5. Segaarv 25.Harilike murdude korrutamine segaarvuga 6. Liigmurru teisendamine segaarvuks 26.Segaarvu korrutamine täisarvuga 7. Murru taandamine 27.Segaarvu jagamine lihtmurruga 8. Murdude teisendamine ühenimelisteks 28.Segaarvu jagamine täisarvuga 9. Näide: Murdude teisendamine ühenimelisteks 29.Murru jagamine naturaalarvuga 10.Murdude võrdlemine 30.Lihtmurru jagamine 11.Ühenimeliste murdude liitmine 31.Mis on protsent? 12.Segaarvude liitmine ja lahutamine 32.Näide: mis on protsent? 13.Näide: Segaarvude liitmine ja lahutamine 33.Protsendi leidmine arvust 14.Segaarvude teisendamine liigmurruks 34.Ringjoon 15.Erinimeliste murdude liitmine 35.Arv 16.Erinimeliste murdude liitmine 36.Ringjoone pikkus 17.Erinimeliste murdude liitmine 37.Ringi pindala 18
murdu lihtmurruks. Lihtmurd on väiksem arvust 1. a a b, 1 b Kui hariliku murru lugeja on võrdne nimetajaga või sellest suurem, siis nimetatakse murdu liigmurruks. a a b, 1 Segaarvuks nimetatakse naturaalarvu ja lihtmurru summat, kirjutatakse üldiselt ilma plussmärgita. b 3 3 2+ = 2 5 5 Segaarvu teisendamine liigmurruks Kui naturaalarvu korrutada murru nimetajaga ja liita sellele murru lugeja, saame liigmurru lugeja. 2 3 = 3 × 5 + 2 = 17 Murru nimetaja jääb samaks. 5 2 17
6. Murdarvud tekivad täisarvude jagamisel a/b, kus jagaja b ei tohi olla 0.
7. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ja murdarvud.
8. Ratsionaalrvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a/b, kus a kuulub hulka Z,
b kuulub hulka Z ja b ei võrdu 0-ga.
9. Harilikmurd on murd, mis avaldub kujul a/b, kus a kuulub hulka N, b kuulub hulka N ja
b ei võrdu 0-ga. Kümnendmurd on murd, mis kirjutatakse koma abiga.
10. Lihtmurrus a/b on a
6. 10. . 2. 5. 11. 1. 3. 4. 7. 6 1. Selleks, et jagada hariliku murdu hariliku murruga tuleb jagatav jagaja pöördarvuga. 2. Kuidas nimetatakse naturaalarvu ja lihtmurru summas olevat lihtmurdu? 3. Murdude ühine nimetaja on murdude nimetajate 4. Igat liigmurdu saab vaadata ja lihtmurru summana . 5. Kuidas nimetatakse arvu, mida saab teisendada liigmurruks? 6. Mis murd on murd 4 ? 3 7. Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad , jääb samaks. 8. Mis murd on murd 3 ? 4 9. Murdude teisendamisel ühenimeliseks, tuleb neile leida ________ 10
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 1 · Arvu a vastandarv on a ja pöördarv . Arvul 0 ei ole pöördarvu. a · Segaarv naturaalarvu ja lihtmurru summa · Kümnendmurd- murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne. Iga ratsionaalarvu saab avaldada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Samas kehtib ka vastupidine : iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd esitab ratsionaalarvu. Irratsionaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. 2 = 1,414213562... ; = 3,141592654... Teoreem
() võrranditega | =1 ()| () = M =1 = M|b a|, täisosa Rk-n(x) ja saame lihtmurru (st m < n), =1 =1 [, ] () = ()
· Poodi minnes tuleb Argol jalgis käia km ja sõita bussiga km, Triinul 5 5 1 14 tuleb aga jalgsi käia km ja bussiga sõita km. Kumma lapse tee poodi on 3 3 pikem? 6. Liigmurru täis ja murdosa Iga liigmurdu võib vaadata naturaalarvu ja lihtmurru summana. Sel juhul nimetatakse naturaalarvu antud summas liigmurru täisosaks ja lihtmurdu murdosaks. Naturaalarvu ja lihtmurru summa kirjutatakse tavaliselt plussmärgita. Sellist arvu nimetatakse ka segaarvuks. 9 2 2 Näiteks = 1 + ehk 1 7 7 7 Kahest segaarvust on suurem see arv, mille täisosa on suurem. Kui täisosad on võrdsed, on suurem see arv, mille murdosa on suurem. 12 2 15 3
miinusmärk: Näide 5 5 -1 - 6 = 5 5 5 5 - 1 + 6 = - 1 + 6 + + = 7 6 7 6 7 6 5 6 5 7 30 + 35 - 7 + 65 = = - 7 + + = - 7 + = 7 6 6 7 42 42 23 = -8 . 42 Segaarv Segaarvuks nimetatakse täisarvust ja lihtmurrust koosnevat ratsionaalarvu, milles lihtmurru lugeja ja nimetaja on mõlemad positiivsed, kuid murrule tervikuna mõjub täisarvu ette kirjutatud märk. Segaarvu võib mõista kui summat täisarvust ja lihtmurrust: 2 = 2 + , - 3 = -3 + - = - 3 + 2 2 3 3 3 5 5 8 8 8 Segaarvudena kirjutatakse tavaliselt vaid ülesannete vastused, sest aritmeetikatehete sooritamiseks lahenduskäigus tuleb segaarvud reeglina muuta liigmurdudeks.
Olgu S (x)/Pn (x) ratsionaalfunktsioon, kusjuures Pn (x) on n-astme polunoom, ¨ st Pn (x) = a0 x n + a1 x n-1 + . . . + an-1 x + an kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 = 0 ja S (x) on -astme polunoom. ¨ Selle ratsionaalfunktsiooni integreerimiseks Qm (x) eraldame esmalt (kui ¨ n) taisosa Rk-n (x) ja saame lihtmurru Pn (x) (st m < n), st S (x) n Qm (x) dx = R -n (x) dx + , Pn (x) Pn (x) Qm Polunoomi
Murdudega seoses kasutame järgmisi mõisteid: Murru liikmeid nimetatakse vastavalt Lugeja . Nimetaja Matemaatikas on murrujoonel jagamismärgi tähendus, s.t. a = a ÷ b b Harilik murd a (a Z, b Z ja b 0) jaotatakse: b lihtmurdudeks, kui a < b liigmurdudeks, kui a b . Segaarv on naturaalarvu ja lihtmurru summa. Iga segaarv saab väljendada liigmurruna. Kümnendmurd murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne. Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda. NÄIDE: Avaldame lõpmatu perioodilise kümnendmurru 1,2(43) kahe täisarvu jagatisena. Lõpmatu perioodilise kümnendmurru teisendamisel harilikuks murruks: 1. Tähistame arvu tähega x; 2
ning b1 , b2 ,..., bn vastavate x astmete kordajad nimetajas. Juhul kui m < n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui m n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud näidetest kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest kõigepealt täisosa, s.t. liigmurd esitatakse hulkliikme e. täisosa ja ratsionaalse lihtmurru summana. Lihtsamatel juhtudel saab täisosa eraldada ratsionaalset murdu sobiva arvuga samaaegselt korrutades ja jagades ja lugejale sobivaid suurusi liites ja lahutades. 39. Osamurrud Vaatleme kolme liiki osamurdusid ( A, B, a , b ja c tähistavad konstante): A 1) , x -a A 2) , kus k > 1 ja ( x - a) k Ax + B 3) , kus nimetajas oleval ruutkolmliikmel reaalseid nullkohti ei
Ositi integreerimine Ositi integreerimise valem Kui u = u(x) ja v = v(x) on diferentseeruvad funktsioonid ning leidub, siis leidub ka , kusjuures udv= uv-vdu Muutuja vahetus Muutuja vahetus määramata integraalis Kui x= (t) , siis f(x ) dx= f((t ))(t ) dt 2 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. Ratsionaalfunktsiooni integreerimine Seega on antud lihtmurru lahutus osamurdudeks: (X2+2)/(x+1) 3*(x-2)= (-2/9)/(x+1)+(1/3)/(x+1)2+-1/(x+1)3+(2/9)/(x-2) 23 Ratsionaalfunktsiooni integreerimisel tuleb: 1) liigmurd teisendada polünoomi ja lihtmurru summaks. 2) lihtmurd lahutada osamurdudeks; 3) integreerida saadud polünoomi ja osamurde. 3 36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks.
Kahendarvude kohakaaludeks on arvud 2 n: (20 =1; 21 =2; 22 =4; 23 =8; 24 =16; 25 =32; 26 =64; 27 =128; 28 =256; 29 =512; 210 =1024; 211 =2048; 212 =4096;jne) Kaheksandarvude kohakaaludeks on arvud 8 n (80 =1; 81 =8; 82 =64; 83 =512; 84 =4096; jne) Kuueteistkümnendarvude kohakaaludeks on arvud 16 n (160 =1; 161 =16; 162 =256; 163 =4096 jne) Näited: Teisendada 571(10) kahendarvuks. 2.7 Kümnendarvu murdosa teisendamine teistesse arvsüsteemidesse. p-ndsüsteemi lihtmurru a tähistuse leidmisel q-ndsüsteemis tuleb arv a (järgmistel sammudel korrutise murdosa) korrutada arvuga q. Korrutise täisosad annavad arvu a q-ndsüsteemi tähise numbrid samas järjekorras. Arvutatakse üks koht nõutust rohkem ja ümardatakse. Näited: 2.8 Ülesanne 1c Leida järgmiste kümnendarvude tähised kahend-, kaheksand- ja kuueteistkümnendsüsteemis. a) 491 d) 6789 g) 0,916 n) 712,483 q) 29760,3563
arvulised kordajad lugejas ning b1 , b2 , . . . , bn vastavate x astmete kordajad nimetajas. Juhul kui m < n, nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui m n, nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud n¨aidetest (6.1) kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest k~oigepealt t¨aisosa, st liigmurd esitatakse hulkliikme ehk t¨aisosa ja ratsionaalse lihtmurru summana. Lihtsamatel juhtudel saab t¨aisosa eraldada ratsio- naalset murdu sobiva arvuga samaaegselt korrutades ja jagades ja lugejale sobivaid suurusi liites ja lahutades, st tehes elementaartehteid, mis murru v¨a¨artust ei muuda. 9 x2 N¨ aide 6.1. Eraldame ratsionaalse liigmurru t¨aisosa ja integreerime. K~oigepealt ja-
sobivas formaadis valitud paberile ristkoordinaatide ruudustik, üks ruut 100 x 100 mm. Ruudustik kontrollitakse. Plaanile kantakse tahhümeetriakäigu ja teised mõõdistamisvõrgu punktid koordinaatide järgi. Sirklitorkega märgitud mõõdistamisvõrgu punktid ümbritsetakse ringiga läbimõõdus 1,5 mm. Seejärel ühendatakse käigupunktid pideva joonega ning kirjutatakse iga punkti juurde selle number ja kõrgus lihtmurru kujul - lugejas number, nimetajas kõrgus. Juhindudes väliraamatu ja krokii andmetest, kantakse mõõtesirkli, põikmõõtkava ja malli abil järjest kõik situatsiooni- ja reljeefipunktid plaanile sirklitorkega. Määratakse polaarkoordinaatide alguspunkt ja polaarkoordinaadid. Joonestatakse välja krokiil näidatud situatsioonikontuurid ja elemendid kooskõlas antud mõõtkava jaoks kehtestatud leppemärkidega. Horisontaalide
x kõrgeim aste). Põhiidee on murd Q(x) esitada osamurdude summa- na. Viimane on võimalik, kuna igat polünoomi saab esitada korrutisena liikmetest tüüpi (x - a) ja (x2 + bx + c). Anname idee näidete varal. Definitsioon 7.4 Kui polünoomi f (x) aste on väiksem polünoomi g(x) astmest, siis rat- f (x) sionaalset funktsiooni nimetatakse lihtmurruks, vastasel korral g(x) aga liigmurruks. Lihtmurru osamurdudeks lahutamise valem. f (x) Olgu lihtmurd. Kui g(x) g(x) = a(x - x1 )k (x - x2 )l . . . (x2 + p1 x + q1 )m . . . (kus ruutpolünoomidel ei ole nullkohti), siis kehtib valem f (x) A1 Ak = + ... + + g(x) x - x1 (x - x1 )k B1 Bl + ... +
annaabi.ee 
