sõltumatute muutujate suhtes Definitsioon Olgu F (x; y ; z) määratud piirkonnas Ω R3. Vahemikus (a; b) määratud funktsiooni y = y (x) nimetatakse võrrandi F (x;y;y’)=0 lahendiks selles vahemikus kui ta on pidevalt diferentseeruv, (x; y(x); y’(x)) ϵ Ω iga x ϵ (a,b) ning F (x; y (x); y’(x))=0 iga xϵ(a,b) Erilahend : Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse DV lahendit, mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuse andmisel. Esimest järku DV üldlahendist saame erilahendi, kui rahuldame algtingimuse y( x0) = y0 , kus x0 , y0 on etteantud arvud. Kuna n-järku DV üldlahend sisaldab n suvalist konstanti, siis on konstantide määramiseks vaja n algtingimust Tihti esitatakse need kujul : 1. 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud.
pidev osatuletis fy (x; y ). Siis läbi iga punkti (x0; y0) D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y' = f (x; y) integraalkõver. Definitsioon Võrrandi y'= f (x; y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x; C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0; y0) D korral leidub konstandi C selline väärtus C0, et lahend y = y (x; C0) rahuldab algtingimust y(x0) = y0. Definitsioon Võrrandi y' = f (x; y) erilahendiks nimetatakse lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandi C fikseerimisega. 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand Olgu meil sümmeetrilisel kujul diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: · M, N, , C(D) · · Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause:
y2 = 2ex + 2C1 = 2ex + C y = ± 2ex + C Erilahendi 0 y = + 2ex + C leidmisel arvestame, et y(0) = 1, siis 1 = ± 2e + C. St, antud juhul tuleb ja 1 = 2e0 + C, millest saame 1 = 2 + C ning C = -1. Erilahendiks on j¨arelikult y = 2ex - 1. 6
y'=f(x,y). Esimest järku dif.võrrandi üldlahendiks nim funktsiooni y=(x,C), mis sõltub konstandist C ja rahuldab tingimusi a)rahuldab dif.võrrandit C mistahes konkreetsel väärtusel ; b) olenemata algtingimusest võib leida C väärtuse C=C0 , et funktsioon y= (x,C0) rahuldab antud algtingimust. Eeldatakse , et väärtused x0 ja y0 kuuluvad suuruste x ja y muutumispiirkonda, milles on täidetud lahendi olemasolu ja ühesuse teoreemi tingimused. Erilahendiks nim mistahes funktsiooni y= (x,C0), mis saadakse üldlahendist y=(x,C), kui selles suvalisele konstandile C anda konkreetne väärtus C=C0. Seost (x,y,C0)=0 nim sel juhul võrrandi eriintegraaliks. Üldlahendi geomeetriliseks tõlgenduseks on koordinaattasandil asetsev joonteparv, mis sõltub ühest suvalisest konstandist C. Neid jooni nim antud dif.võrrandi integraaljoonteks. Cauchy'i ülesanne: y'=f(x,y). Leida selline lahend, mis algtingimustel y(x0)=y0 ??? 33
Kõigi DV-e lahendamisel saadakse kõigepealt üldlahend, millest siis rajatingimusi (algtingimusi) kasutades leitakse sobiv erilahend. Seega, n-järku DV-il on lõpmata palju lahendeid ja need on esitatavad kujul y = φ(x, C1, C2, . . . , Cn), kus konstandid C1, C2, . . . , Cn omandavad väärtusi teatud vahemikus. Sellist avaldist nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks. Iga lahendit, mis saadakse üldlahendist konstantidele arvulisi väärtusi andes, nimetatakse erilahendiks. 40. Eraldatud ja eralduvate muutujatega DV-i lahendamine. DV-t kujul M(x)dx + N(y)dy = 0 nim. eraldatud muutujatega võrrandiks. Sellise võrrandi üldintegraal on ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶 41. Eralduvate muutujatega DV klass dy/dx=ky. Näited selle kasutamisest. Sellisel kujul DV kirjeldab eksponentsiaalselt kasvavaid/kahanevaid protsesse N: populatsiooni kasv ajaperioodi vältel. 42. Newtoni seadus kehade jahtumise kohta. Näited selle kasutamisest.
liigitus harilikeks ja osatuletistega diferentsiaalvõrranditeks Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse võrrandis esinevate otsitava järk funktsiooni tuletiste kõrgeimat järku Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, üldlahend mis sisaldab suvalist konstanti C Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, erilahend mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuste andmisel Cauchy ülesanne Cauchy ülesandeks nimetatakse ülesannet, kus on vaja leida diferentsiaalvõrrandi F(x,y,y',...,y(n))=0 lahend y, mis rahuldab algtingimusi y(x0)=y0, y'(x0)=y1,..., y(n-1)(x0)=yn-1 Lahendi olemasolu ja Olgu f(x,y) ja f'y määratud ja pidevad muutujate x,y piirkonnas D
muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks. Kui n-järku võrrandile lisada n-algtingimust: (1.4) Siis saame algväärtuseks ülesande (1.1). esimest järku algväärtus ülesanne koosneb võrranditest ja ühest algtingimusest. (1.5) Def 1.3 Võrrandi (1.1) lahendit, mis rahuldab ka algtingimusi (1.4) nim selle võrrandi erilahendiks. Teist või kõrgemat järku võrrandile võib püstitada ka raja (väärtus) ülesande. 2. Dif.võr geomeetriline tõlgendus Esimest järku võrrandi ligikaudne lahendamise idee. Vaatleme esimest järku dif.võr. (2.1) See võrrand määrab igas tasapinna punktis P(x,y) tuletise y' väärtuse. Tuletis on aga võrdne integraaljoone tõusuga (täisnurgatang). Järelikult saame selle funktsiooni f(x,y) määramispiirkonnas suunavälja või vektorvälja .
· Ühele reale minig nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea liitmine. Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada treppkujule, mille abil saab otsustada süsteemi lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid. Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Andes C-le mingi väärtuse, nt C=1, siis saame süsteemi ühe lahendi, mida nim erilahendiks. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Tundmatute maatriks Ja vabaliikmete maatriks A on kordajate ehk süsteemimaatriks. AX=B X=A-1B Nt: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule. Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente
maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga 72.Teoreem LVS-i lahendite arvust – LVS-i üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, mis rahuldab järgmist tingimust: parameetritele arvuliste väärtuste omistamise teel on võimalik saada ainult antud LVS.i kõiki lahendeid. LVS-i lahendid, mis on saadud üldlahendist parameetritele ( kõigile või osale parameetritest) arvuliste väärtuste omistamise teel, nimetatakse antud LVSi erilahendiks. 73. Sirge võrrandid tasandil ja ruumis Sirge võrrand tasandil ruumis Parameetrilised võrrandid x ¿ s 1 t+ x0 { x ¿ s 1 t+ x0 koordinaatidest s: y ¿ s2 t + y0 S: { y ¿ s2 t + y 0 z ¿ s 3 t+ z 0
üldlahendi, mis sõltub vabalt valitavatest konstantidest: x1 = x1 (C1 , C 2 , , C k ) x = x (C , C , , C ) 2 2 1 2 k x n = x n (C1 , C 2 , , C k ) , kus C1, C2 , ..., Ck R. Vabalt valitavate konstantide arv k on määratud tundmatute arvu ja sõltumatute võrrandite arvu vahega. Süsteemi (1) erilahendiks nimetatakse süsteemi lahendit, mis saadakse üldlahendist konstantidele C1, C2 , ..., Ck arvuliste väärtuste andmisel. 6.2. ERIMEETOODID LVS LAHENDAMISEKS 32. LVS lahendamine maatriksvõrrandi kaudu LVS maatriksvõrrandi kuju : AX = B (2) Võrdus (2) esitab maatriksvõrrandit, mille lahend avaldub kujul X = A- 1B, kus det A 0 Näide 1: Lahendada maatriksvõrrandi kaudu LVS
Viimasel juhul saab süsteemi (1) jaoks välja kirjutada üldlahendi, mis sõltub vabalt valitavatest konstantidest: x1 = x1 (C1 , C 2 , , C k ) x = x (C , C , , C ) 2 2 1 2 k , x n = x n (C1 , C 2 , , C k ) kus C1, C2 , ..., Ck R. Vabalt valitavate konstantide arv k on määratud tundmatute arvu ja sõltumatute võrrandite arvu vahega. Süsteemi (1) erilahendiks nimetatakse süsteemi lahendit, mis saadakse üldlahendist konstantidele C1, C2 , ..., Ck arvuliste väärtuste andmisel. 6.2. ERIMEETOODID LVS LAHENDAMISEKS 1. LVS lahendamine maatriksvõrrandi kaudu LVS maatriksvõrrandi kuju : AX = B (2) Võrdus (2) esitab maatriksvõrrandit, mille lahend avaldub kujul X = A- 1B, kus det A 0 Näide 1: Lahendada maatriksvõrrandi kaudu LVS
vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks ja laiendatud maatriks Maatriksit nimetatakse vastavalt lineaarvõrrandisüsteemi (1) maatriksiks ja lineaarvõrrandisüsteemi (1) laiendatud maatriksiks. Võrrandisüsteemi (1) saame nüüd kirja panna ka maatrikskujul: LVS üldlahend fikseeritud reaalarvude komplekt x1 = 1 jne... LVS erilahend Fikseeritud reaalarvude komplekti x1 = 1, x2 = 2, . . . , xn = n nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi (1) lahendiks ehk erilahendiks, kui nende arvude asendamisel süsteemi (1) võrranditesse tundmatute asemele same samasused. Lahenduv LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse lahenduvaks, kui tal leidub vähemalt üks lahend Vastuoluline LVS - Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse vastuoluliseks ehk vasturääkivaks, kui süsteemil (1) ei ole lahendeid. Elementaarteisendused: nim. 1) tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga
osapiirkondadeks j jaotamise viisist ega punktide Pj c j valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y,z) Võrrandi y'=f(x,y) erilahendiks nimetatakse lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandi C fikseerimisega. kolmekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Df(x,y,z)dV. Piirkonda c R3 nimetatakse regulaarseks, kui tema raja koosneb lõplikust arvust pidevatest pindadest tüüpi z=z(x,y) või Cauchy ülesanne ehk algtingimustega ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesus
Diferentsiaalvõrrandi F(x, y, y`)=0 lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = y (x), mille asendamisel võrrandisse saame samasuse. NÄIDE y = -1 28 Diferentseerides saame: y = -x + C , C = const (-,) ÜLDLAHEND y` = cosx Üldlahend: y(x,c) = sinx + C, CR ERILAHEND Diferentsiaalvõrrandi F(x, y, y')= 0 erilahendiks nimetatakse funktsiooni y=y(x), mis saadakse üldlahendist y=(x,c) konstandi c fikseerimisel. y`=a Erilahend: v(t)= v0 + at (saadakse yldlahendist C + at, kui C = v0) Diferentsiaalvõrrandil on lõpmata palju erilahendeid. SINGULAARNE LAHEND Diferentsiaalvõrrandil võib olla ka lahend, mis ei ole erilahend. Sellist lahendit nimetatakse singulaarseks lahendiks. Võrrandi (y`)2= 4y üldlahend avaldub y=(x + C)2
Võrrandi y' = maksimum, kui 𝐴𝐵 − 𝐶 2 > 0 𝑗𝑎 𝐴 < 0; 2) On funktsioonil f(x,y) lokaalne miinimum, kui 𝐴𝐵 − 𝐶 2 > 0 𝑗𝑎 𝐴 > f(x, y) erilahendiks nimetatakse lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandi C fikseerimisega. 0; 3) ei ole funktsioonil f(x,y) ei maksimumi ega miinimumi, kui 𝐴𝐵 − 𝐶 2 < 0 ; 4) küsimus jääb lahtiseks kui ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas 10. Cauchy ülesanne ehk algtingimusega ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesus. Peano teoreem. Cauchy
PEATÜKK 2. PÖÖRDMAATRIKS. LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMID Märkus 2.6 Gauss'i elimineerimise meetod võimaldab teada saada, kas antud võr- randisüsteem on lahenduv ja kui on, siis ka leida selle lahendi. 2.8 Süsteemi üldlahend ja erilahend Definitsioon 2.13 Lineaarvõrrandisüsteemi A·x = b üldlahendiks nimetatakse niisugust lahendit, mis sisaldab suvalist konstanti (konstante) c R. Definitsioon 2.14 Lineaarvõrrandisüsteemi A·x = b erilahendiks nimetatakse niisugust lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandile (konstantide) c mingi konkreetse arvulise väärtuse andmisel. Märkus 2.7 Lineaarvõrrandisüsteemil A · x = b leidub lahend, kui maatriksite A ja (A b) astakud võrduvad (olgu selleks astakuks r). Kui meil on m võrrandit ja n tundmatut, siis m = n = r: süsteemil on üks ja ainus lahend; n = r < m: süsteemil üks ja ainus lahend (osa võrrandeid ,,kattuvad");
annaabi.ee 
