xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st = max xk . 1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0 ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel- lest, kuidas on valitud punktid k osal~oikudel, siis seda piirv¨a¨artust nimeta- takse funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraaliks rajades a-st b-ni ja t¨ahistatakse b f (x)dx. a Seda loetakse: integraal rajades a-st b-ni f kohal x de x. Seejuures integereerimisl~oigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks ja l~oigu l~opp-punkti b u ¨lemiseks rajaks.
Y = f (X). Funktsiooni defineerimisel k~ oneldakse hulga X elemendile hulga Y elemendi vas- tavusse seadmisest, kuid ei fikseerita vastavusse seadmise viisi, mille abil vastavus re- aliseeritakse. Enam levinud funktsiooni esitusviisid on: 1) anal¨uu ¨tiline esitus valemi abil, mis n¨aitab, milliseid tehteid millises j¨arjekorras tuleb teostada argumendi v¨ a¨ artusega, et saada vastavat funktsiooni v¨a¨artust; 2) geomeetriline esitus graafiku abil; 3) numbriline esitus tabeli abil; 4) esitus arvutiprogrammi abil. Definitsioon 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud v¨ahemalt u ¨ks hulga Y element ja v¨ ahemalt u ¨hele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud mitmene funktsioon f. N¨aiteks kahese funktsiooni f korral leidub v¨ahemalt u ¨ks argumendi v¨a¨artus x funkt-
ja nende u ¨hendid. Piirkondi hakkame t¨ahistama suurte t¨ahtedega X, Y, Z, ... . Konstant on suurus, mis antud kontekstis omab ainult u ¨hte kindlat v¨aa¨rtust. Konstante t¨ahistatakse matemaatilises anal¨ uu ¨sis t¨ahestiku algust¨ahtedega a, b, c, ... . Muutuvaks suuruseks nimetatakse suurust, mis v~oib omandada mistahes v¨a¨artust mingisugusest piirkonnast. Muutuvid suurusi t¨ahistatakse t¨ahestiku l~oput¨ahtedega x, y, z, ... . T¨aisarvuliste muutujate t¨ahistamiseks kasutatak- se t¨ahti i, j, k, l, m ja n. Funktsioone t¨ahistatakse t¨ahtedega f, g, h ja nende kreeka vastetega (fii), (psii) (hii). Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuses on muutuvateks suurusteks reeglina (kui ei ole tehtud t¨aiendavat eeldust) reaalarvulised muutujad. Kirjaviisi x X loetakse: suurus x kuulub piirkonda X. ¨
x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu: { a kui a 0 |a| = -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja l~ opmatuste u ¨ mbrused. Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub
x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu: a kui a0 |a| = -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja l~ opmatuste u ¨ mbrused. Reaalarvu a u ¨mbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on u ¨mbruse raadius. Arv x kuulub
¨ I 17 / 25 Funktsioon Enam levinud funktsiooni esitusviisid on: 1) analu¨ utiline ¨ ¨ esitus valemi abil, mis naitab, milliseid tehteid millises ¨ jarjekorras tuleb teostada argumendi va¨ artusega, ¨ et saada vastavat funktsiooni va¨ artust; ¨ 2) geomeetriline esitus graafiku abil; 3) numbriline esitus tabeli abil; 4) esitus arvutiprogrammi abil. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 18 / 25 Funktsioon Definitsioon (Mitmene funktsioon) ¨
2 O· / y f (x, y) = C x 8) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) nimetatakse muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) piirv¨a¨ artuseks kui iga etteantud kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse P v¨a¨artust, millest alates k~oik j¨argnevad muutuva suu- ruse v¨a¨artused kuuluvad punkti A u ¨mbrusesse U (A, ). 9) Olgu punkt A suuruse P piirväärtus. Millele läheneb P ja A vaheline kaugus? Millised on suuruse P koordinaatide piirväärtused? 1. Suurus P l¨aheneb punktile A siis ja ainult siis kui suuruse P ja punkti A vaheline kaugus l¨aheneb nullile, st P A |P A| 0 . 2
vaieldamatult lugeda 1. kohta Saarte Mängudel, kus ta saavutas niiöelda kaks ühes, võites kulla ja visates Saaremaa rekordi (Kivi 2007). Ei saa öelda, et jõutõstja Rait Sagor oleks saavutanud kehvema tulemuse kui Sander. Nimelt tuli Rait noorte ja juunioride maailmameistrivõistlustel maailmameistriks (Kivi 2007). Samuti ei ole talle vastest Eesti tasemel, kus ta on purustanud ka Eesti rekordeid. Samuti võib nimekaks sportlaseks lugeda purjetajat Aksel Artust. Aksel sõidab hetkel Zoom8 klassi ja on saavutanud nii selles klassis kui ka madalamates klassides häid tulemusi. Näiteks tuli ta hiljuti Itaalias Zoom8 klassi Euroopa meistrivõistlustel üheksandale kohale (Vinni 2008). Veel väärivad mainimist näiteks purjetaja John Kaju, kes on Eestis omavanuste seas tugev tegija ja käib alatihti võistlemas välismaal. Ka kergejõustiklased Tõnis Lukk ja Villu Vahter, kes valitsevad Saaremaal ja saavutavad häid tulemusi ka Vabariiklikul
ruume, siis j¨argnevalt loetletakse nende t¨ uu¨pilisemaid omadusi. Teoreem 6.25 Olgu X Hausdorffi ruum ja Y mis tahes topo- loogiline ruum. Siis 10 ruumi X iga l˜oplik alamhulk on kinnine; 20 ruumi X iga alamruum on Hausdorffi ruum; 30 iga jada ruumist X omab u ¨limalt u¨hte piirv¨ a¨ artust; 40 igal kujutusel f : Y −→ X saab eksisteerida punktis a ∈ Y u ¨limalt u¨ks piirv¨a¨artus limy→a f (y); 50 iga pideva kujutuse f : Y −→ X graafik Gf = { (y; f (y)) | y ∈ Y } on kinnine hulk topoloogilises ruumis Y × X. T˜oestus. 10 Ruumi X kui T1 -ruumi iga u ¨heelemendiline alamhulk on kinnine. Siis iga l˜oplik alamhulk ruumist X on kinnine kui l˜opliku arvu u¨heelemendiliste alamhulkade u¨hend. 20 J¨areldub lihtsalt asjaolust, et X on Hausdorffi ruum ja
16 V. Kompleksarvud Avaldist z = |z|(cos + i sin ) nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks (ehk esi- tuseks). Polaarnurka nimetatakse kompleksarvu z argumendiks ning t¨ahistatakse := Arg z. Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumenti arg z muuta mingi t¨ aisarv korda 2 v~ orra. Seega on kompleksar- vu argument m¨aa¨ratud vaid 2 t¨ aisarvulise kordseni. Polaarnurga v¨a¨artust arg z, mis rahuldab v~orratust - < arg z , nimeta- takse argumendi peav¨ a¨ artuseks. Kompleksarvu argument avaldub oma peav¨a¨artuse kaudu valemiga Arg z = arg z + 2k, kZ Sageli v~oetakse arg z muutumispiirkonnaks vahemik [0, 2). 11.2 Kompleksarvude v~ ordsuse tunnus trigonomeetrilises esituses Lause 7. Kompleksarvud on v~ ordsed parajasti siis, kui 1) nende moodulid on v~
m¨ark X Z kandja subjekt Joonis 2.2: Peirce m¨argisuhte kolm komponenti. [Merell 97] toob paralleelid Peirce kolmem~oo~tmelise m¨argiruumi ja Riemani geomeetria vahel30 . Vaadeldes Peirce m¨arki kui 3-m~oo~tmelist olekuvektorit K(X, Y, Z), mille koordinaatidel on v~oimalikud kolm diskreetset v¨a¨artust 1, 2, 3 ning, mis paiknedes mittelineaarses ruumis on 30 [Merell 97] k¨asitlusviis on piisavalt intrigeeriv ja k¨ usimusi a¨ratav, paraku ei pea ma siinkohal sobilikuks Peirce ja Riemani relativistliku geomeetria l¨ahemat vaatlemist. 31 ajaliselt muutuv31 K(t), on kohane selle k¨asitlemine tensorina, mis u
annaabi.ee 
