Funktsioone, mille kahanemisvahemik Funktsioone, mille kasvamisvahemik ühtib ühtib määramispiirkonnaga, nimetatakse määramispiirkonnaga, nimetatakse kasvavateks kahanevateks funktsioonideks. funktsioonideks. Paarisfunktsiooni graafik on sümeetriline y- telje suhtes. Astmefunktsioonid : Paaritu funktsiooni graafik on sümeetriline y=X^-2 ehk Y=1/X^2 kordinaatide alguspunkti suhtes. y=X^-3 ehk Y=1/X^3 ...
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist · Võrrandisüsteemi lahendiks on kahe sirge lõikepunkti koordinaadid
(1;a). Pöördvõrdelise seose valemiks on y = a/x, kus x 0 ja tunnuseks a = xy. Graafikuks on hüperbool. Lineaarfunktsiooni valemiks on y = ax + b ning graafikuks sirgjoon, mis läbib punkte (0;b) ning (1;a+b). Funktsiooni määramispiirkond (X) on sõltumatu muutuja e. argumendi x väärtuste e. funktsiooni väärtuste hulk. Funktsiooni muutumispiirkond (Y) on sõltuva muutuja y väärtuste hulk. Funktsiooni esitusviisideks on valem e. analüütiline esitus, graafik, tabel, arvupaarid ning nooldiagramm. Argumendi väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on 0 nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks (X0). Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata punktid, kus f(x) = 0. Funktsiooni positiivsuspiirkonna (X+) moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata punktid x, kus f(x) > 0
Kui korrutame teise võrrandi mõlemad pooled 2-ga ja seejärel lahutame esimesest võrrandist teise, siis saame tulemuseks ilmselt tõese võrduse 0 = 0. Seega on võrrandisüsteemil lõpmata palju lahendeid. Kuid see ei tähenda sugugi seda, et mistahes arvupaar (x; y) oleks võrrandisüsteemi lahendiks. Lahendeid saab leida näiteks sel viisil, et anname x suvalise väärtuse ja seejärel arvutame y väärtuse. Nii saame näiteks lahenditeks arvupaarid (0; 2), (1; 1), (2; 0), (3; -1) jne. Vaatame nüüd ühte näidet asendusvõtte kasutamise kohta. Näide 5. Lahendame võrrandisüsteemi Avaldame näiteks esimesest võrrandist x ja asendame saadud tulemuse teise võrrandisse: (1) ning peale asendamist saame y suhtes võrrandi ehk pärast mõlema poole 2-ga korrutamist 3(5 - 3y) + 4y = 10, millest saame, et 15 - 9y + 4y = 10 ehk -5y = -5, kust y = 1. Leiame nüüd x
80 f(x) = - 0.1270642202x + 102.6665137615 y=ax+b R² = 0.0386443758 75 70 65 160 165 170 175 180 185 190 195 200 Kaal (y) y=ax+b Analüüsides testi tulemuste stabiilsust, võrreldi Leida järjekorranumbrit 20 õpilase kahe erineva testi tulemusi ning hälbimissuundade koos saadi järgmised arvupaarid: Kas need testid on oma di 1. testi jrk 2. testi jrk (di)2 Õpilane 1. test 2. test nr nr d=x-y Õpilane1 58 95 10 1 9 81
2 186 76 79.0 172 72 80.8 199 73 77.4 183 77 79.4 175 78 80.4 192 75 78.3 189 86 78.7 176 70 80.3 187 80 78.9 169 87 81.2 Analüüsides testi tulemuste stabiilsust, võrreldi Leida järjekorranumbrite (Spearmani) korrelatsioonikordaja ρ ja 20 õpilase kahe erineva testi tulemusi ning hälbimissuundade kooskõla (Fechneri) korrelatsioonikordaja K. ei (Ei/Jah) saadi järgmised arvupaarid: Kas need testid on omavahel seotud? x y Samasuu- Vastas- 1. testi jrk 2. testi jrk di (di)2 Õpilane 1. test 2. test võrreldes võrreldes naline suunaline <0,3
teineteist järgmises mõttes:fikseerime mingi x ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena same esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] same y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)]=x ja f[g(y)]=y. Funktsiooni y=f(x) ja tema pöördfunktsioon x=g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellepärast, et funktsioonid y=f(x) ja x=g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x,y), seega ka ühed ja samad punktid P(x,y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb anult selles, et f seab x-le vastavusse y-I, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Def. Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y= graafikut maksimaalselt ühes punktis. Seega on eksponentfunktsioon üksühene nint tal on olemas pöördfunktsioon. Eksponentfunktsioon y= pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x= , kus a on logaritmi alus, a>0 ja a1
teineteist järgmises mõttes:fikseerime mingi x ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena same esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] same y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)]=x ja f[g(y)]=y. Funktsiooni y=f(x) ja tema pöördfunktsioon x=g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellepärast, et funktsioonid y=f(x) ja x=g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x,y), seega ka ühed ja samad punktid P(x,y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb anult selles, et f seab x-le vastavusse y-I, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Def. Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y= graafikut maksimaalselt ühes punktis. Seega on eksponentfunktsioon üksühene nint tal on olemas pöördfunktsioon. Eksponentfunktsioon y= pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x= , kus a on logaritmi alus, a>0 ja a1
arvust a väiksem kui , st |x-a|< ja x ei asetse a-st vasakul xa teljestikus. Funktsiooni y=f(x) ja x=g(y) määravad ühed ja samad x=arccoshy areakoosinus, piirprotsessis x+ , kus xa läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt -Suuruse lõpmatuks ümbruseks nim suvalist vahemikku arvupaarid (x,y), seega ühed ja samad punktid P(x,y) tasandil. x=artanhy areatangens, P=(x,f(x)) punktile A=(a,b). Kui bb, siis funktsiooni piirväärtus (M;), kus M>0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M;), Erinevus seisneb selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y- x=arcothy areakotangens puudub punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises
21) Relatsioonide esitusviisid: a. Loend: definitsiooni järgi on relatsioon paaride hulk. Kui see hulk on lõplik, siis saab teda esitada elementide (so paarida) loendina. Nt, vaatleme neljaelemendilisel hulgal X = {1, 2, 3, 4} määratud relatsiooni R, mis kehtib kahe arvu x ja y vahel parajasti siis, kui nende arvude sõnalises kujus ei leidu ühist tähte (,,sõltumatud arvud"). Lihtne on üle kontrollida kõik arvupaarid ja tulemuseks saame R = {(1, 4), (2, 4), (4, 1), (4, 2)} b. Boole'i maatriks: olgu R relatsioon hulkade X = {x1, x2, ..., xm} ja Y = {y1, y2, ..., yn} vahel. Seame relatsioonile R vastavusse m×n-maatriksi, kus maatriski element . Nt, jaguvusrelatsioon. c. Graaf: Relatsioone lõpliku hulga X elementide vahel saab kujutada suunatud graafi abil. Kujutame hulga X elemente graafi tippudena ja joonistame tipust x
¦ x5 y ¦2 x y 3 ¦ 2 x 3y 4 Seega rahuldavad vaadeldaval juhul süsteemi mõlemat võrrandit ühed ja samad d) § e) § f) § arvupaarid. ¨2 x 2 y 3 ¨ x 2y 4 ¨4 x 6 y 8 480. Leia parameetri väärtused nii, et võrrandisüsteemil oleks üheselt määratud
Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena saame esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] saame y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . Kui g of funktsiooni f pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellepärast, et funktsioonid y = f(x) ja x = g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka ühed ja samad punktid P = (x, y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik: Logaritmfunktsioon: Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = ax graafikut maksimaalselt ühes punktis (vt joonised 1.4, 1.5). Seega on eksponentfunktsioon üksühene ning tal on olemas pöördfunktsioon
Pöördfunktsioon saadakse, kui lahendatakse võrrand y=f(x) argumendi x suhtes. Pöördfunktsiooni argumendiks on y ja muutujaks x. Pöördfunktsioonis vahetavad kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond.Funktsioon y=f(x) ja tema pöördfunktsioon x=g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. Funktsiooni y=f(x) ja x=g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x,y), seega ühed ja samad punktid P(x,y) tasandil. Erinevus seisneb selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Y=f(x) ja g=g(y) graafikud on sümmeetrilised y=x suhtes. c. Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = graafikut maksimaalselt ühes punktis. Eksponentfunktsioon on üksühene ja tal on
graaf, avaldis. Näited probleemidest, kus on sobiv kasutada konkreetset esitusviisi. [2] Loend o Kui relatsioon kehtib väheste elemendipaaride vahel, siis võib teda lihtsalt ette anda paaride loendina. o Vaatleme näiteks neljaelemendilisel hulgal X = {1, 2, 3, 4} määratud relatsiooni R, mis kehtib kahe arvu x ja y vahel parajasti siis, kui nende arvude sõnalises kujus ei leidu ühist tähte („sõltumatud arvud“). Lihtne on üle kontrollida kõik arvupaarid ning tulemuseks saame R = {(1, 4), (2, 4), (4, 1), (4, 2)}. Boole’i maatriks 18 o Relatsiooni hulkade X = {x1, x2, . . . , xm} ja Y = {y1, y2, . . . , yn} vahel saab ette anda ka maatriksiga, mille mõõtmed on m×n, kusjuures reas i ja veerus j asub väärtus 1, kui elemendipaar (xi, yj) kuulub relatsiooni, ning väärtus 0 vastasel korral. Juhul X = Y saame ruutmaatriksi.
. . xnn ) = P (m+1,m+2,...,n) = (-1)I(1 ,2 ,...,m )+I(m+1 ,m+2 ,...,n ) · P (1,2,...,m) P (m+1,m+2,...,n) ·x11 x22 . . . xmm xm+1,m+1 xm+2,m+2 . . . xnn . Paneme t¨ahele, et I(1 , 2 , . . . , m ) + I(m+1 , m+2 , . . . , n ) = = I(1 , 2 , . . . , m ; m+1 , m+2 , . . . , n ), sest permutatsioonis 1 2 . . . m m+1 m+2 . . . n arvupaarid (i , j ), kui i Nm ja j {m + 1, m + 2, . . . , n}, inversioone ei anna. Saame, et Mm An-m = (-1)I(1 ,2 ,...,m ,m+1 ,m+2 ,...,n ) · P (1,2,...,m) P (m+1,m+2,...,n) ·x11 x22 . . . xmm xm+1,m+1 xm+2,m+2 . . . xnn , millest v~ordlemisel valemiga (3.1) n¨aeme, et Mm An-m liidetavad moodus- tavad osa determinandi |X| liidetavatest. Me v~oime kirjutada
..,αm )+I(αm+1 ,αm+2 ,...,αn ) · P (1,2,...,m) P (m+1,m+2,...,n) ·x1α1 x2α2 . . . xmαm xm+1,αm+1 xm+2,αm+2 . . . xnαn . Paneme t¨ahele, et I(α1 , α2 , . . . , αm ) + I(αm+1 , αm+2 , . . . , αn ) = = I(α1 , α2 , . . . , αm ; αm+1 , αm+2 , . . . , αn ), sest permutatsioonis α1 α2 . . . αm αm+1 αm+2 . . . αn arvupaarid (αi , αj ), kui i ∈ Nm ja j ∈ {m + 1, m + 2, . . . , n}, inversioone ei anna. Saame, et Mm An−m = (−1)I(α1 ,α2 ,...,αm ,αm+1 ,αm+2 ,...,αn ) · P (1,2,...,m) P (m+1,m+2,...,n) ·x1α1 x2α2 . . . xmαm xm+1,αm+1 xm+2,αm+2 . . . xnαn , millest v˜ordlemisel valemiga (3.1) n¨aeme, et Mm An−m liidetavad moodus- tavad osa determinandi |X| liidetavatest. Me v˜oime kirjutada
vaheline kaugus, mida mõõdab arvu absoluutväärtus. Osa 3 räägib arvude sõpradest ja sugulastest. Ühe arvu asemel uurime nüüd mate- maatilisi objekte, mis koosnevad paljudest kokkupandud arvudest. Alustame jada- dest, kuhu oleme lihtsalt arve ritta ladunud. Edasi räägime vektoritest, mis on ühelt poolt lihtsalt arvupaarid, arvukolmikud ja nii edasi ning teiselt poolt geomeetrilised objektid – ilusad nooled. Viimaks jõuame ühe pika lisapeatükini, kus räägime arvu- tabelitest ehk maatriksitest ning sellest, kuidas nende abil võrrandeid lahendada. Edasi räägimegi võrranditest. Osas 4 selgitame, kuidas võrrandite abil elulisi küsi- musi arvudesse panna, kuidas seejärel mõne matemaatilise trikiga need võrrandid
Samuti arvutades antud y kaudu f [g(y)] saame y v¨a¨artuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f (x)] = x , f [g(y)] = y . (1.2) Kui g of funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooni, siis f on g p¨o¨ordfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) ja tema p¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellep¨arast, et funktsioonid y = f (x) ja x = g(y) m¨a¨aravad u¨ hed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka u ¨hed ja samad punktid P = (x, y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i. yy
Samuti arvutades antud y kaudu f [g(y)] saame y v¨a¨artuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f (x)] = x , f [g(y)] = y . (1.2) Kui g of funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooni, siis f on g p¨o¨ordfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) ja tema p¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellep¨arast, et funktsioonid y = f (x) ja x = g(y) m¨a¨aravad u¨hed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka u ¨hed ja samad punktid P = (x, y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i. yy
annaabi.ee 
