Hulkliikmega ülesanne teguri toomisega sulgudest välja (0)

Lõik failist

Sarnased õppematerjalid

6

pdf

Matemaatilised meetodid loodusteadustes.

Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, I variant 1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p): 9 + x2 -2x4 - 3x3 + 1 2x lim , lim , lim x-3 (x + 3)2 x- x3 - 3x4 x x - ex Lahendus. 9 + x2 limx-3 (9 + x2 ) 18 1) lim = = = +, x-3 (x + 3)2 limx-3 (x + 3)2 +0 -2x4 - 3x3 + 1 x4 -2 - x3 + x14 -2 + 0 + 0 2 2) lim 3 4 = lim 4 2 = = x- x - 3x x- x x -3 0-3 3 2x limx (( 2x)

Looduskaitsebioloogia

2

pdf

Hulkliikmete tegurdamine

Hulkliikme tegurdamine 1) ühisteguri sulgude ette toomine 8y2 ­ 4y = 4y (2y ­ 1) 2 5 4 18u v ­ 27uv = 9uv4 (2uv ­ 3) ­x2 ­ 2x = ­x (x + 2) 2) valemite abil a2 ­ b2 = (a + b) (a ­ b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b) (a2 ab + b2) 4a2 ­ 9b2 = (2a + 3b) (2a ­ 3b) 4m2 ­ 20mn + 25n2 = (2m ­ 5n)2 27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 ­ 6x + 4) 3) rühmitamisvõte ay + az + by + bz = a (y + z) + b (y + z) = = (y + z) (a + b) x3 ­3x2 ­ 3x + 9 = x2 (x ­ 3) ­ 3 (x ­ 3) = = (x ­ 3) (x2 ­ 3) 4) erinevate võtete kombineerimine NB! Kõigepealt toome võimaluse korral ühisteguri sulgude ette, seejärel vaatame, kas saab tegurdada veel mõne teise võttega. 5x2 + 10x + 5 = 5 (x2 + 2x + 1) = = 5 (x + 1)2 m3n ­ mn3 = mn (m2 ­ n2) = = mn (m + n) (m ­ n) 

Matemaatika

6

docx

Ruutvõrratused

19) x(x + 4) ­4 20) x(6 ­ x) 9 1 1 - ;2 - ;3 Vastused. (­ ;­3 0; ); (­ ;­20 20; ); 5 ; 4 ; ( - ;-4] 1 ; ( - ;-2] 1 ; - 2; 1 - 5; 1 3 ; 4 ; 5 ; 3 ; 5; 4; Ø; Ø; R; R; Ø; Ø; R; R; ­2; 3. Korrutist sisaldava võrratuse nullkohtade leidmisel kasutame omadust: kahe teguri korrutis on null, kui üks teguritest on null (s.t. lahendame sulgude sees olevad lineaarvõrrandid). Näide 10. Lahendame võrratuse (x ­ 2)(x + 1) > 0. Lahendus. (x ­ 2)(x + 1) > 0 X0 x ­ 2 = 0 või x + 1 = 0 x1 = 2 x2 = ­1 5  Joonise tegemiseks teeme kindlaks x2 ees oleva märgi, selleks korrutame võrratuses x-ga liikmed omavahel. Praeguses näites x · x = x2.

Matemaatika

63

doc

Põhikooli matemaatika kordamine

Seega x-i väärtuseks ei saa nulli võtta. x ­2 ­1,2 ­0,5 0,4 0,8 2 3 y 1,2 ­2 ­4,8 6 3 1,2 0,8 Kui x = ­2, siis y = 2,4 : (­2) = ­1,2; kui x = ­1,2, siis y = 2,4 : (­1,2) = ­2; kui x = ­0,5, siis y = 2,4 : (­0,5) = ­4,8; kui x = 0,4, siis y = 2,4 : 0,4 = 6; kui x = 0,8, siis y = 2,4 : 0,8 = 3; kui x = 2, siis y = 2,4 : 2 = 1,2; kui x = 3, siis y = 2,4 : 3 = 0,8. Joonestame nüüd graafiku ja kirjutame välja otsitavad punkid. 1) x ­1,2 0,4 0,8 2 y ­2 6 3 1,2 2) x ­1,2 ­4 4,8 2 y ­2 ­ 0,6 0,5 1,2  Ruutfunktsioon Ruutfunktsioon y = ax2 ja tema graafik NÄIDE 1. Kui kuubi serva pikkus on u cm, siis kuubi ühe tahu pindala on u2 cm2. Kuubi pindala avaldub sel juhul valemiga S = 6u2.

Matemaatika

3

doc

Ruutvõrrand

märkide poolest, kui negatiivne arv, siis lahendid puuduvad.) Näide 16. Lahendame võrrandi 2x2 ­ 4,5 = 0 Lahendus. 2x2 = 4,5 ÷ 2 x2 = 2, 25 x = ± 2,25 = ± 1,5 x1 = ­1,5 x2 = 1,5 2) Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on c = 0 (puudub vabaliige), siis saame võrrandi ax2 + bx =0. 11  Selle lahendamiseks toome x sulgude ette: x(ax + b) = 0. Kahe teguri korrutis on null, kui üks teguritest on null: x = 0 või ax + b = 0 x1 = 0 ax = ­b b x2 = ­ a Näide 17. Lahendame võrrandi 4x2 ­ 6x = 0. Lahendus. Kui võimalik, teeme ruutvõrrandi lihtsamaks! 4x2 ­ 6x = 0 ÷ 2 2x2 ­ 3x = 0 x(2x ­ 3) = 0 x = 0 või 2x ­ 3 = 0 x1 = 0 2x = 3 ÷ 2

Matemaatika

6

doc

Ruutvõrrandid

Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 ­ 23 = 0, 3) ­3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on

Matemaatika

11

pdf

Üks-ja hulkliikmed

Näited 2a (5 2c) 2 ratsionaalne avaldis: (3x 2 y 3 )3 irratsionaalne avaldis: x2 y2 irratsionaalne avaldis: x2 / 3 y3/ 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp  Üksliikmed (e. monoomid) Arvulise teguri ja ühe või mitme tähelise sümboli naturaalarvulise astendajaga astme korrutist nimetatakse üksliikmeks e. monoomiks. 3 2 5 2 Näited üksliikmed: 11ab c ; d ; 2d ; 5; 1 x; 4 2 ei ole üksliikmed:

Matemaatika

17

docx

VÕRRANDID (mõisted)

Seejärel kasutatakse murru nulliga võrdumise tunnust: Murd võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null. Näide 21 Lahendame võrrandi Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x – 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 ¹ 0, ehk x ¹ –2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed. Vastus: x = 1,5. Näide 22 Lahendame võrrandi Kõigepealt leiame vasakul pool ühise nimetaja ja seejärel lihtsustame avaldist: Seega tuleb lahendada võrrand millest võrde põhiomaduse järgi saame, et (x+2)(x–2)=4x–7 ehk x2 – 4 = 4x – 7, x2 – 4x + 3 = 0. Selle võrrandi lahendid on 1 ja 3. Murdvõrrandi puhul tuleb teha lahendite kontroll !

Matemaatika

Kommentaarid (0)