Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . . imaginaar¨ uhik: i2 = −1 Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨ uhik, nimetatakse kompleksarvuks. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ? ⊂ ?? . . . imaginaar¨ uhik: i2 = −1 Arvu kujul z = a + b · i, kus a, b ∈ R ja i on imaginaar¨ uhik,
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad
1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on
1) = a + bi = : a = c; b = d = c + di 2) + = ( a + c) + ( b + d) i 3) - = ( a c) + ( b d) i 4) = (ac bd) + (ad + bc) i 5) / = ac + bd/ c2 + d2 + (bc ad) i / c2 + d2 Kompleksarvu = c di nimetatakse lähtekompleksarvu kaaskompleksarvuks = c + di = = (c + di ) (c di ) = c2 + d2 Suurust || = ( c2 + d2 ) nimetatakse kompleksarvu mooduliks. ( ) = ( c2 + d2) = || || = | | Arvu = -c di nimetatakse vastand kompleksarvuks. -= -c +di - vastandkompleksarvu kaaskompleksarv Om1 || = ||= |-| = |-| Om2 ±= ± Om3 = Om4 (/)= / Kompleksarvu kujud. Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada punktidena tasandil, kus on fikseeritud Carteesiuse ristkoordinaadistik. 1. Algebraline kuju = a + bi 2. Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena teljestiku algpunktidest.
Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal
11.Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise valemid. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi (1.3) kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja teist liidetavatbi aga tema imaginaarosaks. Arvu, mille ruut on - 1 , nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i. Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z =a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. 12.Geomeetriline vektor. Vektori pikkus. Vektorite kollineaarsus, vektorite
arv kordi juhtelemendile vastavat rida. 3) Arendame deti valitud veeru järgi. Nii saame ühe võrra mdalama järguga deti 4) Kordame punkte 1-3 kuni jõuame 2. või 3. järku detini, mida saab vahetult arvutada. Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C
.. (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) jagatisena e. murruna m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt. 11/4=2.7500000...; · Kompleksarvude hulk ja tehted kompleksarvudega. kompleksarvuks nimetatakse arvu kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik (i2=-1 ehk ). Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse C. Reaalarvu a nimetatakse kompleksarvu a+ib reaalosaks ja reaalarvu b selle kompleksarvu imaginaarosaks. Iga kompleksarv z=a+ib on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, st. reaalarvude järjestatud paariga (a;b). Sellise paariga on määratud ka tasandi punkt
16. Kompeksarvud Vajadus arvuvalla laiendamiseks reaalarvude vallast üldisemasse arvude hulka tekkis juba selliste lihtsate võrrandite lahendamisel, nagu 1 0 ja 2 0. On teada, et kompleksarvudest kõneldi juba 16. sajandil (G. Cardano). Siiski esinesid nad kuni 18. sajandi keskpaigani vaid episoodiliselt üksikute matemaatikute töödes. Süstemaatiline kompleksarvude käsitlemine algas seoses geniaalse Peterburi akadeemiku L. Euleri (1707 1783) töödega. Definitsioon. Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defineeritakse võrdusega 1. Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse . Definitsioon. Kompleksarvu z = a + ib korral nimetatakse arvu a selle kompleksarvu reaalosaks ja arvu b nimetatakse selle kompleksarvu imaginaarosaks. Definitsioon. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad,
2 -1 1 3 X = 4 -2 2 6 8.6 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit 2 -1 1 3 X= 4 -2 2 6 V. Kompleksarvud 1 Kompleksarvu m~ oiste ja esitusi 1.1 Kompleksarvu m~ oiste Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvuliste elementidega teist j¨ ar- ku ruutmaatriksit, milles 1) peadiagonaali elemendid on v~ ordsed, 2) k~orvaldiagonaalil asetsevad teineteise vastandarvud. K~oigi kompleksarvude hulka t¨ ahistame C ja nimetame kompleks- arvude korpuseks. 1.2 T¨ ahistusi Seega maatriks z = ( zz11 21 z12
15.7 Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega . . . . . . . . . . . 142 Eksamiteemad 1. Kompleksarvu algebraline, geomeetriline, trigonomeetriline kuju. 2. Tehted kompleksarvudega (+,-,×,÷, täisarvuline astendamine). PEATÜKK 15. KOMPLEKSARVUD. ALGEBRALINE JA TRIGONOMEETRILINE KUJU 15.1 Sissejuhatus 15.2 Kompleksarvud Definitsioon 15.1 Imaginaarühikuks nimetatakse arvu i, millel on omadus i2 = -1. Definitsioon 15.2 Kompleksarvuks nimetatakse avaldist z = a + b · i, (15.1) kus a ja b on reaalarvud ning i on imaginaarühik. Definitsioon 15.3 Seejuures nimetatakse arvu a kompleksarvu z = a + b i reaalosaks (a = Re(z)), arvu b kompleksarvu z imaginaarosaks (b = Im(z)). Arve b i nimetatakse imaginaararvudeks. Kõigi kompleksarvude hulka tähistame sümboliga C. Märkus 15.1 Igale kompleksarvule z = a + b i vastab üks-üheselt reaalarvude
annaabi.ee 
