,25 ' &1 , sest 4& 1 ' ' 0,25 .
annaabi.ee 
