Summa ruudu valem (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 Vahe ruudu valem (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 Kuupide summa valem (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + ba2 - ab2 + b3 = a3 + b3 Kuupide vahe valem (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - ba2 - ab2 - b3 = a3 - b3 Summa kuubi valem (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Vahe kuubi valem (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (a - b)3 = (a - b)(a - b)2 = (a - b)(a2 - 2ab + b2) = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
2 2 3 2 (a+b) (a2- ab+b2) = a3+ b NÄIDE: (a+3)(a 2 -3a+9) = a 3 +3 3 = a 3 +27 KUUPIDE VAHE: (a-b) (a +ab+b ) = a +a b+ab2- ba2-ab2- b3 = a3- b3 2 2 3 2 (a-b) (a2+ab+b2) = a3- b3 NÄIDE: (2x-5y) (4x 2 +10xy+25y 2 ) = (2x) 3 -(5y) 3 = 8x 3 -125y 3 SUMMA KUUP: (a+b)3 = (a+b) (a+b)2 = (a+b) (a2+2ab+b2) = a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3= =a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 NÄIDE: (a+4) 3 = a 3 +3a 2 *4+3a*4 2 +4 3 = a 3 +12a 2 +48a+64 VAHE KUUP: (a-b) = (a-b) (a-b) = (a-b) (a -2ab+b2) = a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3= 3 2 2 =a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 NÄIDE: (3X-Y)3 = (3X)3-3(3X)3Y+3*3XY2-Y3 = 27X3-27X2Y+9XY2-Y3
Valemid (a-b)(a+b) = a2 - b2 - Ruutude vahe valem (a+b)2 = a2+ 2ab + b2 - Summa ruudu valem (a-b)2 = a2 2ab + b2 - Vahe ruudu valem a2 + ab + b2 - summa mittetäielik ruut a2 ab + b2 - vahe mittetäielik ruut (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - summa kuubi valem (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 - vahe kuubi valem a3 + b3 = (a+b)(a2 ab + b2) - Kuupide summa valem a3 - b3 = (a-b)(a2 +ab + b2) - kuupide vahe valem
astendamine juurimine korrutamise abivalemid teguriteks lahut. a0=1 n m (a+b)2=a2+2ab+b2 ax2+bx+c= am = an a(x-x1)(x-x2) am·an=am+n n ab = n a n b (a-b)2=a2-2ab+b2 am:an=am-n a n a (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 n = n b b m n mn (a ) =a n m a = nm a (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (ab)n=anbn nm a n p = m a p a2-b2=(a+b)(a-b) (a:b)n=an:bn a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 1 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a -n = an
2 Taandatud Ruutvõrrand 3) x +px+q = x1,2= -p + p2-q = (x-x1)(x-x2) 2 Viete i teoreem x1+x2=-p X1 . x2= q Tegurdamine 2 2 (a+b)(a-b) = a -b 2 Ax +bx = x(ax+b) (a+b)2 = (a+b) . (a+b) = a2+2ab+b2 Ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) (a-b)2 = (a-b) . (a-b) = a2-2ab+b2 A3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b2 A3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 Kui D<0 siis lahendid puuduvad Kui D=b siis on 2 ühesugust lahendit Kui D>0, siis on 2 erinevat lahendit. RUUT P=4a S=a2 P=2(a+b) Ristkülik S=ab Rööpkülik S=ah = D1+D2 P= 2(a+b) Romb S=ah=D1D2 P=4a Trapets S=a+b
üksliikmete kuupide summaga. ( x + y ) ( x2 xy + y2) = x3 + y3 13) Kuupide vahe. * Kahe üksliikme vahe ja samade üksliikmete summa mittetäieliku ruudu korrutis on võrdne nende üksliikmete kuupide. ( x -y ) ( x2 + xy + y2 ) = x3 y3 14) Summa kuup. *Kahe üksliikme summa kuup on võrdne esimese liikme kuup + kolmekordne esimese liikme ruudu ja teise liikme korrutis + kolmekordne esimese liikme ja teise liikme ruudu korrutis + teiseliikme kuup ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 15) Vahe kuup. * Kahe üksliikme vahe kuup võrdub esimese liikme kuup kolmekordne esimese liikme ruudu ja teise liikme korrutis + kolmekordne esimese liikme ja teise liikme ruudu korrutis teise liikme kuup. ( a - b) 3 = a3 -3a2b + 3ab2 -b3
Matemaatika konspekt I LIITMISVÕTE {2x + 3y = 12 {x -3y = -3 3x = 9 | : 3 x=3 3 3y = -3 -3y = -6 | :(-3) y=2 K: ... V: x = 3 y=2 ASENDUSVÕTE {y -2x = 1 => y = 1 + 2x {3x + y = 9 => 3x + 1 + 2x = 9 3x + 2x = 8 5x = 8 | : 5 x = 1,6 y = 1 + 2 x 1,6 y = 4,2 K: ... V: x = 1,6 y = 4,2 * ax2 + bx + c = 0 x1,2 = -b ± b2 -4 a c ---------------- 2xa * (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 * (a b)(a + b) = a2 b2 * (a + b)3 = a3 3a2b + 3ab2 + b3
x 12 x s) a n m n am Näide: x 2 3 3 x2 m t) a n n a m , kui a 0, m Z , n N 3 Näide: x 4 4 x 3 2) Korrutamise abivalemid a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 c) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 d) (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3) Hulkliikme lahutamine teguriteks a) Ühise teguri sulgude ette toomine Näide: 6a 2b 12a 3b 4 18a 4b3 6a 2b 1 2ab3 3a 2b 2 b) Valemite kasutamine (1) a2 – b2 = (a – b)(a + b) Näide: 4 x 2 9 2 x 3 2 x 3 (2) a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2) (3) a3 – b3 = (a - b)( a2 + ab + b2)
b bn a -n b n an : am = an-m (an )m = anm = b a Korrutamise abivalemid (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 b3 , a2 - b2 = (a + b)(a - b), a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2 ). Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks Kui v~orrand ax2 + bx + c = 0 on lahenduv ja lahendid on -b ± b2 - 4ac x1,2 = , 2a
0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd anam=an+m C = 2r; C=d; S=r2 (a+b)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz an : am=an-m a b = a b a<0 = = 0,5` (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (an)m=anm ` = 2 (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 1 a = a
⎪0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd anam=an+m ⎩ C = 2πr; C=πd; S=πr2 (a+b)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz an : am=an-m a ⋅b = a ⋅ b a<0 α = β = 0,5α` (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (an)m=anm α` = 2α (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 1 a = a
, kui või kui a < 0 ja ( a) m n am = n , kui a 0 või kui ja m n am = a n n m a = nm a pn a pm = n a m , kui ja n = 2k või kui n = 2k + 1 2.3 Korrutamise abivalemid ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a - b ) = a 2 - 2ab + b2 2 ( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 3 ( a - b ) = a3 - 3a 2b + 3ab2 - b3 3 ( a - b) ( a + b ) = a2 - b2 ( a + b ) ( a 2 - ab + b2 ) = a3 + b3 ( a - b ) ( a 2 + ab + b2 ) = a3 - b3 2.4 Hulkliikme lahutamine teguriteks a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2 a 2 - 2ab + b 2 = ( a - b ) 2 a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 = ( a + b )
nt: a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) 8a3 + b3 = ( 2a+b)(4a2-2ab+b2) x3y3 + 27 = (xy+3)(x2y2-3xy+9) 17. Kuupide vahe. Too nide. * Kuupide vahe on vrdne ksliikmete vahe ja nende ksliikmete summa mittetieliku ruudu korrutisega. a3-b3= ( a-b)(a2+ab+b2) 64-a3= ( 4-a)(16+4a+a2) 18. Summa kuup. Too nide. * Summa kuup on vrdne esimese liikme kuup liita kolmekordne esimese liikme ruut korda teine liide liita kolmekordne esimene liige korda teise liikme ruut liita teise liikme kuup. nt: (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (2 + 4b)3 = 8+48b+96b2+64b3 19. Vahe kuup . Too nide. * Vahe kuup on vrdne esimese liikme kuup lahutada kolmekordne esimese liikme ruut korda teine liide liita kolmekordne esimene liige korda teise liikme ruut lahutada teise liikme kuup. nt: (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 20. Hulkade hisosa. Too nide. * Kahe hulga kigi histe elemientide hulka nimetatakse nende hulkade hisosaks. Hulk C on hulkade A ja B hisosa C=A?B. 21. Hulkade hend. Too nide.
Valemid, teoreemid, seosed, tunnused, tingimused MATEMAATIKA EKSAMIL XI KLASSIS 1) a2-b2 = (a+b)(a-b) 2) a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3) a3 - b3=(a-b)(a2+ab+b2) 4) (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 5) (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 −b ± √ b2−4 ac 2 6) a) lahenda ax + bx+c =0 2a b) tegurda : ax2 + bx+c= a( x− x1 )( x−x 2) c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n
avaldis on irratsionaalavaldis. Ratsionaalavaldiste lihtsustamiseks kasutame matemaatilisi võtteid ja valemeid. x + 3 2x + 5 2x + 5 Sulgude ette toomine: ab + ac = a(b + c); Arvutamise abivalemid: a2 b2 = (a + b)(a b); (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a b)2 = a2 2ab + b2; (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3; a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2); a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2); Teeme ülesanded. Rühmitamisvõte: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) Meeldetuletuseks: Kahe negatiivse arvu korrutamisel (samuti jagamisel) saame tulemuseks positiivse arvu; Miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees. ASTME MÕISTE ÜLDISTAMINE
06 Kordamine Korrutamise abivalemid. Õpilase individuaalne töö KÜL: 4) 500, 21 (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + + 3ab2 ± b3 Vestlus. Õpilase individuaalne 1) ül 20, 21 5. 07. 09. 06 Kordamine Lineaarvõrrandid. töö KÜL 2) ül 27(26, 27, 42, 44, )
b n m n*m (a ) = a k a k2 a k a 2 a-n = 1/an a0 = 1 a1 = a 2. Lihtsustamine Abivalemid (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3
4b/ 1 3 2 3a/ 1 3 2 = a b + 23 a 2 b − a b − b3 a 2 b = 33 a 2 b − b3 a 2 b = (3 − b )3 a 2 b . b/ 1 a/ 1 Vastus . (3 − b )3 a 2b . 16 3.4 Korrutamise abivalemid ( a + b ) = a 2 + 2ab + b2 2 ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 2 ( a + b ) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 3 ( a − b ) = a3 − 3a 2b + 3ab2 − b3 3 ( a − b )( a + b ) = a 2 − b 2 ( a + b ) ( a 2 − ab + b2 ) = a3 + b3 ( a − b ) ( a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a 2 + 2ab + b2 2 2 või
Näiteid: Tsükloid x = a (t sin t) y = a (1 cos t) S = 3a2 L = 8a V = 52a3 A = 64/3 a2 Astroid x = a cos3 t y = a sin3 t S = 3/8a2 L = 6a V = 32/105a3 A = 12/5 a2 Kardioid =a (1 + cos ) S = 3/2a2 L = 8a A = 32/5 a2 Ellips S = ab Ellips pöörleb ümber x-telje V = 4/3ab2 t2 t2 Teepikkus s = vdt Kiirus v = adt t1 t1 x2 x2 Jõu töö W = kxdx Vedeliku rõhumine P = 9,807xdS x1 x1 Teist järku joonte puutujad punktis P0
Näiteid: Tsükloid x = a (t sin t) y = a (1 cos t) S = 3a2 L = 8a V = 52a3 A = 64/3 a2 Astroid x = a cos3 t y = a sin3 t S = 3/8a2 L = 6a V = 32/105a3 A = 12/5 a2 Kardioid =a (1 + cos ) S = 3/2a2 L = 8a A = 32/5 a2 Ellips S = ab Ellips pöörleb ümber x-telje V = 4/3ab2 t2 t2 Teepikkus s = vdt Kiirus v = adt t1 t1 x2 x2 Jõu töö W = kxdx Vedeliku rõhumine P = 9,807xdS x1 x1 Teist järku joonte puutujad punktis P0
Olgu meil antud kaks kompleksarvu a + bi ja c + di. Siis Nende astmete teadmine on meile abiks astmete (a + bi)2 ja (a + bi)3 leidmisel: ( a + bi ) + (c + di) = ( a + c) + (b + d )i. (a + bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = a2 - b2 + 2abi, (a + bi)3 = a3 + 3a2bi + 3a(bi)2 + (bi)3 = a3 - 3ab2 + (3a2b)i - (b3)i. Näide 5. Leiame summa (5 + 3i) + (6 + 4i). Siis (5 + 3i) + (6 + 4i) = (5 + 6) + (3 + 4)i = 11 + 7i. Näide 9. Leiame (3 + 4i)2 ja (3 + 4i)3. Summa ruudu ja kuubi valemite järgi saame: Kompleksarvude lahutamine on sarnane liitmisele. Kahe kompleksarvu a + bi ja c + (3 + 4i)2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i ja
annaabi.ee 
