endiseks. Näited KORRUTAMINE Kahe hariliku murru korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks nimetajate korrutis. Näited JAGAMINE Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. Näited ERINIMELISED MURRUD LIITMINE Erinimeliste murdude liitmisel teisendatakse murrud ühenimelisteks (leitakse nimetajate vähim ühiskordne VÜK ja korrutakatse sellega mõlema murru lugejat ja nimetajat) ja seejärel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks Erinimeliste murdude lahutamisel teisendatakse murrud ühenimelisteks (leitakse nimetajate vähim ühiskordne VÜK ja korrutakatse sellega mõlema murru lugejat ja nimetajat) ja seejärel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited http://sluha.pri.ee/stuff/matemaatika/oppematerjal/6.klass/index.html
arv, nt 1000; Arvude ühistegurid Ühistegur arv, millega jagub iga antud arv Nt. On võetud kolm arvu: 420, 462 ja 882. Need arvud jaguvad 21ga. Sel juhul öeldakse, et 21 on arvude 420, 462 ja 882 ühistegur. Suurim ühistegur (SÜT) suurim arv, millega jagub iga antud arv Arvude ühiskordsed Ühiskordne arv, mis jagub iga antud arvuga Antud arvudel on lõpmata palju ühiskordseid, kõige enam vajatakse aga vähimat neist Vähim ühiskordne vähimat nullist erinevat arvu, mis jagub iga antud arvuga Nt. Leiame arvude 462 ja 156 vähima ühiskordse. Lahendus. 462 2 156 2 231 3 78 2 77 7 39 3 11 1 13 13 1 1 Arvude vähim ühiskordne on 23711213=12 012. Aitäh vaatamast!
4 3 a) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎜ b) ⎜⎜ ⎟ : ⎝ 3b ⎠ ⎝ 4a ⎟⎠ ⎟ 2 3 ⎝ 3d ⎠ 1 8. Leia arvude 20, 44 ja 120 suurim ühine tegur. 9. Leia arvude 22, 30 ja 40 vähim ühiskordne. 10. Kas arv 1010101011101101101 jagub 3-ga, 4-ga, 6-ga, 9-ga? Põhjenda. 11. Leia taskuarvuti abil avaldise väärtus sajandiku täpsusega 2 + 3,14 1,32 + π 3 + 3,14 − 2 1 2 2 − 1,4 ⋅ 0,85 3
Need on 2, 2, 3 ja 3. Algtegurite korrutis 2*2*3*3=36 ongi otsitav suurim ühistegur. 12 9. Arvude ühiskordsed Antud arvude ühiskordseks nimetatakse arvu, mis jagub iga antud arvuga. Antud arvudel on lõpmata palju ühiskordseid, kõige enam vajatakse aga vähimat neist. Antud arvude vähimaks ühiskordseks nimetatakse vähimat nullist erinevat arvu, mis jagub iga antud arvuga. Näide 1. Leia arvude 8, 12 ja 24 vähim ühiskordne. Lahendus. Kuna 24 jagub mõlema ülejäänud arvuga: 24÷8=3 ja 24÷12=2, siis arv 24 ongi arvude 8, 12 ja 24 väikseim ühiskordne Vastus. VÜK (8; 12; 24) = 24. Väikseima ühiskordse leidmine suurtemate arvude korral: Näide 2. Leiame arvude 462 ja 156 vähima ühiskordse. Lahendus. 462 2 156 2 231 3 78 2 77 7 39 3 11 1 13 13 1 1
OKSIIDID Oksüdatsiooniastme arvutamine: Hapnik liidab reageerimisel teiste ainetega oma aatomite väliskihile juurde 2 elektroni. Kui eeldame, et saadusena tekib iooniline ühend, on hapniku ioonide ehk oksiidioonide laeng selles ühendis -2. Elemendi aatomite laengut ühendis, eeldusel, et ühend on iooniline, nimetatakse elemendi oksüdatsiooni astmeks. Elemendi oksüdatsiooniaste märgitakse valemis tavaliselt rooma numbriga vastava elemendi sümboli kohale. Negatiivse oksüdatsiooni astme korral kirjutatakse numbri ette miinus märk. Kui on aga positiivne siis plussi reeglina ei kirjutata. II -II NÄITEKS: Mg O Oksüdatsiooniaste näitab elemendi oksüdeerimise astet ühendis. Mida suurem on oksüdeerimisaste on seda rohkem on elemendi aatom loovutanud elektrone teise elemendi aatomile. Mida negatiivsem seda rohkem on võtnud endale. Ühendis on kõigi aatomit...
ühenimelisteks. 1 5 Näide: Teisendame ühenimeliseks murrud ja . 4 6 Selleks peab kõigepealt leidma ühise nimetaja, milleni on vaja mõlemat murdu laiendada. Kuna laiendaja leitakse uue nimetaja ja endise nimetaja jagamise teel, peab otsitav ühine nimetaja jaguma antud murdude nimetajatega. Ehk siis: Murdude ühine nimetaja on antud murdude nimetajate ühiskordne. 4 ja 6 ühiskordseteks on näiteks 12, 24, 36, 48, .... Et uued murrud oleksid võimalikult väikese nimetajaga, valitakse tavaliselt ühiseks nimetajaks antud nimetajate vähim ühiskordne. Antud juhul on selleks 12. Laiendajateks saame siis 12 : 4 = 3 ja teise oma 12 : 6 = 2 . Seega saame, et . 3 Ühenimelisteks teisendatavaid murde võib olla ka enam kui kaks. Murdude ühenimelisteks teisendamisel pea meeles:
. lahutame teguriteks x 25 x 2 2 x 35 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraliste murdude liitmine Algebraliste murdude liitmisel tuleb : 1) tegurdada kõikide liidetavate nimetajad; 2) Minna üle ühisele murrujoonele, kus nimetajaks on liidetavate nimetajate vähim ühiskordne ja lugeja saadakse liidetavate lugejatest laiendamise teel. 3) Võimaluse korral koondada lugejas sarnased liikmed ja taandada murd Näide x2 x 2 x2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 ( x 1) 2 2 2 x 2 ( x 1) x( x 1) 2 2( x 1) x 3 x 2 x 3 2 x 2 x 2 x 2
[17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]
Tehted harilike murdudega © T. Lepikult, 2010 Hariliku murru mõiste Harilikuks murruks nimetatakse kahe naturaalarvu a ja b jagatist kujul a , b kus b 0. murru lugeja a Harilik murd: murrujoon b murru nimetaja Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. Horisontaaljoone asemel kasutatakse murrujoonena ka kaldkriipsu. 1 Näited = 1/ 2 = 1: 2 = 0,5 Loe: "kaks koma kolm perioodis" 2 7 = 7 / 3 = 7 : 3 = 2,333... = 2, (3) 3 Liht- ja liigmurd Kui murru nimetaja on suurem lugejast ( b > a, ehk a / b < 1 ), siis nimetame murdu lihtmurruks, vastupidisel ( b a, ehk a / b 1 ) juhul...
2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada sama liikme või avaldise 3)võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Võrre on tõene võrdus kahe suhte vahel. Ühiskordseteks nimetakse arve, mis jaguvad iga antud arvuga. Ühiskordseid on lõpmata palju. Suurimat ühiskordset pole olemas. Ühiskordsete seast võime aga välja kirjutada vähima ühiskordse. Näide: Leia arvude 120 ja 192 vähim ühiskordne. 120 2 192 2 60 2 96 2 30 2 48 2 15 3 24 2 5 5 12 2 1 6 2 3 3 1 Antud arvude vähim ühiskordne on: 2 · 2 · 2 · 3 ·5 · 2 · 2 · 2 = 960 Üksliige ehk monoom on arvuliste ja täheliste tegurite korrutis. Ülesanne 2 Arvutamise abivalemid :
puudumise tõestamine. 112. Võrratus avaldis, mille poolte vahel on üks märkidest >, <, , . 113. Võrre kahe jagatise võrdus kujul a/b = c/d, a ja d on võrde välisliikmed, b ja c on võrde siseliikmed- Võrde põhiomadus : võrde välisliikmete korrutis võrdub siseliikmete korrutisega : ad = bc. 114. Võõrlahend võrrandi lahendamised saadud tulemus, mis ei rahulda lähtevõrrandit. 115. Vähim ühiskordne vähim täisarv, mis jagub kõigi antud täisarvudega. 116. Ümberringjoon ringjoon, mis läbib vaadeldava hulknurga kõiki tippe. 117. X telg abstsisstelg, ristkoordinaadistiku rõht- e. horisontaaltelg.. 118. Y telg ordinaattelg, ristkoordinaadistiku püst- e. vertikaaltelg.
c) Jagame esimese jäägi teise jäägiga. d) Jne, kuni tekib jääk 0. Viimane, nullist erinev jääk ongi SÜT. 108 42 = 2 84 42 24 = 1 24 24 18 = 1 18 18 6 = 3 18 0 10. Vähim ühiskordne. 1) Antud arvude vähim ühiskordseks nimetatakse arvu, mis jagub iga antud arvuga. 2) Antud arvude vähimaks ühiskordseks(VÜK) nimetatakse vähimast 0-st erinevat arvu, mis jagub iga antud arvuga. 3) Algoritm leidmiseks. a) Lahutame antud arvud algteguriteks. b) Saadud algarvude astmete seast valime kõigi erinevate algarvude suurima astendajaga astmed. c) Nende astmete korrutis ongi VÜK.
VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada; 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole...
elementi (mõnikord ka rohkem), mille oksüdatsiooniastmed on muutunud. 0 V I – 1e- → K ; N + 8 e- → N 3) Vaadake, mitu elektroni kumbki element on liitnud/loovutanud: K V - 0 I 8 4) Leidke liidetud ning loovutatud elektronide vähim ühiskordne: NIII+ 8 e- → N ; K – 1e- → K 8 1 5) Kirjutage saadud tulemused võrrandisse: 8K + HNO3 → 8KNO3 + NH4NO3 + H2O NB! Nr 1 ei kirjutata 6) Tasakaalustage võrrand (NB! Jäta vee molekulid viimaseks): 8K + 10HNO3 → 8KNO3 + NH4NO3 + 3H2O 7) Võrrandi tasakaalu kontrollige hapniku aatomite arvu järgi! M(sool
s.t. integraali avaldisest, mis sisaldab muutujat x ja erinevaid juuri murdlineaarsest ax + b avaldisest , kus a , b, c ja d on konstandid. Niisuguse avaldise cx + d ax + b ratsionaliseerimiseks kasutatakse muutuja vahetust = t k , kus k on juurijate cx + d m, n ,..., s vähim ühiskordne. Viimasest võrdusest avaldame muutuja x ja tema diferentsiaali. 2. Teiseks vaatleme irratsionaalavaldise integraali kujul R( x , ax 2 + bx + c )dx. (2) Alati on juurealusest avaldisest võimalik eraldada kaksliikme ruut: b b b2 b2 ax 2 + bx + c = a x 2 + x + c = a x 2 + 2 x + 2 - 2 +c=
= Kui ülesannetel on erinevad perioodid T1, (NB! Kaitsemehhanisme võib vaja minna ohutuse Planeeri ja seo ülesanded sedasi, et tsüklite arv Inteli SpeedStep tehnoloogia Näiteks Mobile T2, ..., Tn, ja oleks Pentium III): siis Th on T1, T2, ..., Tn vähim ühiskordne turvalisuse tagamiseks) väiksem (rohkem tegevust ühe takti jooksul) 2 pinge/sageduse paari Olgu: tagamiseks). väiksem pi ülesande Ti periood, töökiirus madalam toitepinge
1. Valitakse sobiv koodi pikkus n=2m-1 2. Sõltuvalt vajadusest määratakse parandavate vigade kordsus 1. 3. Leitakse korpuse GF(2m) primitiivne element . 4. Leitakse korpuse GF(2m) primitiivse elemendi minimaalne hulkliige M(z). 5. Korrastatakse korpuse GF(2m) elemendid ßi ,i=[1,..,2m-1] primitiivse elemendi minimaalse hulkliikme M(z) abil. 6. Moodustatakse tekitav hulkliige gr(z): gr(z)= VÜK [M(z)* M+1(z)*...* M+2I(z)] VÜK-vähim ühiskordne Kui tekitav hulkliige on moodustatud, võib BCH koodi koostada kas eraldamatu või eraldatava (süstemaatilise) koodina, vastavalt algoritmidele: Eraldamatu BCH-vastavalt eraldamatu tsükkelkoodi algoritmile -> Algoritm: yn-1(z)= xk- 1(z)gr(z) Eraldatav BCH- vastavalt siis yn-1(z)= xk-1(z)zr + Rr-1(z) 51. BCH koodi dekodeerimise põhivõtted. (raamat lk. 61-71) *Dekodeerimiseks vajalikud võrrandid saame siis, kui on valitud vastavate omadustega tekitav hulkliige.
-6 © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 4 PERIOODILISED FUNKTSIOONID Funktsiooni nimetatakse perioodiliseks perioodiga T, kui iga x korral määramispiirkonnast kehtib võrdus f(x + T) = f(x). 1. Leiame funktsiooni f(x) = sin 3x + sin 4x perioodi. Funktsiooni f(x) periood on liidetavate funktsioonide perioodide vähim ühiskordne. Kui g(x) = sin 3x, siis T1 = 2:3 ja kui k(x) = sin 4x, siis T2 = 2 : 4 = : 2. Seega otsitav periood on 2. 2 0 2 2. Leiame funktsiooni y = sin (1,5x – 18)perioodi. 2 4 Siin T = 1.5 = 3 . Perioodi leidmiseks võib lahendada ka võrrandi sin (1,5x – 18) = sin [1,5(x + T) – 18]. 4
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
