Pikim jõgi: Murray Darlins Suurim järv: Eyre 9690km Maavarad: Kuld,vask, Austraalias sajab umbes 633mm aastas, jaanuari keskmine temp. on 20,4 ja juulis 5,5kraadi. Austraalias on väga levinud lamba kasvatus. Tüüpilised loomad on känguru, koaalad,opossumid ja nokkloomad. Suur Veelahkmeahelik Suur Veelahkmeahelik on Austraalia üks väheseid mägismaid, mis on kuiv, madal ja hõredalt asustatud, väljaarvatud idarannikul. Ahelik koosneb tegelikkuses mitmetest katkevatest ahelikest ja platoodest ja kulgeb piki Austraalia ida- ja kagurannikut 3600 kilomeetrit. Keskmiseks kõrguseks on 1200 meetrit, kõrgeim mägi, Kosciusko (2228 m), asub Kagu- Austraalias. Läbi terve aheliku varieerub maastik tugevalt. Cape York'ist põhjas on madalad mäed kaetud vihmametsadega. Edasi lõuna poole, 90 km Sidneyst läänes tõusevad liivakivist Sinimäed tasaste, metsaste kanjonite kohale. Veel edasi lõuna pool asuvad Lõuna-Alpid ehk Lumised Mäed , kus asuvad Austraalia
Muutujavahetus m¨a¨aratud integraalis. 22. Tuletada ositi integreerimise valem m¨a¨aratud integraali jaoks. 23. Taylori valemi j¨a¨akliikme integraalkuju. 24. Defineerida p¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida l ~opmatute rajadega p¨aratud integraalid. 25. U¨ ks ma¨a¨ratud integraali rakendus omal valikul koos to~estusega.
Lause : Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul. 4. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. 5. Muutujavahetus 6. Ositi integreerimine. 7. Osamurdudeks jagamine. 8. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. 9. Integraali keskväärtusteoreemid. 10.Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju 11.Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid 12. Määratud integraali rakendused. PÖÖRDKEHA RUUMALA: 13. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid.
Kahe integreeruva funktsiooni korrus on integreeruv, seega on integreeruv Integreerime lõigul 23. Taylori valemi jääkliikme integraalkuju Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n- järku Taylori valemi f(x) = Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul 24. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid: Kui f(x) , siis . Kui f(x) , siis . Kui f(x) a,b korral, siis
Arvutame eraldi selle avaldise vasaku poole. Kuna integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Newton-Leibnitzi valemi tõttu Avaldame selle võrduse seose vasakusse poolde. Saame Viies võrduse teisele poole, tultame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. a. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid a.1. Päratu integraal poollõigul Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõpmatul poollõigul Seega on f pidev ka kõigil lõplikel lõikudel ], kus . Järelikult eksisteerib määratud integraal Vaatleme selle intehraali käitumist protsessis . Piirväärtust nimetatakse
Diferentseeruv: Tõestus: Leiame funktsiooni G(x) tuletise(lõigu otspunktides ühepoolse tuletise) a dv=f (n+1 ) ( t ) dt v =f 11.Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid: b
25) kujul x af(t)dt = F(x) - F(a) . Pannes selles avaldises muutuja x võrduma arvuga b, jõuamegi Newton-Leibnitzi valemini (5.24). Teoreem on tõestatud. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. Ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Hindamisteoreemid Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest 43. Tuletada joonte y=f1(x) ja y=f2(x) vahel asuva kujundi pindala valem. Pindala arvutamine. Kõvertrapetsi pindala avaldub valemiga. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja ülalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b. Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st Valemi tõestamiseks nihutame D ülespoole x-telge
Saame a b b b uv ¿ ba= vdu+ udv Viies vdu võrduse teisele poole, tultame ositi integreerimise valemi a a a määratud integraali jaoks b b udv=uv ¿ba - vdu a a 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid 1.Päratu integraal poollõigul [ a , ). Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõpmatul poollõigul [ a , ) . Seega on f pidev ka kõigil a,b b> a . Järelikult eksisteerib määratud integraal lõplikel lõikudel ¿ ], kus b f ( x ) dx iga b>a korral Vaatleme selle intehraali käitumist protsessis b
Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega. 40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton- Leibnitzi valem . Valemi tõestus. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. 42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43. Tuletada joonte () 1 fxy = ja ( ) 2 fxy = vahel asuva kujundi pindala valem. 44. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem. 45. Tuletada joone pikkuse valem.
b.iii. Integreerime seda avaldist rajades a-st b-ni b.iv. Arvutame avaldise vasaku poole eraldi. Kuna siis Newton-Leibnitzi tõttu b.v. Avaldades võrduse vasaku poole b.vi. Viies võrduse teisele poolele tuletame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks 20. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. a. Lõpmatute rajadega päratud integraalid Integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on lõplik, vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks. b. Päratu integraal poollõigul Olgu antud funktsioon f, mis on pidev poolõigul , mistõttu on ta pidev ka lõplikel lõikudel, kus , mistõttu eksisteerib iga korral. Vaatleme seda funktsiooni piirprotsessis
paremal poolel joonisel 5.3 kujutatud ristkülikute ühendi pindala. Valemit (5.19) saab kasutada määratud integraali ligikaudseks arvutamiseks. Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks. 39 1. ba [f(x) ± g(x)]dx = ba f(x)dx ± ba g(x)dx. Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See tähendab, et ba[f(x)g(x)]dx = baf(x)dx · bag(x)dx ja ba[f(x) : g(x)]dx = baf(x)dx :g(x)dx: 2. ba Cf(x)dx = C ba f(x)dx, C - konstant. 3. aa f(x)dx = 0, Põhjendus: kui a = b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on 43. Tuletada joonte y=f1(x) ja y=f2(x) vahel asuva kujundi pindala valem. Pindala arvutamine. Kõvertrapetsi pindala avaldub valemiga.
nimetatakse päratut integraali hajuvaks Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Teoreem 5.5. Kui iga x ≥ a korral kehtivad võrratused 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ja integraal R ∞ a g(x)dx koondub, siis koondub ka integraal R ∞ a f(x)dx. Teoreem 5.6. Kui R ∞ a |f(x)|dx koondub, siis koondub ka R ∞ a f(x)dx. Näide. Hindame päratu integraali R ∞ 1 sin xdx x2 koonduvust. Kuna iga x korral kehtib võrratus ¯ ¯ ¯ ¯ sin x x 2¯¯¯¯≤1x2 Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c ∈ (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal Z c a f(x)dx iga c ∈ (a, b) korral. Olgu funktsioon f pidev poollõigul (a, b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [c, b], kus c ∈ (a, b). Päratu integraal R b a f(x)dx defineeritakse järgmise
Seega on uue integraali alumine raja (a) ja ülemine raja (b). Kokkuvõttes saame järgmise valemi: Tuletada ositi integreerimise valem maaratud integraali jaoks. 42. Defineerida lopmatute rajadega paratud integraalid. Päratut integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on lõplik. Vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks Sonastada paratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida paratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43. Tuletada joonte y = f1( x) ja y = f2( x) vahel asuva kujundi pindala valem.133 Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja .ulalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b (joonis 5.4). Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st 44. Toestada keha ruumala valem ristloigete pindalade kaudu ja tuletada sellest poordkeha ruumala valem.(Vaatame konspekt paberises 134-136, voi 138-140) 45
kehtib v~orratus sin x 1 2 x2 x ja integraal 1 dxx2 koondub, siis teoreem 5.5 p~ ohjal integraal 1 sinxxdx dx 2 koondub. Teoreemi 5.6 p~ohjal j¨areldub sellest omakorda integraali 1 sinxxdx 2 koonduvus. P¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. §5.5 toodud m¨a¨aratud integraali definitsioonis eeldasime, et f on pidev l~oigul [a, b]. Vaatleme n¨ uu ¨d juhtu, kui f on katkev. Kui f -l on katkevuspunktid l~oigul [a, b], siis selle funkt- siooni integraalsumma ei tarvitse omada l~oplikku piirv¨a¨artust, seega ei eksisteeri b viimasel juhul ka m¨a¨aratud integraali a f (x)dx
x2 x sin xdx ja integraal 1 dx x2 koondub, siis teoreem 5.5 p~ ohjal integraal 1 x2 dx sin xdx koondub. Teoreemi 5.6 p~ohjal j¨areldub sellest omakorda integraali 1 x2 koonduvus. P¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. §5.5 toodud m¨a¨aratud integraali definitsioonis eeldasime, et f on pidev l~oigul [a, b]. Vaatleme n¨ uu ¨d juhtu, kui f on katkev. Kui f -l on katkevuspunktid l~oigul [a, b], siis selle funkt- siooni integraalsumma ei tarvitse omada l~oplikku piirv¨a¨artust, seega ei eksisteeri b viimasel juhul ka m¨a¨aratud integraali a f (x)dx
annaabi.ee 
