f (x) = arctan(x) f (x) = arccot(x).
Definitsioon 11
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud
p˜ohilistest elementaarfunktsioonidest l˜opliku arvu aritmeetiliste
tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja
liitfunktsiooni moodustamise teel.
Jada piirv¨a¨artus
Definitsioon 1
Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille m¨a¨aramispiirkonnaks on
naturaalarvude hulk N.
{x0,x1,x2,...}{xn}n2N {xn}
Definitsioon 2
Arvu a nimetatakse jada {xn}(l˜oplikuks) piirv¨a¨artuseks, kui iga
_>0 korral leidub N 2N, et iga n >N korral kehtib v˜orratus
|xn −a|
Seda l~opmata mitmest funktsiooni t¨ahistatakse x =Arcsin y. R~ ohutame, et funktsioonidel y = sin x ja x =Arcsin y on u ¨hine graafik. Kui soovime u ¨ks¨ uhest vastavust, siis valime v¨alja hulga X sellise alamhulga X1 , et vas- tavus muutujate x ja y vahel oleks u ¨ks¨ uhene. Tavaliselt valitakse X1 = [-/2; /2] ja saadakse funktsioon x = arcsin y, mida nimetatakse arkussiinuseks ( t¨apsemini arkussi- inuse peav¨ artuseks). Kui teostada peegeldus x y, siis saadakse funktsioon a¨ y = arcsin x, kusjuures X = [ - 1; 1] Y = [-/2; /2]. M¨argime, et /2 1.57. N¨aide 8. Skitseerime funktsioonide y =Arcsin x ja y = arcsin x graafikud: 8 2 6
M Suuruse −∞ Mümbruseks nimetatakse vahemikku (−∞, M) ja tähistatakse U (−∞). M 10. Defineerida jada piirväärtused lim x n = a, n→∞ Definitsioon. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirv¨a¨artuseks, kui suvalise positiivse arvu ε > 0 korral leidub selline naturaalarv n0 = n0(ε), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n0 (n ≥ n0) korral |xn − a| < ε. lim x = +∞ n n→∞ Definitsioon . Öeldakse, et jada (x ) piirväärtus on ∞, kui iga arvu M > 0 korral n leidub arv n = n 0 (ε), et kehtib võrratus x
Joonis 6.2 O· / y f (x, y) = C x 8) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) nimetatakse muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) piirv¨a¨ artuseks kui iga etteantud kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse P v¨a¨artust, millest alates k~oik j¨argnevad muutuva suu- ruse v¨a¨artused kuuluvad punkti A u ¨mbrusesse U (A, ). 9) Olgu punkt A suuruse P piirväärtus. Millele läheneb P ja A vaheline kaugus? Millised on suuruse P koordinaatide piirväärtused? 1. Suurus P l¨aheneb punktile A siis ja ainult siis kui suuruse P ja punkti A
ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev l~oigul [a,b]. Elementaarfunktsioonide pidevus. k~oik elementaarfunktsioonid on oma m¨aa¨ramispiirkonnas pidevad 16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Kui leidub punkt x1 l~oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib v~orratus f(x1) f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suuri- maks v¨a¨artuseks (absoluutseks maksimumiks) l~oigul [a,b]. Kui leidub punkt x2 l~oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib v~orratus f(x2) f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f v¨ahimaks v¨a¨artuseks (absoluutseks miinimumiks) l~oigul [a,b]. 17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. L~oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul.
~ Hulk A on tokestatud, ~ selle hulga elemendid kuuluvad nulli kui koik umbrusesse ¨ UK (0) mingi K > 0 korral. Reaalarvude korral UK (0) = (-K , K ). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 6 / 24 Sissejuhatus Definitsioon Elementi b nimetatakse funktsiooni f piirva¨ artuseks ¨ punktis a, kui iga ¨ > 0 leidub () > 0, et iga x korral, mis taidab tingimust x U (a) kehtib f (x) U (b). xa lim f (x) = b, f (x) - b. xa ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
kuuluvatele argumendi x v¨a¨artustele. Muutumispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga Y. N¨aide 1.7. Leiame n¨aites 1.6 antud funktsiooni muutumispiirkonna. Juu- re all on ruutfunktsioon 2x - x2 , mille graafikuks on allapoole avanev para- bool. M¨a¨aramispiirkonna X = [0; 2] otspunktides on ruutfunktsiooni v¨a¨artus 0, seega on ka antud funktsiooni v¨ahim v¨a¨artus 0. Ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks on parabooli haripunkti ordinaat. Parabooli haripunkti abstsiss 0+2 on xh = = 1, millele vastav ordinaat on yh = 2 · 1 - 12 = 1. V¨a¨artus 2 1 on juure all oleva ruutfunktsiooni suurimaks v¨a¨artuseks ning u ¨htlasi juu- re suurimaks v¨a¨artuseks. J¨arelikult on funktsiooni muutumispiirkonnaks l~oik Y = [0; 1]. 5 1.1.3 Funktsioonide liigitamine
mille raadiused on ratsionaalarvud. 2.4 Jada ja tema piirv¨ a¨ artus Olgu (X, T ) topoloogiline ruum. Jadaks topoloogilises ruu- mis X nimetatakse kujutust f : N −→ X. Jada f on sobiv esitada tema v¨a¨artuste abil kujul f = (xn )n∈N , kus xn = f (n), v˜oi loetledes tema v¨a¨artusi x1 , x 2 , x 3 , . . . , xn , . . . Definitsioon 2.4 Punkti x ∈ X nimetatakse jada (xn )n∈N piirv¨a¨ artuseks, kui punkti x iga u ¨mbruse U jaoks saab leida sellise indeksi n0 , et sellest indeksist alates jada k˜oik liikmed xn kuuluvad u¨mbrusesse U : n ≥ n0 =⇒ xn ∈ U. (2.3) Jada, millel leidub piirv¨a¨artus, nimetatakse koonduvaks. Asjaolu, et x on jada (xn )n∈N piirv¨a¨artus, t¨ahistatakse lim xn = x. n→∞ Teoreem 2.7 Punkt x ∈ X on topoloogilise ruumi X jada
b 1 f () = f (x)dx. (5.2) b-a a Korrutades saadud v~orduse m~olemat poolt integreerimisl~oigu pikkusega b-a, saame v¨aite. Omadus 8 v¨aites esinevat v¨a¨artust f () nimetatakse funktsiooni f (x) keskv¨a¨artuseks l~oigul [a; b]. Seda arvutatakse valemi (5.2) j¨argi. 5.3 M¨a¨ aratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem Olgu funktsiooni f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Defineerime l~oigul [a; b] m¨a¨aratud integraali u ¨lemise raja funktsiooni x (x) = f (t)dt (5.3)
vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ ahistatakse tavaliselt u ¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu: { a kui a 0 |a| = -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2
vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ahistatakse tavaliselt u¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu: a kui a0 |a| = -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3
K111 K211 K311 K221 K321 K331 K222 K322 K332 K333 Joonis 2.3: Peirce m¨argiolekute vastastikune d¨ unaamika. Millised m¨argiliigid toodud k¨ umnest oleksid k¨aesoleva t¨o¨o kontekstis huvi pakkuvad? Kuna k¨asitlen v¨aljakujunenud m¨argis¨ usteemi, siis saab sobivaks kandja v¨a¨artuseks olla u ¨ksnes s¨umboolsust noteeriv 3, seega j¨a¨avad s~oelale m¨argid K311 , K321 , K322 , K331 , K332 , K333 . Teisalt, pakub t~olgendamise dimensioonis eelk~oige huvi m¨arkide esmasus, nende kuju, morfoloogia, mitte s¨ untaks ega semantika. Seega on ainukeseks t~olgendaja olekuv¨a¨artuseks 1, mis j¨atab tehtud valikust j¨argi kolm m¨argit¨ uu¨pi: K311 , K321 , K331 . Niisiis v~oiks Peirce m¨argiteooria valguses p¨ ustitada k¨aesoleva t¨o¨o
nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks (ehk esi- tuseks). Polaarnurka nimetatakse kompleksarvu z argumendiks ning t¨ahistatakse := Arg z. Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumenti arg z muuta mingi t¨ aisarv korda 2 v~ orra. Seega on kompleksar- vu argument m¨aa¨ratud vaid 2 t¨ aisarvulise kordseni. Polaarnurga v¨a¨artust arg z, mis rahuldab v~orratust - < arg z , nimeta- takse argumendi peav¨ a¨ artuseks. Kompleksarvu argument avaldub oma peav¨a¨artuse kaudu valemiga Arg z = arg z + 2k, kZ Sageli v~oetakse arg z muutumispiirkonnaks vahemik [0, 2). 11.2 Kompleksarvude v~ ordsuse tunnus trigonomeetrilises esituses Lause 7. Kompleksarvud on v~ ordsed parajasti siis, kui 1) nende moodulid on v~ ordsed, 2) nende argumentide vahe on 2 kordne. 11.3 N¨ aide (u
annaabi.ee 
