1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis
......................... 14 15. Fourier' teisenduse omadusi. Üks neist tõestada............................................................ 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis
......................... 14 15. Fourier' teisenduse omadusi. Üks neist tõestada............................................................ 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis
64; 1; 64; 40; 66; 66; 57; 13; 30; 49; 0; 68; 22; 73; 98; 20; 71; 45; 32; 95; 7; 70; 61; 22; 30; 84; 20; 89; 29; 32; 62; 55; 78; 55; 76; 11; 68; 71; 44; 98; 83; 52; 99; 54; 40; 32; 52; 48; 96; 62; 46; 31; 88; 73; 4; 61; 68; 75; 53; 31 Osa A. Hinnangud, usaldusvahemikud, statistilised hupoteesid ja jaotused. Korrastada algandmed arvreaks suuruse jargi ning hinnata eksed tabel 1 xi ni ni*xi ni*xi2 ni(xi-x)2 0 1 0 0 2816,0711 1 1 1 1 1 2710,93778 4 1 4 16 2407,53778 7 1 7 49 2122,13778
Esimest liiki pindintegraali saab arvutada valemiga ❑ ∬ f (x , y , g ( x , y ) )√ z 2x + z 2y + 1dA D 26.Arvread(definitsioonid, lisatakse definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused) DEF: Arvjadast u1, u2, u3,....un moodustatud avaldist ∞ u1 +u2 +u3 +… un +…=∑ un nimetatakse arvreaks n=1 Rea liikmed: nimetatakse arvreast arve u1, u2, u3,....un un Rea üldliige: Rea osasumma: Rea n esimese liikme summa lim Sn ≠ S Rea hajumine: Kui piirväärtus n →∞ lim Sn=S
süsteem kui vektorruumi V iga vektor avaldub süsteemi M kuuluvate vektorite lineaarkombinatsioonina Vektorruumi baas Vektorruumi V baasiks {e1, ..., en} nimetatakse vektorruumi V lineaarselt sõltumatut moodustajate süsteemi Vektori koordinaadid Vektori a koordinaatideks baasil {e1, ..., en} nimetatakse kordajaid x1, x2, ..., xn baasi suhtes avaldises a=x1e1+x2e2+...+xnen Arvrida Arvreaks nimetatakse lõpmatut summat, mis avaldub kujul u ( n ) =u ( 0 ) +u ( 1 )+ ...+u ( m )+ ... n=0 Arvrea summa Arvrea summaks nimetatakse piirväärtust (kui see eksisteerib) S= n lim u ( k ) n k=0 Arvrea koondumise
i= 1 2. Kui L on materiaalne joon pideva joontihedusega (P), siis selle joone mass avaldub esimest liiki joonintegraaliga: m = (P)dL L 31. Arvrea mõiste. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Olgu antud reaalarvude jada a1, a2, a3,........ Avaldist S ai = a1+ a2+ a3+... nim. arvreaks i =1 Lim a i = 0. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida ai koondub, siis i =1 i 32
Teist liiki joonintegraali definitsioonist järeldub vahetult kaks omadust: 1. Kui muuta teist liiki joonintegraalis joone läbimise suunda, siis märk integraali ees muutub vastupidiseks, s.t. 2. Kui C on suvaline joonel AB asuv punkt, siis 10. Rida. Rea summa: vastavate mõistete definitsioonid; rida koondumine ja hajumine; teoreemid 33.1 33.3 tõestustega; rea koonduvuse tarvilik tingimus tõestusega. Avaldist u1+u2+...+un+...= nim. arvreaks (33.1.). Arve u1+u2+...+un+... nim. seejuures realiikmeteks. Rea esimese n liikme summat nim. rea n-ndaks osasummaks: sn= u1+u2+...+un. Kui eksisteerib piirväärtus , siis seda nim. rea (33.1.) summaks ja öeldakse, et rida koondub. Kui piirväärtus ei eksisteeri (näiteks sn, kui n), siis öeldakse, et rida (33.1.) hajub ja tal puudub summa. Teoreem 33.1. Lõpliku arvu rea (33.1.) liikmete ärajätmine ei mõjuta rea koonduvust. Teoreemi 33.1. tõestus: (1) u1+u2+u3+...
F ( x, y )dx = F ( x, f a 2 ( x ))dx 24. Arvrea mõiste. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Arvreaks nimetatakse avaldist Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega a=t0, t1, t2, ..., tn=b, kusjuures ti=ti-ti-1, xi=(ti) ja yi=(ti) Punktid Mi((ti),(ti))L b a = a1 + a2 + a3 + ..
Fourier’ teisenduse omadusi: • F f(t + Abeli teoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega. ∑∞𝒌=𝟏 𝒂𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +. . . +𝒂𝒌 +. .. , kus 𝒂𝒌 (𝒌 ∈ 𝑵) on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese 𝒏liikme summat 𝑺𝒏 Kui astmerida ∑∞ 𝑘 t0) = e i ωt0 fb(ω) • F f(αt) = 1 /α fb( ω/ α ) , α > 0, • F f (r) (t) = (iω)r fb(ω)
k , i+ 100 28. On antud , , . Teostada arvuti abil lineaarne interpolatsioon ja kuupsplaininterpolatsioon! vt osa 7 punkt 1.15.1 lk 53 OSA 4 1. Mis on jada, arvrida? Esitage 2 näidet! Argumendi n väärtuste kasvamise järgi järjestatud funktsiooni f(n) väärtusi f(1), f(2), f(3),....,f(n),... nimetatakse jadaks. Jada elementidest koostatud avaldist f(1)+f(2)+f(3)+....+f(n)+... nimetatakse arvreaks. Näited: n- 1 n- 1 1. Olgu n:=1,2..20. Naturaalarvulise argumendiga n funktsiooni ( -1) väärtused yn:= ( -1) moodustavad lõpliku jada. yT = ( 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ) 2. Mis on jada elemendid ja arvrea liikmed? Esitage 2 näidet! Arve f(n) nimetatakse jada elementideks ja arvrea liikmeteks. 3. Mis on lõplik arvrida, jada? Esitage 2 näidet!
n n 2 + 5 n 2 5 n (1 + 2 ) n 2. Arvread 2.1. Arvrea koonduvus ja hajuvus. Olgu antud arvjada (un). Avaldist u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks). Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all. Definitsioon 14. Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat n S n = u1 + u 2 + ... + u n = u k . k =1 Definitsioon 15. Arvrida (1) nimetatakse koonduvaks, kui tema osasummade jada
Kokkuvõttes saab iga ε > 0 korral valida indeksi N nii, et |x n − b| < ε kõikide n ≥ N puhul, s.t. Analoogiliselt selgub, et tõkestatud kahanev jada (x n) koondub arvuks inf {xn | n ∈ IN} . 34. Koonduvad ja hajuvad arvread. Tarvilik tingimus rea koonduvuseks (*) Defineerida arvrea mõiste ja arvrea koonduvus ning hajuvus: Olgu (uk) mingi arvjada. Avaldist u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . , mida me edaspidi tavaliselt märgime kujul nimetame arvreaks (ehk lühidalt reaks) Kui piirväärtus s on lõplik, siis ütleme, et rida on koonduv (summaks s). Mittekoonduvat rida nimetatakse hajuvaks. Selgitada, miks rea suvalise arvu esimeste liikmete ärajätmine ei mõjuta rea koonduvust või hajuvust (s.t. tõestada lause 9.2). Rida koondub parajasti siis, kui koondub rida suvalise p ∈ IN korral. Tarvilik tingimus rea koonduvuseks. Ridade puhul on põhiküsimus selles, kuidas antud rea korral teha kindlaks, kas ta koondub või hajub
n→∞ ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 141 6.2 Arvread, nende koonduvus 6.2.1 Arvrea mõiste, tema koonduvus ja hajuvus Definitsioon. Olgu (uk ) mingi arvjada. Avaldist u1 + u2 + . . . + un + . . . nimetame arvreaks (enamasti lühidalt reaks) (series, ряд ), arve uk selle rea liikmeteks (term). ∞ Tavaliselt tähistame rida u1 + u2 + . . . + un + . . . sümboliga uk . P k=1 ∞
Reaks nimetatakse l~opmatut summat u1 + u2 + . . . + uk + . . . = uk (8.1) k=1 Liidetavaid selles summas nimetatakse rea liikmeteks ja liiget uk rea u ¨ ¨ldliikmeks. Uldliikmest saame indeksile k v¨a¨artusi andes konkreetsed liik- med. Kui rea liikmed on reaalarvud, nimetatakse rida arvreaks. Kui aga liikmed on muutuja x funktsioonid, st uk = uk (x), k = 1, 2, . . ., nimetatakse rida funktsionaalreaks. Esmalt vaatleme arvridu. Tuntumad arvread on geomeetriline rida a1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q k + . . . = a1 q k (8.2) k=0 ja harmooniline rida
annaabi.ee 
