Ristkülikmaatriks Protseduur aritm(A(), n, m) Leiab maatriksi iga veeru aritmeetilise keskmise ning lahutab selle vastava veeru elementidest. n Maatriksi ridade arv. m Maatriksi veergude arv. A() Maatriks A. Protseduur maksimum(A(), n, m, max, rn, vn) Leiab absoluutväärtuselt suurima elemendi ja selle asukoha maatriksis. n Maatriksi ridade arv. m Maatriksi veergude arv. max Abimuutuja, mille abil leitakse suurim element igas veerus. A() Maatriks A. rn Rea nr., kus maksimum asub. vn Veeru nr., kus maksimum asub. Maksimum ning rea ja veeru number, kus see asub, esitatakse töölehe vastavates lahtrites. Funktsioon aritm2(A(), rn, m) Leiab selle rea elementide aritmeetilise keskmise, kus asub leitud maksimum. Vastus esitatakse töölehel lahtris "kesk". rn Rea number, kus asub maksimum. m Maatriksi veergude arv.
2x2 8x + 12 = 0, x2 4x + 6 = 0. Sellel võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole, seega puuduvad lahendid ka murdvõrrandil. 1 Kõrgema astme võrrandid Lahendivalemid on tuletatud ka kolmanda ja neljanda astme võrrandite jaoks, kuid need on küllalt keerulised. Tihti on aga võimalik kõrgema astme võrrandeid lahendada korrutiseks teisendamise abimuutuja kasutamise või mõne muu võttega. Tutvume mõningate selliste võtetega. Näide 1. Lahendada võrrand : x5 = 4x3. Lahendus. Toome kõik liikmed vasakule : x5 - 4x3 = 0 Toome ühise kordaja x3 sulgude ette: x3(x2 4) = 0 Korrutis võrdub nulliga, kui kordajatest on null: x3 = 0 või x2 4 = 0 Lahendades, saame : x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2. Näide 2. Lahendada võrrand x3 - 3x2 = 2x 6.
väärtus. Sisuliselt kujutab valem funktsiooni graafiku võrrandit. 2.Esitus ilmutamata kujul , s.o. võrrandi F(x,y)=0 abil. 3. Parameetriline esitus .Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide x=x(t), y=y(t), t∈T väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja vaadeldavafunktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. 4. Esitus polaarkoordinaatides valemiga r= r(φ), φ∈T, mis annab funktsiooni graafiku punktid (x,y) polaarkoordinaatides (r,φ). 6
until < tingimus >; PASCAL 3. loeng Programminäide 4. (FOR-tsükkel) program Fibonacci; (* Programm leiab Fibonacci arvud - arvujada, kus iga järgmine liige on *) (* kahe eelmise liikme summa. Jada pikkuse määrab kasutaja. *) (* N: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34 .... *) var i, kordi, F_arv, esimene, teine : integer; begin write('Mitu Fibonacci arvu soovid leida? '); readln(kordi); esimene := 0; (* esimesed kaks arvu on teada - 0 ja 1 *) teine := 1; for i := 1 to kordi do (* i on abimuutuja, mis loendab kordusi *) begin (* i muutub 1-st kuni 'kordi' väärtuseni *) F_arv := esimene + teine; write(F_arv, ', '); esimene := teine; (* senine teine saab esimeseks... *) teine := F_arv; (* ja senine F_arv teiseks liikmeks *) end; writeln; writeln('See on kõik.'); end. Programminäide 5. WHILE-tsükkel. program Ruutjuur; (* Programm küsib kasutaja käest arvu ja väljastab selle ruutjuure. *) (* Töötatakse seni, kuni kasutaja sisestab arvuks nulli. Kasutatakse *)
y = x + arctanx 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul. Näiteks: lox +log(y+2) 2 = 0 Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused saab määrata ka teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t) ja y = y(t), t T väärtustena. Antud esituse korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetrilisel kujul ning tavaliselt esitatakse see järgmiselt: x = x (t ) t T y = x(t ) x = t +1 Näiteks: y = t + 2 Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Funktsiooni f saab esitada ka polaarkoordinaatides valemiga r = r(), T, mis annab funktsiooni graafiku punktid (x,y) polaarkoordinaatides (r, )
1) Samale alusele viimine Tihti saab ülesannetes teisendada alused samaks, et seejärel panna eksponendid omavahel võrduma. Seejuures tuleb meeldes pidada tehteid astmetega. Näide: -> Näites viidi 1/5, mis on 5-1 ja 25, mis on 52 ühisele alusele 5, seejärel pandi eksponendid võrduma ja lahendati lineaarvõrrand. 2) Abimuutuja kasutamine Vahel saab kasutusele võtta uue muutuja, mille suhtes tekib tavaliselt ruutvõrrand ning hiljem saab selle kaudu lahendid teada. Näide: Näites kirjutati astme omadusi kasutades eksponendid lahti ning korrutati kolmega läbi. Seejärel tehti asendus u=3x ning saadi ruutvõrrand uue muutuja suhtes
***II Võrrand on kujul F(x, y(n)) = 0. =>x=g(y(n)) ***Võrrandi
(n-1) !
üldlahendi esitame parameetrilisel kujul {x = (p)=>dx= '(p)dp {y(n) = (p)=>dy(n-1)= (p)dx **Saame: dy(n-1)= (p)*
'(p)dp |S ** y(n-1)= (p)* '(p)dp+C1 **dy(n-2)=[ (p)* '(p)dp+C1]dx ** dy(n-2)=[ (p)* '(p)dp+C1]* '(p)dp |S
jne n-korda. ***III Võrrand kujul F(x, y(k), y(k+1) , ..., y(n)) = 0. kz; 1k
7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul. Näiteks: lox +log(y+2) 2 = 0 Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused saab määrata ka teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t) ja y = y(t), t T väärtustena. Antud esituse korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetrilisel kujul ning tavaliselt esitatakse see järgmiselt: x = x (t ) t T y = x(t ) x = t +1 Näiteks: y = t + 2 Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Funktsiooni f saab esitada ka polaarkoordinaatides valemiga r = r(), T, mis annab funktsiooni graafiku punktid (x,y) polaarkoordinaatides (r, )
.. yn Sellist esitusviisi kasutatakse sageli eksperimentaalsete tulemuste märkimiseks. 3. Geomeetriline esitus graafiku abil. Esitatakse funktsiooni graafik, kust saab määrata argumendi väärtustele vastavad funktsiooni väärtused. Esitusviis on tüüpiline isekirjutavate mõõteseadmete korral. 4. Parameetriline esitus. Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x( t ) x = x( t ) , y = y ( t ) , t T ehk t T (*) y = y( t ) väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja avaldisi (*) vaadeldava funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (*) ehk funktsioon
lähtudes. • Viimase elemendi (saba) viidaväljas on tühi aadress (NIL või Null), selle järgi saab tuvastada ahela lõppemisest. • Seega viidaväljade abil ühendatakse sõlmed ühte struktuuri: ahelasse. 4.2 Ahela läbimine 4.2.1 Tekstiline Alustades ahela peast liigutakse sõlm haaval ahela lõpuni. Vajaduse korral tehakse iga sõlmega midagi (uuritakse võtmevälja väärtust vms). Abimuutuja current peab olema viidatüüpi. Ta tuleb kasutusele võtta selleks, et kogu ahelale viitav Head kaotsi ei läheks. 4.2.2 Pildiline Joonis 1 Pildiline kirjeldus ühe viidaga ahelast ning selle läbimisest. 4.3 Elemendi (sõlme) lisamine 4.3.1 Tekstiline Sõlme lisamine võib toimuda ahela algusesse, keskele või lõppu: • Esimese elemendi lisamisel muutub ahela pea väärtus (kõige lihtsam ja kiirem)
.., yn. y y1 y2 ... yn Sellist esitusviisi kasutatakse sageli eksperimentaalsete tulemuste märkimiseks. 3. Geomeetriline esitus graafiku abil. Esitatakse funktsiooni graafik, kust saab määrata argumendi väärtustele vastavad funktsiooni väärtused. Esitusviis on tüüpiline isekirjutavate mõõteseadmete korral. 4. Parameetriline esitus. Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t ) x = x(t ) , y = y (t ) , t T ehk t T (*) y = y (t ) väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja avaldisi (*) vaadeldava funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt
elemendiga suhelda tahetakse. using System; class Massiiv1{ public static void Main(string[] arg){ int[] m=new int[3]; m[0]=40; m[1]=48; m[2]=33; Console.WriteLine(m[1]); } } /* C:Projectsomanaited>Massiiv1 48 */ Tsükkel andmete kasutamiseks Massiivi kõikide elementidega kiiresti suhtlemisel aitab tsükkel. Siin näide, kuidas arvutatakse massiivi elementidest summa. Algul võetakse üks abimuutuja nulliks ning siis liidetakse kõikide massiivi elementide väärtused sellele muutujale juurde. Avaldis summa+=m[i] on pikalt lahti kirjutatuna summa=summa+m[i] ning tähendab just olemasolevale väärtusele otsa liitmist. for-tsükli juures kõigepealt võetakse loendur (sageli kasutatakse tähte i) algul nulliks, sest nullist hakatakse massiivi elemente lugema. Jätkamistingimuses kontrollitakse, et on veel läbi käimata elemente, ehk loendur on väiksem
elemendiga suhelda tahetakse. using System; class Massiiv1{ public static void Main(string[] arg){ int[] m=new int[3]; m[0]=40; m[1]=48; m[2]=33; Console.WriteLine(m[1]); } } /* C:Projectsomanaited>Massiiv1 48 */ Tsükkel andmete kasutamiseks Massiivi kõikide elementidega kiiresti suhtlemisel aitab tsükkel. Siin näide, kuidas arvutatakse massiivi elementidest summa. Algul võetakse üks abimuutuja nulliks ning siis liidetakse kõikide massiivi elementide väärtused sellele muutujale juurde. Avaldis summa+=m[i] on pikalt lahti kirjutatuna summa=summa+m[i] ning tähendab just olemasolevale väärtusele otsa liitmist. for-tsükli juures kõigepealt võetakse loendur (sageli kasutatakse tähte i) algul nulliks, sest nullist hakatakse massiivi elemente lugema. Jätkamistingimuses kontrollitakse, et on veel läbi käimata elemente ehk loendur on väiksem
using System; class Massiiv1{ public static void Main(string[] arg){ int[] m=new int[3]; m[0]=40; m[1]=48; m[2]=33; Console.WriteLine(m[1]); } } /* C:Projectsomanaited>Massiiv1 48 */ Tsükkel andmete kasutamiseks Massiivi kõikide elementidega kiiresti suhtlemisel aitab tsükkel. Siin näide, kuidas arvutatakse massiivi elementidest summa. Algul võetakse üks abimuutuja nulliks ning siis liidetakse kõikide massiivi elementide väärtused sellele muutujale juurde. Avaldis summa+=m[i] on pikalt lahti kirjutatuna summa=summa+m[i] ning tähendab just olemasolevale väärtusele otsa liitmist. for- tsükli juures kõigepealt võetakse loendur (sageli kasutatakse tähte i) algul nulliks, sest nullist hakatakse massiivi elemente lugema. Jätkamistingimuses kontrollitakse, et on veel läbi käimata
annaabi.ee 
