Kvantteooria erineb seetõttu oluliselt klassikalisest mehhaanikast. Klassikalise mehhaanika mõisted ei iseloomusta mikroosakest., sest mikroosakesel pole samaaegselt kindlat asukohta ja impulssi (ning seega ka kiirust). Teadse füüsikaliste suuruste operaatoreid, saab nende suuruste samaaegselt mõõdetavust kindlaks teha järgmiselt: kaks füüsikalist suurust on samaaegselt mõõdetavad parajasti siis, kui neile vastavad operaatorid kommuteeruvad ( A^ B^ = B^ A^ ); kui aga operaatorid ei kommuteeru, siis vastavad suurused pole samaaegselt mõõdetavad ning nende jaoks kehtivad määramatuse seosed. Kui operaatorid A^ ja B^ hc Rahuldavad seost A^ B^ - B^ A^ = -ihc , siis kehtivad määramatuse seosed a b . 2
^ Esitatud tõestus kehtib juhul, kui operaatoril F ei ole kordseid omaväärtusi. Kõdunud omaolekute korral võib operaatori F^ ühele ja samale omaväärtusele vastavates omafunktsioonides moodustada lineaarkombinatsiooni, mis on operaatori G^ omafunktsiooniks. Teoreem 2: Kui kahel operaatoril on ühine täielik omafunktsioonide süsteem, siis need operaatorid kommuteeruvad. Moodustagu funktsioonid k operaatorite F^ ja G^ ühise täieliku omafunktsioonide süsteemi, s t olgu mistahes olekufunktsioon arendatav ritta = c k k , (26.12) k kusjuures G^ k = g k k (26.13) ja F^ k = f k k . (26
t. |A| · |A−1| = 1 3. Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. 4. Regulaarsete n-j¨arku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)−1 = B−1A−1 5. Maatriksi A−1 pöördmaatriks on maatriks A, s.o (A−1)−1 = A 6. Ühikmaatriksi E pöördmaatriksiks on tema ise, s.o. E−1 = E 7. Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (AT)−1 = (A−1)T Lineaarvõrrandisüsteem (LVS) Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse homogeenseks, kui vabaliikmed on võrdsed nulliga: b1 = b2 = . . . = bm = 0 Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks Maatriksis on tundmatute kordajad. Laiendatud maatriks Lisatud on ka vabaliikmed
¿ Ühikmaatriksi E pöördmaatriksiks on tema ise, s.o. E−1=E Maatriksi transponeerimine ja pöödrmaatriksi leidmise operatsioon A A T on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (¿ ¿−1) (¿¿ T )−1=¿ ¿ 57.Lineaarvõrrandisüsteem (LVS) – Süsteemi nimetatakse lineaarvõrrandite süsteemiks. Arve c1, c2,..., cn nimetatakse süsteemi lahendiks, kui süsteemi tundmatute asendamisel nende arvudega saame m samasust. LVSi nimetatakse vasturääkivaks, kui tal ei ole ühtegi lahendit
korrutismaatriksi i-nda rea k-ndat elementi, tuleb esimese teguri i-s reavektor korrutada skalaarselt teise teguri k-nda veeruvektoriga, mis koordinaatides saadakse kui samanimeliste koordinaatide korrutiste summa. MÄRKUS 1. Maatriksite korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, st kui AB eksisteerib, siis BA ei tarvitse eksisteerida ja isegi kui ta eksisteerib, siis sageli AB BA. Erijuhtudel võivad maatriksid olla kommuteeruvad, st tegurid korrutises on vahetatavad ja tulemused osutuvad võrdseteks (vt märkus 3). MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10
korrutismaatriksi i-nda rea k-ndat elementi, tuleb esimese teguri i-s reavektor korrutada skalaarselt teise teguri k-nda veeruvektoriga, mis koordinaatides saadakse kui samanimeliste koordinaatide korrutiste summa. MÄRKUS 1. Maatriksite korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, st kui AB eksisteerib, siis BA ei tarvitse eksisteerida ja isegi kui ta eksisteerib, siis sageli AB BA. Erijuhtudel võivad maatriksid olla kommuteeruvad, st tegurid korrutises on vahetatavad ja tulemused osutuvad võrdseteks (vt märkus 3). MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks: lühidalt AB=0, A 0, B 0. NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu. MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A. 10
Korrutamise omadused ja seos lineaarsete tehetega. A = ||aij|| Kmxn; B = ||bjk|| Knxp A reavektorid: 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ... m = (am1; am2; ...; amn) Kn B veeruvektorid: 1 = (b11; b21; ...; bn1) Kn ... p = (b1p; b2p; ...; bnp) Kn AB = A*B = ||ik|| Kmxp; reavektorid: 1 = (11; 12; ...; 1p) Kn ... m = (m1; m2; ...; mp) Kp Maatriksite korrutamise omadused 1. maatriksite korrutamine pole kommutatiivne, st üldjuhul AB BA; kui AB = BA, siis öeldakse, et A ja B on kommuteeruvad 2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, st (AB)C = A(BC) 3. maatriksite korrutamise suhtes leiduvad ühepoolsed ühikud. (Kehtib omadus A kuulub Kmxn => EmA = AEn = A) 4. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC 5. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB) = (aA)B = A(aB), a R 8. Maatriksite transponeerimine. Transponeerimise omadused. Maatriksi A = ||aij|| Rmxn transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit
on regulaarsed *Maatriksi ja tema pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud *Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis ainult üks. * Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)-1 = B-1A-1. * Maatriksi A-1 pöördmaatriksiks on maatriks A, s. t.(A- 1)-1 = A. *Ühikmaatriksi E pöördmaatriks on ta ise, s. t. E-1 = E. * Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmiseoperatsioon on kommuteeruvad ehk vahetatavad, s. t.(AT )-1= (A-1)T . VEKTORRUUM (ÜLE REAALARVUDE HULGA): Mittetühja hulka V nimetame vektorruumiks üle reaalarvude R, kui hulgal V on järgmine ehitus: I On antud kujutus + : V × V ->V; (x, y) -> x + y, mida nimetame (hulga V) elementide liitmiseks. II On antud kujutus : R × V -> V; (, x) -> x, mida nimetame (hulga V) elemendi korrutamiseks reaalarvuga (vasakult) . III Elementide liitmine ja reaalarvuga korrutamine peavad rahuldama järgmisi aksioome: 1
N¨ aide: ruutmaatriksite korrutised 1 2 5 6 1·5+2·7 1·6+2·8 19 22 = = 3 4 7 8 3·5+4·7 3·6+4·8 43 46 5 6 1 2 5·1+6·3 5·2+6·4 23 34 = = 7 8 3 4 7·1+8·3 7·2+8·4 31 46 3.3 Maatrikskorrutise mittekommutatiivsus ¨ Oeldakse, et maatriksid A ja B kommuteeruvad, kui AB = BA. Eelmised n¨aited u ¨tlevad, et maatrikskorrutamine on u ¨ldiselt mit- tekommutatiivne tehe, s.t AB = BA. Korrutamine on u ¨ldiselt mittekommutatiivne ka siis, kui tegurid on ruutmaatriksid. 8 II. Maatriksarvutus Avaldist [A, B] := AB -BA (kui leidub) nimetatakse maatrik- site A ja B kommutaatoriks ehk Lie korrutiseks. Kommutaator on
Omadus 6.6. Uhikmaatriksi E p¨o¨ ordmaatriksiks on tema ise, s.o. -1 E = E. 46 T~oestus. Valemi (6.1) kohaselt on vaja kontrollida, et maatriks E rahuldab v~orrandeid EX = E ja XE = E. Valemi (1.22) kohaselt siit saame X = E, s.o. E -1 = E. Omadus 6.7. Maatriksi transponeerimine ja p¨ o¨ ordmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (A )-1 = (A-1 ) . T~oestus. Me eeldame, et |A| = 0, mist~ottu ka |A | = |A| = 0. Seega eksisteerivad A-1 ja (A )-1 . T~oestatavas omaduses me v¨aidame, et maatriksi A p¨o¨ordmaatriksiks on (A-1 ) . Silmas pidades valemeid (6.1), meil tuleb kontrollida, et (A-1 ) on v~orrandite A X = E ja XA = E. lahendiks. T~oepoolest on see nii, sest A (A-1 ) = (A-1 A) = E =E ja (A-1 ) A = (AA-1 ) = E = E. Siin me kasutasime valemit (1.29).
6. Uhikmaatriksi E p¨o¨ ordmaatriksiks on tema ise, s.o. −1 E = E. 46 T˜oestus. Valemi (6.1) kohaselt on vaja kontrollida, et maatriks E rahuldab v˜orrandeid EX = E ja XE = E. Valemi (1.22) kohaselt siit saame X = E, s.o. E −1 = E. ♠ Omadus 6.7. Maatriksi transponeerimine ja p¨ o¨ ordmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (A )−1 = (A−1 ) . T˜oestus. Me eeldame, et |A| = 0, mist˜ottu ka |A | = |A| = 0. Seega eksisteerivad A−1 ja (A )−1 . T˜oestatavas omaduses me v¨aidame, et maatriksi A p¨o¨ordmaatriksiks on (A−1 ) . Silmas pidades valemeid (6.1), meil tuleb kontrollida, et (A−1 ) on v˜orrandite A X = E ja XA = E. lahendiks. T˜oepoolest on see nii, sest A (A−1 ) = (A−1 A) = E =E ja (A−1 ) A = (AA−1 ) = E = E.
Supersümmeetriat võib esitleda mitmeti. Üks viis on 2 on väita, et aegruumil on rohkem mõõtmeid, kui meie suudame tajuda. Neid mõõtmeid kutsutakse Grassmanni mõõtmeteks, sest neid ei väljendata tavaliste reaalarvudega, vaid Grassmanni Osake, mille arvudega. Tavaarvud justkui kommuteeruvad, s.t pole vahet, mis spinn on 1/2 järjekorras neid korrutada: 6 korda 5 on sama palju kui 5 korda 6. seevastu Grassmanni arvud antikommuteeruvad: x korda y on 360o 360o sama mis y korda x. Joon. 2. 6 360o
Üks viis on väita, et spinn on 2 aegruumil on rohkem mõõtmeid, kui meie suudame tajuda. Neid mõõtmeid kutsutakse Grassmanni mõõtmeteks, sest neid ei väljendata tavaliste reaalarvudega, vaid Grassmanni arvudega. Tavaarvud justkui Osake, mille kommuteeruvad, s.t pole vahet, mis järjekorras neid korrutada: 6 korda spinn on 1/2 5 on sama palju kui 5 korda 6. seevastu Grassmanni arvud antikommuteeruvad: x korda y on sama mis y korda x. 360o 360o Joon. 2. 6 Supersümmeetriat rakendati esmalt aineväljade lõpmatuste kõr - Spinn
annaabi.ee 
