logab + logad = logabd II Jagatise logaritmimise reegel Jagatise logaritm on võrdne lugeja ja nimetaja logaritmide vahega. Järeldus: Logaritmide vahe on võrdne jagatise logaritmiga. III Astme logaritmimise reegel Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega. logabn = nlogab Järeldus: Logaritmi ees oleva kordaja võib viia logaritmitava astendajaks (NB! Juhul kui logaritm ise pole mingis astmes). nlogab = logabn Logaritmvõrrandid Logaritmvõrrand on võrrand, kus otsitav asub logaritmitavad või logaritmialuses. Logaritmvõrrandi lahenduse osa on kontroll. Logaritmvõrrandite lahendusvõtted I Potentseerimine logab = logac b=c II Asendusvõte (e. ruutvõrrandile taandamine) Kasutan abitundmatut
=0,045bar= 0,045x = 4500 p= 4500+3,5x500x9,81 = 21667,5 p= = 0,22bar Vastus: Vedeliku poolt avaldatav hüdrostaatiline rõhk mahuti põhjale on 0,22bar Ülesanne 11. (variant 3) V1 = 1,8 m3 normaalrõhul olevat õhk, mille temperatuur on t1 = 18°C, surutakse kokku mahuni V2 =0,6m3 . Lugedes protsessi polütroopseks, arvutada, millised on gaasi rõhk p2 [bar] , temperatuur t2 [°C] ja tihedus 2 [kg/m3] peale kokkusurumist. Gaasi konstant R = 287 J/kg Valemid: Polütroobi astendajaks k võtame kaheaatomilise gaasi puhul 1,4. n = k = 1,4 Gaasi rõhk peale surumist = n Gaasi temperatuur peale surumist = n-1 Gaasi tihedus peale kokkusurumist = pV=mRT siit, m= = Arvutuskäik: = 1,01325x = 4,65bar = 291x = 451,7= 178,6 °C = = 3,58 Vastus: Peale kokkusurumist mahult V1 = 1,4 m3 mahuni V2 = 0,6 m3 on hapniku rõhk p2 = 4,65bar , temperatuur t2 = 178,6°Cja tihedus 2 = 3,58 Ülesanne 5. (variant 3)
Arvutan rõhukadu meetrites ja barides vedeliku tihedus, kg/m3. Vastus: Rõhukadu on 18,29 meetrit ehk 1,34 bari, kui lugeda toru absoluutselt siledaks. Ülesanne 11. (variant 12) V1 = 2,0 m3 normaalrõhul olevat O2, mille temperatuur on t1 = 18°C, surutakse kokku mahuni V2 =0,8m3 . Lugedes protsessi polütroopseks, arvutada, millised on gaasi rõhk p2 [bar] , temperatuur t2 [°C] ja tihedus 2 [kg/m3] peale kokkusurumist. Gaasi konstant R = 296,8 J/kg Valemid: Polütroobi astendajaks k võtame kaheaatomilise gaasi puhul 1,4. n = k = 1,4 Gaasi rõhk peale surumist =n Gaasi temperatuur peale surumist =n-1 Gaasi tihedus peale kokkusurumist = pV=mRT siit, m= = Arvutuskäik: = 1,01325x= 3,65bar = 291x= 419= 146 °C == 2,93 Vastus: Peale kokkusurumist mahult V1 = 2,0 m3 mahuni V2 = 0,8 m3 on O2 rõhk p2 = 3,65bar , temperatuur t2 = 146°C ja tihedus 2 = 2,93
Arvutan rõhukadu meetrites ja barides vedeliku tihedus, kg/m3. Vastus: Rõhukadu on 35,91 meetrit ehk 2,64 bari, kui lugeda toru absoluutselt siledaks. Ülesanne 11. (variant 14) V1 = 2,3 m3 normaalrõhul olevat õhk, mille temperatuur on t1 = 17°C, surutakse kokku mahuni V2 =1,2m3 . Lugedes protsessi polütroopseks, arvutada, millised on gaasi rõhk p2 [bar] , temperatuur t2 [°C] ja tihedus 2 [kg/m3] peale kokkusurumist. Gaasi konstant R = 296,8 J/kg Valemid: Polütroobi astendajaks k võtame kaheaatomilise gaasi puhul 1,4. n = k = 1,4 Gaasi rõhk peale surumist =n Gaasi temperatuur peale surumist =n-1 Gaasi tihedus peale kokkusurumist = pV=mRT siit, m= = Arvutuskäik: = 1,01325x= 6,23bar = 290x= 371= 98 °C == 5,66 Vastus: Peale kokkusurumist mahult V1 = 2,3 m3 mahuni V2 = 1,2 m3 on hapniku rõhk p2 = 6,26bar , temperatuur t2 = 98°C ja tihedus 2 = 5,66
4 4 4 4 64 (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625 1 kilobait = 2 baiti 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 baiti 1024 baiti; 10 Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks (e. astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks). Kui astendaja on 1 või 0, siis defineeritakse arvu aste nii: a1 a a 0 1, kui a 0 Näited 1 1 1 01 0 1 0 1 0,0030 1 ( ) 0 1 Negatiivne astendaja.
x2 + 4 = 5x, ehk x2 – 5x + 4 = 0, millest x1 = 1 ja x2 = 4. Nüüd leiame otsitavad t väärtused. Kui , siis t = t – 1, ehk 0 = –1. Sellel võrrandil pole lahendeid, Kui , siis t = 4/3. JUURVÕRRAND Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb juuremärgi all. Lahendamisel tuleb kõigepealt lahti saada juuremärgist. Selleks tõstetakse võrrandi mõlemad pooled sobivasse astmesse (kui juurijad on erinevad, siis sobib selleks astendajaks kõikide juurijate vähim ühiskordne). Kui valitud astendajaks on paarisarv, siis võime saada mittesamaväärse võrrandi. St saadud lahendeid tuleb kontrollida, sest paarisarvulise astendajaga astendamisel võivad tekkida võõrlahendid. Üks võimalus seda teha, on vaadata, kas lahendi asendamisel algvõrrandisse tekib samasus, teine võimalus on leida võrrandi määramispiirkond ja siis uurida, kas saadud lahendid sinna kuuluvad. Näide 27 Lahenda võrrand. 2x 4 x
positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne. Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna: (4) 2 (4) (4) 16; aga: 42 4 4 16. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks (e. astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks). Kui astendaja on 1 või 0, siis defineeritakse arvu aste nii: a1 a a 0 1, kui a 0 Näited 11 1 01 0 10 1 0,0030 1 ( ) 0 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivne astendaja.
minimaalselt q = 69,2 l/min ning hüdrosilindrit mille läbimõõt oleks D = 50mm kusjuures kolvivarre läbimõõt oleks d = 28mm. Ülesanne 11. Variant 4 V1 = 1,4 m3 normaalrõhul olevat õhk, mille temperatuur on t1 = 18°C, surutakse kokku mahuni V2 = 0,6 m3 . Lugedes protsessi polütroopseks, arvutada, millised on gaasi rõhk p2 [bar] , temperatuur t2 [°C] ja tihedus 2 [kg/m3] peale kokkusurumist. Gaasi konstant R = 287 J/kg Valemid: Polütroobi astendajaks k võtame kaheaatomilise gaasi puhul 1,4. n = k = 1,4 Gaasi rõhk peale surumist n V p 2 = p1 1 V2 Gaasi temperatuur peale surumist n -1 V T2 = T1 1 V2 Gaasi tihedus peale kokkusurumist m 2 = V pV pV = mRT , siit m = RT pV m RT pV p 2 = = = = V V VRT RT
2ndjärkude abil (KPA-ga võrreldes), siis milles me samal ajal "kaotame" ? 25. Mitu 2ndjärku pikk (m + p kokku) on UPA standardne formaat, mida toetab ja töötleb kaasaegne arvutiprotsessor ? 26. Milliseid arve hoitakse arvutites kinnispunktarvuna ? UJUPUNKTARVUDE ARITMEETIKA: LIITMINE ja KORRUTAMINE - emulatsioon kinnispunktarvude aritmeetika kaudu 1. Milline astendaja valitakse UPA-de summa astendajaks ? 2. Milline probleem ilmneb kui summa astendaja valitakse "vale" ? 3. Kuidas leitakse UPA-de summa mantiss ? 4. Kuidas leitakse UPA-de korrutise mantiss ? 5. Kuidas leitakse UPA-de korrutise astendaja ? 6. Miks tohib UPA-de mantisside korrutamisel jätta tegurite madalamad 2ndjärgud ära juba enne korrutamist ?
Saame: . See kujutab lõigukest adiabaatilist protsessi pV-diagrammil kujutavast kõverast. Kogu kõvera saame, eraldades muutujad ning integreerides: Kui asendada siia olekuvõrrandist T=(pV)/R, saame , mis ongi adiabaadi võrrand, e. Poissoni võrrand. Astendajat (moolsoojuste suhe) nimetatakse adiabaadi astendajaks ja teda on lihtne leida vabadusastmete arvu i järgi: . · Ideaalse soojusmasina kasutegur (tuletusega, Carnot' protsessi abil). Oma valemi tuletamisel lähtus Carnot' asjaolust, et suvalist kinnist tsüklit pV- diagrammil saab esitada lõpmata väikeste, suvaliselt ülesehitatud tsüklite summana täpselt samuti, nagu tehakse matemaatikas pindintegraalide arvutamisel. Seega on otstarbekas valida elementaartsükliks võimalikult lihtsasti
Märgi ^ saab klahvi-
kombinatsiooniga AltGr+ä,
nähtavale ilmub pärast järgmist
klahvivajutust
Juurimine teisendada a^0,5= a
murruliseks a^(1/3)= 3 a
astendajaks
Excelis on oluline jargmine:
! Valemid algavad vordusmargiga (=);
! valemites kasutatakse konstante, lahtrite aadresse, avaldisi, tehtemarke,
sulgusid ja Exceli funktsioone;
! valemite sisestamise lopetab kas klahv
(V on astmel k) const, U = A+Q See ülal toodud konkreetne võrrand on Q = U+A' tuletatud ideaalse gaasi olekuvõrrandist. See ongi adiabaadi võrrand, mida nimetatakse ka 3. Töö isotermilises protsessis: kui gaas saab Poissoni võrrandiks. soojust, siis ta teeb positiivset tööd. Kui gaas Astendajat (moolsoojuste suhe) annab soojust keskkonnale, siis ta teeb nimetatakse adiabaadi astendajaks ja teda on negatiivset tööd. lihtne leida vabadusastmete arvu järgi: et const, siis ja T = 0 C p = aine soojusmahtuvus konstantsel rõhul 0 = Q+A C V = aine soojusmahtuvus konstantsel ruumalal Q = A' p = rõhk 4.Töö adiabaatilises protsessis: Väga
i =1 Näide 3. Kirjutada sümboli Σ abil summa 1 1 1 1 1+ + 3 + + 5 + + 7 + . 2 4 6 8 44 Lahendus. Valime summeerimisindeksiks näiteks tähe m. Selle summa liikmete astendajates vahelduvad +1 ja −1 . Seega peame −1 astendajaks kirjutama näiteks m +1 avaldise ( −1) ja summa liikmete üldavaldis on siis m( −1) , kui m+1 m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Saame, et ( ) m +1 8 1 1 1 1
Cp = Cv + R ; Cp Cv = R Mayeri võrrand (46) Seda valemit (46) nimetatakse Mayeri võrrandiks; ta annab seose kilomoolile arvestatud erisoojuste vahel ja näitab, et Erisoojus (kilomoolile) jääval rõhul on suurem erisoojusest (kilomoolile) jääval ruumala universaalse gaasikonstandi võrra. Praktikas ei kasutata mitte ainult Mayeri võrrandit, vaid ka erisoojuste suhet Cp / Cv = K, mida nimetatakse adiabaadi astendajaks. Kuna erisoojused Cp ja Cv on sõltuvad temperatuurist, siis järelikult on ka K temperatuuri funktsioon. Gaaside molekulaar-kineetilise teooria põhjal ja ka katseliselt on võimalik täpselt määrata erinevate gaaside erisoojuste suhet: üheaatomilistel gaasidel (He, Ar, Ne) K = 1,67 ; kaheaatomilistel (H2, O2, N2 jt.) K = 1,4 ; kolmeaatomilistel gaasidel (veeaur jt.) K = 1,33. 4.4. Tõeline ja keskmine erisoojus.
z N¨aide 3. Leiame funktsiooni w = xy osatuletised k~oigi muutujate j¨argi. Osatuletise leidmisel muutja x j¨argi on meil tegemist astmefunktsiooniga konstantse astendajaga y z , seega w z = y z xy -1 . x Osatuletise leidmisel muutuja y j¨argi on tegemist eksponentfunktsiooniga, mille alus on x ja astendajaks astmefunktsioon y z , seega w z = xy ln x · zy z-1 . y Osatuletise leidmisel muutja z j¨argi on antud funktsioon eksponentfunkt- sioon alusega x. Astendaja y z on samuti eksponentfunktsioon alusega y. See- ga w z = xy ln x · y z ln y. z 6.6 T¨ aismuut ja t¨
annaabi.ee 
