on pidev selle piirkonna igas punktis. Ühepoolne pidevus Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a paremalt pidev, kui lim = (). + · Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a vasakult pidev, kui lim = (). - · Funktsioon on pidev punktis a, kui ta on selles punktis pidev nii vasakult kui ka paremalt. FUNKTSIOONI KATKEVUSPUNKTID Funktsiooni katkevuspunkti mõiste · Funktsiooni y = f(x) nim katkevaks punktis a, kui ta ei ole selles punktis pidev. · Punkti a nim funktsiooni katkevuspunktiks. · Seega, a on funktsiooni katkevuspunkt, kui ei ole täidetud tingimus lim = () . Teiste sõnadega, kui on täidetud vähemalt üks järgmisest kolmest tingimusest: () lim (), st parem- ja vasakpoolne piirväärtus ei ühti lim () Katkevuspunktide liigid
rasvaseks.On täiesti ükskõik, kas pesta pead hommikul, päeval või õhtul, kuid üks nõuanne siiski: pikki raskeid lokke on kõige sobivam pesta õhtul enne magamaminekut, sest siis näevad juuksed järgmisel hommikul välja loomulikud ja ilusad. Kõigi teiste lõikuste ja soengute puhul võib õhtul pestud pea näha hommikul välja nagu linnupesa. Põhjuseks on juuste hõõrdumine padjal, mis muudab nad ka kergesti katkevaks. b) Sampooniga on nagu mis tahes muu vahendiga organism harjub sellega ära ja toode ei avalda enam loodetud mõju. Seetõttu tasuks ka sampooni iga kahe nädala tagant vahetada, ja siis taas oma lemmikvahendi juurde tagasi pöörduda. Nii säilitab sampoon alati oma värske toime. c) Kas kasutada pesemisel sampooni üks või kaks korda, sõltub sellest, kui mustad juuksed on. Kui tulete tolmustelt remonditöödelt või pesete pead üle kahe nädala, siis
siis öeldakse, et suurus (x) on võrreldes suurusega (x) kõrgemat järku lõpmata suur suurus selles piirprotsessis. DEF 5. Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi (x) ja (x) nim. piirprotsessis x-> x0 ekvivalentseteks lõpmata väikesteks (suurteks), kui lim (x) / (x)=1 1.7 Funktsiooni pidevus DEF 1. Funktsiooni f(x) nim. pidevaks punktis x0, kui on täidetud kolm tingimust: 1. f(x0) 2. lim f(x) 3. lim f(x)=f(x0) DEF 2. Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis x0 nim. katkevaks funktsiooniks punktis x0, kusjuures punkti x0 nim. funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. DEF 3. Punkti x0 nim. funktsiooni f(x) esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis x0 funktsiooni f(x) ühepoolsed lõplikud piirväärtused DEF 4. Funktsiooni f(x) iga katkevuspunkti, mis ei ole esimest liiki nim. selle funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. DEF 5. Suurust x =x- x0 nim. argumendi muuduks ehk argumendi kasvuks ja suurust
) Kui (x) ja (x) on lõpmata väikesed suurused piirprotsessis x a ja lim( x a )(x)/(x)=0, siis öeldakse, et (x) on võrreldes suurusega (x) kõrgemat järku lõpmata väike suurus selles piirprotsessis (alfa läheb nulliks kiiremini kui beeta) Lõpmata väikeseid suurusi (x) ja (x) piirprotsessis x a nim ekvivalentseteks selles piirprotsessis ,kui lim( x a )(x)/(x)=1 Funktsiooni f(x) nim pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust... Funktsiooni, mis ei ole pidev punktis a, nim katkevaks punktis a ja nim funkts f(x) katkevuspunktiks Funkts f(x) katkevuspunkti a nim esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funkts f(x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused, kuid seejuures lim f ( x ) lim f ( x ) või pole funktsiooni väärtus punktis x = x0 määratud. x x0 + 0 x x -0 0 Funkts-i katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki katkevuspunk, nim funkts f(x) teist liiki katkevuspunktiks
x 2 -1 lim = 3 nagu leidsime eespool. x 2 x -1 Et funktsioon oleks pidev kohal a, peab olema täidetud kolm tingimust: · funktsioonil on väärtus kohal a; · funktsioonil on olemas lõplik piirväärtus kohal a; · funktsiooni piirväärtus ja tema väärtus kohal a on võrdsed. Kui vähemalt üks neist tingimustest ei ole täidetud, aga funktsioon on määratud koha a ümbruses, siis nimetatakse funktsioon katkevaks kohal a ja arvu a tema katkevuskohaks. Näiteks võib funktsioon olla katkev juhul, kui määramispiirkonna kahe osa vahele jääb vaid üksainus punkt, milles funktsioon pole määratud. Sellist eraldiseisvat ehk isoleeritud punkti x-teljel nimetatakse samuti funktsiooni katkevuskohaks (näiteks x 2 -1 punkt x = 1 funktsiooni y = korral). x -1
tähistatakse ( ). *Ekvivalentsete lõpmata väikeste suuruste vahe on kõrgemat järku lõpmata väike: Näiteks: x-sinx ~x3/6 (x->0) sinx ~x (x->0) 18*(Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigid)Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust: 1). f(a); 2). 3). (Tõestus: (Xo))=0 (Xo f(x-xo)) f(xo))=0 ) Tähistatakse: f(x) C *Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks. *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a e teer v d fun t n f x õp ud ühep ed p rväärtu ed *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse teist liiki katkevuspunktiks. *Kui vaadeldakse suurusi f(Xo) ja eeldatakse 1 ja 2 punkti olemasolu.
3 ∀u, v ∈ V ||u + v|| <= ||u|| + ||v|| vasakult punktis a, kui lim∆x→0− ∆y = 0 Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u, v ∈ V seab Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a vastavusse skalaari d(u, v) ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse 1 ∀u, v ∈ V d(u, v) >= 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funktsiooni f(x) lõplikud ühepoolsed
Funk-ni f(x) nim. pidevaks punktis a, kui on täidetud 3 tingimust: f(a); limxa f(x); limxa f(x) = f(a). 2. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et Tähistatakse f(x) C(a). hulgal X on määratud (ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y= f(x), x X. Def. Fun-ni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a Hulka x nim. fun-ni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x X y = f(x)} Y fun-ni f nimetatakse funktsiooni f (x) katkevuspunktiks. muutumispiirkonnaks. Elementi x nim. fun-ni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja Def. Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a elementi y sõltuvaks muutujaks
Tähistatakse: f(x) ∈ C(a) * lim = lim (1+ kx) x = *Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks. x→ 0 x x→ 0 *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui [ ]
¨ I 7 / 25 Funktsiooni pidevus Funktsiooni pidevus Definitsioon ¨ Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: f (a); lim f (x); xa lim f (x) = f (a). xa ¨ Tahistatakse f (x) C(a). Definitsioon Funktsiooni f (x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) katkevuspunktiks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 8 / 25 Funktsiooni pidevus Funktsiooni pidevus Definitsioon ¨ Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: f (a); lim f (x); xa
lõigul ja leidub ka vähemalt üks punkt x2, milles see f. saavutab oma vähima väärtuse lõigul (a;b).
f(x)f(x1) x(a;b); f(x)f(x2) x(a;b). *olgu f. y=f(x) pidev lõigul (a;b). olgu x1 ja x2 mingid
puktid sellel lõigul, kus c=f(x1); d=f(x2). Sel juhul mistahes k korral (c
rasvaseks.On täiesti ükskõik, kas pesta pead hommikul, päeval või õhtul, kuid üks nõuanne siiski: pikki raskeid lokke on kõige sobivam pesta õhtul enne magamaminekut, sest siis näevad juuksed järgmisel hommikul välja loomulikud ja ilusad. Kõigi teiste lõikuste ja soengute puhul võib õhtul pestud pea näha hommikul välja nagu linnupesa. Põhjuseks on juuste hõõrdumine padjal, mis muudab nad ka kergesti katkevaks. b) Sampooniga on nagu mis tahes muu vahendiga organism harjub sellega ära ja toode ei avalda enam loodetud mõju. Seetõttu tasuks ka sampooni iga kahe nädala tagant vahetada, ja siis taas oma lemmikvahendi juurde tagasi pöörduda. Nii säilitab sampoon alati oma värske toime. c) Kas kasutada pesemisel sampooni üks või kaks korda, sõltub sellest, kui mustad juuksed on. Kui tulete tolmustelt remonditöödelt või pesete pead üle kahe nädala, siis
44 4.6. Tähtsad piirväärtused 4.6 Pidevad funktsioonid Vaatleme reaalarvulisi funktsioone y = f (x), x X R. Definitsioon 4.12 Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim f (x) = f (a). (4.7) xa Vastasel korral nimetatakse funktsiooni katkevaks punktis a. Märkus 4.5 Selleks, et funktsioon oleks pidev punktis a, peavad olema täidetud järgmised kolm tingimust: 1. funktsioonil on olemas kindel väärtus f (a); 2. funktsioonil on olemas piirväärtus lim f (x) protsessis x a; 3. lim f (x) = f (a). xa Definitsioon 4.13 Me ütleme, et funktsioon f on pidev hulgal X, kui f on pidev selle hulga igas punktis. Kui X = R, siis ütleme, et funktsioon f on pidev kõikjal.
annaabi.ee 
