Argumendi x väärtuste hulka, mille korral x-i väärtuste kasvades y-i väärtused kasvavad. Tunnus: f´(x)>0 7) Funktsiooni kahanemisvahemikuks nim. Argumendi x väärtuste hulka, mille korral x-i väärtuste kahanemisel y-i väärtused kahanevad. Tunnus: f´(x)<0 8) Funktsiooni ekstreemumkohaks nim. argumendi x väärtusi, mille korral funktsiooni kasvamine asendub kahanemisega või vastupidi. Tunnus: 9) Funktsiooni ekstreemumiks nim. funktsiooni maksimumi ja miinimumi (y-i väärtused). Leidmine: 10) Funktsiooni maksimumkohaks nim. argumendi x väärtusi, mille korral kasvamine asendub kahanemisega. 11) Funktsiooni miinimumkohaks nim. argumendi x väärtusi, mille korral kahanemine asendub kasvamisega. 12) Funktsiooni maksimum on funktsiooni väärtus maksimum kohal. 13) Funktsiooni miinimum on funktsiooni väärtus miinimum kohal.
funktsiooni väärtus kasvab. Tähis( X ) Funktsiooni kahanemispiirkonnaks nimetatakse arvtelje piirkonda, mil argumendi väärtuse kasvades funktsiooni väärtus kahaneb. Tähis( X ) Argumendi väärtust, mille korral funktsioon saavutab oma suurima või vähima väärtuse nimetatakse ekstreemumkohaks.X min/ Xmax Funktsiooni väärtust, mille korral funktsiooni saavutab oma suurima või vähima väärtuse nimetatakse ekstreemumiks. Ymin/Ymax Ekstreemumpunktiks nimetatakse funktsiooni graafiku punktiks, mille korral kordinaatideks on ekstreemumkoht ja ekstreemum. Emin/max(x, y) Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paaris funktsiooniks, kui iga x väärtuse korral määramispiirkonnast kehtid võrdus f(-x)=f(x) ja graafiks on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x väärtuse korral määramispiirkonnast
dy=f’(x)*dx Võrdlus: 20. L’Hospitali reegel. f ' ( x) lim ¿ x→ a g '( x ) f (x ) lim ¿ x →a =¿ g (x) ¿ 21. Funktsiooni lokaalsed ja globaalsed ekstreemumid (definitsioonid, näiteid kasutamisest). Nende leidmise algoritm. Fermat’ teroeem. Definitsioon: globaalseks ekstreemumiks nimetatakse maksimum- ja miinimumväärtusi kogu lõigu {a,b} ulatuses Definitsioon: lokaalseks ekstreemumiks nimetatakse punkte puntki a ümbruses Näited kasutamisest: 22. Funktsiooni statsionaarsed ja kriitilised punktid (definitsioonid). Definitsioon: Punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks Definitsioon: Punkte, kus f’(a)=0 või kus f’(a) ei eksisteeri, nimetatakse
1. Defineerige ühe muutuja funktsiooni ning tooge näited. Intuitiivselt võib funktsiooni all mõista ,,eeskirja", mis seab igale antud sisendile vastavusse üheselt määratud väljundi. Ringi pindala sõltub ringjoone raadiusest, st ( ) Ühtlase kiirusega liikuva keha poolt läbitu teepikkus sõltub ajast, st ( ) Tagasisaadav summa hoiustamisele antud rahasummast sõltub hoiustamise perioodist ehk ajast 2. Mida nimetatakse funktsiooni graafikuks? Kas ringjoon sobib mingi funktsiooni graafikus? Kui reaalarvude hulga X igale elemendile on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud ainult üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon f, ja kirjutatakse ( ) Funktsiooni ( )graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {( )} ( ) xy-tasandil. Funktsiooni graafik on joon võrrandiga ( ). Ringjoon ei saa olla mingi funktsiooni graa...
15. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemum, kriitilised punktid, statsionaarsed punktid (definitsioonid). Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarvilik tingimus. Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi olemasoluks. Öeldakse, et funktsioonil z=f(x,y) on punktis M0(x0,y0) maksimum, kui f(x0,y0)>f(x,y) kõigi punktile (x0;y0) küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x;y) puhul. Funktsiooni maksimum ja miinimumi nim. tema ekstreemumiks, st. öeldakse, et funktsioonil on antud punktis ekstreemum, kui tal on selles punktis maksimum või miinimum. Punkte, kus või puudub ja või puudub, nim. kahe muutuja funktsiooni kriitilisteks punktideks. Lokaalse ekstreemumi olemasoluks tarviklik tingimus: Kui kahe muutuja funktsioonil z=f(x,y) on puntis M0 lokaalne ekstreemum, siis punk M0 on selle kahe muutuja funktsiooni kriitiline punkt. Niisuguseid kriitilisi punkte, kus mõlemad osatuletised võrduvad 0-ga, st
väärtust mingil lõigul [a,b] nimetatakse selle funktsiooni Olgu x1 kriitiline punkt, milles y'(x 1)=y''(x1)=..=y(n-1)(x1)=0, y(n)(x1) 0 ; n1 globaalseks ekstreemumiks. Teoreem 1 (ekstreemumi tarvilik tingimus) Funktsioonil Siis on järgmised võimalused: 1) g(a)=g(b) 2) g(x) on pidev lõigul [a,b] 3) g' (x) on diferentseeruv 1)n on paarisarv =>x1 on ekstreemum; vahemikus ( a,b) y=f(x) saavad olla ekstreemumid vaid nendes punktides,
ekstreemum on maksimum või miinimum.Selleks et leida f-i min või max peab y olema pidevalt diferentseeruv.Globaalsed ekstreemumid-Fn-i f(x) globaalseks max/min piirkonnas x nim tema suurimat/vähemat väärtust selles pk x.Seega kui fnil f(x) on lõigus xX=(a,b) suurim väärtus M punktis p ja vähim väärtus m punktis q,siis võime selle kirja panna kujul M=f(p)=maxf(x) m=f(q)=min f(x).1)Tingimus f´(x)=o on tarvilik tingimus lokaalseks ekstreemumiks.2)kõikjal kus f´(x)0ekstreemumit olla ei saa.Esimese tuletise test-Kui f ´(Xo)=0,siis fn-i väärtus f(Xo)on:1)lokaalne maksimum siis kui f´(x) märk muutub +- Xo ümbruses. 2)lokaalne miinimum kui märk muutub -+ Punktide Xx,kus f´(xo)=0 nim fn-i f(x) statsionaarseks punktiks.Fn-i statsionaarseid punkte ja neid punkte,kus tuletis on lõpmatu( f´(xo)=+-) või ei eksisteeri(f´(xo)) nim fn-i f(x) kriitilisteks punktideks
Kui tuletise märk punkti P läbimisel vektori s suunas: s ? 1)muutub + - iga s korral P on maksimum ? 2)muutub - + iga s korral P on miinimum ? 3)vähemalt ühe s korral ei muutu või erinevate suundade korral muutub märk erinevalt P ei ole ekstreemum 16. Mitme muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. Tingliku ekstreemumi tarvilikud tingimused. Def. 16.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) tinglikuks ekstreemumiks nimetatakse ekstreemumit, millel see omandab väärtuste hulgal, millele vastavad argumendid rahuldavad lisatingimust ( x, y ) = 0 (16.1) n-muutuja funksiooni korral u = f ( x1 ,..., x n ) võib lisatingimusi olla 1-st kuni ( n - 1) -ni. u = f ( x1 ,..., x n ) (16.2) 1 ( x1 ,..., x n ) = 0 2 ( x1 ,..., x n ) = 0 (16.3) k ( x1 ,..., x n ) = 0 1 k n -1 Leiame kahe muutuja funktsiooni tingliku ekstreemumi tarvilikud tingimused. z = f ( x, y ) ( x, y ) = 0
rahuldavad tingimust f ( x1 ) < f ( x2 ) (vastavalt kahanemisel f ( x1 ) > f ( x2 ) ). Funktsiooni y = f ( x ) kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y > 0 ( y < 0) lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye = f ( xe ) funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav ekstreemumkoht on võrrandi f ( x ) = 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y = f ( x ) tuletis
Funktsiooni y f x kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y 0 y 0 lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye f xe funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav ekstreemumkoht on võrrandi f x 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y f x tuletis
{ (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2 { (19.2) U ( x 2 ) = x x - x 2 < } Miinimume ja maksimume nimetatakse täpsemalt lokaalseteks ekstreemumiteks. Definitsioon 2 Funktsiooni y = f (x) suurimat või vähimat väärtust mingil lõigul [a, b] nimetatakse selle funktsiooni globaalseks ekstreemumiks. Teoreem 1 (ekstreemumi tarvilik tingimus) Funktsioonil y = f (x) saavad olla ekstreemumid vaid nendes punktides, kus f ' ( x) = 0 või ei eksisteeri üldse. Tõestus: Oletame, et punktis x1 tuletis eksisteerib ja f ' ( x1 ) 0 Olgu f ' ( x1 ) > 0, siis f ' ( x) > 0 ka punkti x1 ümbruses. Seega y = f (x) on selles ümbruses. Järelikult x < x1 f ( x) < f ( x1 ) x > x1 f ( x) > f ( x1 ) See tähendab, et (26.1), (26.2) ei ole täidetud ja x1 ei saa olla ekstreemum.
{ (19.1) U ( x1 ) = x x - x1 < } Punktis x 2 on funktsiooni y = f (x) maksimum, kui leidub niisugune punkti x 2 ümbrus U ( x 2 ), et f ( x) < f ( x 2 ), kui x U ( x 2 ), x x 2 { (19.2) U ( x 2 ) = x x - x 2 < } Miinimume ja maksimume nimetatakse täpsemalt lokaalseteks ekstreemumiteks. Definitsioon 2 Funktsiooni y = f (x) suurimat või vähimat väärtust mingil lõigul [a, b] nimetatakse selle funktsiooni globaalseks ekstreemumiks. Teoreem 1 (ekstreemumi tarvilik tingimus) Funktsioonil y = f (x) saavad olla ekstreemumid vaid nendes punktides, kus f ' ( x) = 0 või ei eksisteeri üldse. Tõestus: Oletame, et punktis x1 tuletis eksisteerib ja f ' ( x1 ) 0 Olgu f ' ( x1 ) > 0, siis f ' ( x) > 0 ka punkti x1 ümbruses. Seega y = f (x) on selles ümbruses. Järelikult x < x1 f ( x) < f ( x1 ) x > x1 f ( x) > f ( x1 ) See tähendab, et (26.1), (26.2) ei ole täidetud ja x1 ei saa olla ekstreemum.
FUNKTSIOONI UURIMINE Märkus 6.6 Peale lokaalsete ekstreemumite eristame veel globaalseid ekstreemu- me (funktsiooni suurim või väikseim väärtus vaadeldavas piirkonnas). Viimaste leidmiseks tuleb leida kõik lokaalsed ekstreemumid, kusjuu- res eraldi tuleb arvutada funktsiooni väärtused piirkonna otspunktides (kui tegemist on lõiguga) ning katkevuspunktides. Saadud suurim või väikseim väärtus ongi funktsiooni globaalseks ekstreemumiks. Kui ei ole eraldi rõhutatud, siis mõistame ekstreemumite all kõiki lokaal- seid ja globaalseid ekstreemume. Lause 6.1 Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv punktis x0 . Siis funktsioonil f on argumendi väärtusel x0 maksimum, kui f (x0 ) = 0 ja f (x0 ) < 0 ja funktsioonil f on argumendi väärtusel x0 miinimum, kui f (x0 ) = 0 ja f (x0 ) > 0. 6.5 Funktsiooni kumerus ja nõgusus
f (x) 6 f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum (local, relative maximum, локальный максимум). Kui f (x) > f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis kõneldakse lokaalsest miinimumist. Kui funktsioonil on vaadeldavas punktis kas lokaalne maksimum või lokaalne miinimum, siis öeldakse, et tal on lokaalne ekstreemum. Lause 4.9 (Fermat’ teoreem, tarvilik tingimus lokaalseks ekstreemumiks). Olgu funktsioon f : D → R intervalli D sisepunktis a diferentseeruv ning olgu tal selles punktis lokaalne ekstreemum. Siis f ′ (a) = 0. Tõestus. Konkreetsuse mõttes olgu funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. Olgu δ > 0 selline arv, et f (x) 6 f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral. Siis f (x) − f (a) > 0 kõikide x ∈ (a − δ, a) korral x−a
f (x, y) statsionaarseteks punktideks. Olgu P0 kahe muutuja funktsiooni z = f (x, y) statsionaarne punkt. Ar- vutame teist j¨arku osatuletiste v¨a¨artused punktis P0 ja t¨ahistame 2z 2z 2z A= , B= ja C = . x2 P0 xy P0 y 2 P0 Teoreem 2. (Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni lokaalseks ekstreemumiks) Kui AC - B 2 > 0 ja A < 0, siis on kahe muutuja funktsioonil statsio- naarses punktis P0 lokaalne maksimum. 29 Kui AC - B 2 > 0 ja A > 0, siis on kahe muutuja funktsioonil statsio- naarses punktis P0 lokaalne miinimum. Kui AC - B 2 < 0, siis kahe muutuja funktsioonil statsionaarses punktis P0 lokaalset ekstreemumi ei ole. M¨ arkus Kui AC - B 2 = 0, siis kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi kindlakstegemisel on vaja t¨aiendavaid vahendeid
annaabi.ee 
