1x+2y+3z on kõrgemat järku l.k.s. kui Def: Kui f-ni täismuut avaldub kujul * (kahe liidetava summana) millest esimene on lineaarne x, y ja z suhtes ja teine liidetav on kõrgemat järku l.k.s. x, y, z suhtes siis seda esimest liidetavat nim kolme muutuja f-ni täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d=/xx+/yy+/zz. Kui =x siis /x=1; /y=0; /z=0 ja dx=1x+0y+0z=x Sõltumatu muutuja x suhtes langevad täisdif ja x-muut kokku. =y(x) ning seega dy(z)=y(z) d=/ xdx+/ ydy+/ zdz. Kui z=(x; y) siis dz=z/xdx+z/ydy. Nüüd kirjutada avaldise * kahe muutuja f-ni jaoks z=z/xx+z/yy+1x+2y; 1x+2y=0 siis zz/xx+z/yy (zdz) ja (x+x; y+y)-(x; y)z/xx+z/yy ja saab valemi: (x+x; y+y) (x; y) +z/ x x+z/ y y Ilmutuamata f-ni osatuletis F(x; y)=0 (1) F-n on pidev ja on olemas pidevad osatuletised Fx; Fy ja et Fy0. F(x+x; y+y)=0 (2) (2)-(1)=F(x+x; y+y)- F(x; y)=0. F=F/xx+F/yy+1x+2y=0. (F/y+2)y=-(F/x+1)x/:(F/y+2)x eeldusel et
y=y(s) Kui eksisteerivad integraalid f(P)dS ja g(P)dS ning f(P) <= g(P), P c D, siis f(P)dS <= g(P)dS. z=z(s) Kui eksisteerib integraal f(P)dS ning leiduvad konstandid m ja M, nii et m<= f(P) <= M, P c D, siis mS D <= f(P)dS s c [a,b], ning X, Y ja Z on pidevad funktsioonid, siis Xdx + Ydy + Zdz = ab(Xcos 1 + Ycos 2 + Zcos 3)ds kus cos 1, cos 2 ja <= MSD. cos 3 on vektori dr = (dx,dy,dz) suunakoosinused. Sirgestuva joone korral kehtivad järgmised väited
kujul: (joon) AB: y=y(x); a x b; dy=ydx Xdx + Ydy = [ X ( x; y ( x )) + Y ( x; y ( x )) y]dx AB a Param. kujul: AB:x=x(t); y=y(t), t , dx=xdt; dy=ydt Xdx + Ydy = [ X ( x(t ); y (t )) x + Y ( x(t ); y (t ) y ]dt . Ruumiline joon: AB:x=x(t); y=y(t); z=z(t); AB t Xdx + Ydy + Zdz = [ X ( x (t ); y (t ); z (t )) x + Y ( x (t ); y (t ); z (t ) y + Z ( x (t ); y (t ); z (t )) z ]dt AB . Omadused: (1) (joon) AB Xdx + Ydy = Zdx + Ydy + Xdx + Ydy (2) AB CB Xdx + Ydy = - Xdx + Ydy AB BA Greeni valem
c) -1< f3(yt)<0 ostsilleerub, koondub, d) f2(yt)<-1 ostsilleerub, hajub. Algebraline märk näitab, kas ajagraafik ostsilleerub või mitte. Abs.väärtus(tõusul) määrab kas koondub või mitte. Fn-i (täis)dif-i majanduslik tõlgendus:Olgu majandusnäitajate x,y,z vahelise seost kirjeldav fn kahemuutuja fn Z=f(x,y),millel on osatuletised ZxjaZy.Küllalt väikeste argumendi muutude x=dx ja y=dy korral kehtib ligikaudu võrdus zdz,kus z on fn-i täismuut.z=f(x+x;y+y)-t(x,y) dz=Zxdx+Zydy. Kuna argumentide x ja y piisavalt väikesteks muutusteks võib lugeda nende muutust ühiku võrra,siis seosest zdz järeldub, et majanduslikult annab täisdif vastava fn-i z=f(x,y)ligikaudse muudu argumendi x ja y väärtuste ühe ühikulise muutuse korralMajanduslikus mõttes annab diferentsiaal vastava fn-i Y=f(X)ligikaudse muudu argumendi x väärtuse ühe ühikulise muutuse korral.
, u1>u2>u3>... n . Xdx +Ydy +Zdz x0 y0 , . ,
yC=(1/mAB)ʃAByp(x,y,z)ds zC=(1/mAB)ʃABzp(x,y,z)ds Tasandilise kujundi pindala: Kui piirkond D on märgitud joonega L, mis antud võrrnditega x=x(t) ja y=y(t), tЄ[α;β], siis pindala saab valemitest: S=§xdy ; S=-§ydx ; S=1/2§xdy-ydx Muutuva jõu poolt kõverjoonel tehtud töö: Liikugu punkt P(x,y,z) massiga m mööda joont AB jõu F toimel, mis selle punkti liikumisel muutub nii suuruse kui sihi poolest. F=[X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z)] Jõu F poolt tehtud töö: W=mʃABXdx+Ydy+Zdz 15. I liiki pindintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu R3 antud pind Ω(pind, kus igas pt-s on võimalik leida puutujatasand ja normaal) Jagame pinna Ω n siledaks osaks Δσ1, Δσ2, … Δσn, kus ΔSi tähistab tüki Δσi pindala. Olgu pinnal antud funktsioon f(P)=f(x,y,z). Moodustame integraalsumma: VALEM, kus PiЄΔσi. Olgu λi osapiirkonna Δσi diameeter. DEF. Kui sellel summal on olemas maxλi→0 korral piirväärtus sõltumata
summana, millest üks on x ja y suhtes lineaarne ja teine on p suhtes kõrgemat järku lõpmatult vähenev suutus. Funktsiooni muudu lineaarset osa nim. funktsiooni täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dz või df. Võrdusest järeldub, et kui funktsioonil f(x,y) on antud punktis pidevad osatuletised, siis ta on selles punktis diferentseeruv ja tal leidub täisdiferentsiaal. Sama võrduse põhjal saame ligikaudse võrduse zdz, mille viga on p suhtes kõrgemat järku lõpmatult vähenev suurus. Sõltumatute muutujate muute x ja y nim. sõltumatute muutujate x ja y diferentsiaalideks ja tähistatakse vastavalt dx ja dy. Seega, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised, siis ta on punktis (x;y) diferentseeruv ja tema täisdiferentsiaal võrdub osatuletiste ning vastavate sõltumatute muutujate diferentsiaalide korrutiste summaga, kusjuures
püstuvuse arvutustes. Pinnamomentide integreerimisel kiilupinnast kuni veeliinitasandini, mis on mahuliseks muudetud T korrutades, jagades mahulise veeväljasurvega, arvutatakse KB : M xy (T ) 2 (T ) 2 T 1 [ ] int( AWP T ) . KB = = AWP zdz AWP1 + 2 AWP 2 + 3 AWP 3 + ... + n AWPn = 2 2 2.3.4. Täiendavate hüdrostaatiliste elementide arvutusvalemid 1. Metatsentriraadius e. põik metatsentriraadius on BM Jx
z +b 2 dz + 2 z + b2 dz = P 2z R dz = 2 dz + 2 = 2 z + b2 b z 2 +1 b P R z = ln z 2 + b 2 + arctan + C 2 b b P 2z 2 z + b2 2 dz u = z 2 + b2 du = 2 zdz P 2z P du P 2 z +b2 2 dz = 2 u = ln u + C = 2 P P = ln z 2 + b 2 + C = ln x 2 + px + q + C 2 2 Rdz R dz z 1 z 2 + b 2 = b 2 z 2 t= b dt = dz dz = b dt b
2 grad E p = -i kx = -Fel . Tsentraalse raskusjõu väljas kasutame potentsiaalse energia jaoks valemit (5.30a). Sellest koordinaadi x järgi tuletist arvutades kasutame liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja: E p dE p r = . x dr x Et r x r 2 = x 2 + y 2 + z 2 rdr = xdx + ydy + zdz = . x r Teiselt poolt E p GMm = . x r2 Kolme viimast valemit arvutades saame raskusjõu avaldise ( ) GMm GMm Fg = - 3 i x + j y + k z = - 3 r , r r 10 tema moodul võrdub GMm
dz + 2 z + b2 dz = P 2z R dz = 2 dz + 2 = 2 z +b 2 b z 2 +1 b P R z = ln z 2 + b 2 + arctan + C 2 b b P 2z 2 z + b2 2 dz u = z 2 + b2 du = 2 zdz P 2z P du P 2 z +b2 2 dz = 2 u = ln u + C = 2 P P = ln z 2 + b 2 + C = ln x 2 + px + q + C 2 2 Rdz R dz z 1 z 2 + b 2 = b 2 z 2 t= b dt = dz dz = b dt b
(,3X2L* ;->/2 >-<
f ( x, y, z )dxdy = f ( x, y, z( x, y))dxdy xy Seoseid pindintegraalide ja teiste integraalide vahel Kolmekordse int-ga: Xdydz + Ydzdx + Zdxdy = ( X x + Y y + Z z )dxdydz - Gauss-Ostrogradri D valem. Kui rajajoon, siis seos joonintegraaliga: Stokasi valem: (Z y - Yz )dydz + ( X z - Z x )dxdz + (Yx - X y )dxdy = Xdx + Ydy + Zdz +L +L sõltub int pinna poolest. Kui xy-tasandil, siis z=0 ja Stokasi valem taandub Greeni valemiks. Arvridade teooria põhimõisteid Vaateleme reaalarvudest mood lõpmatut jada u1+ u2+ ... +un+... = u n nim lõpmatuks n =1
0 0 2.2.4.2 Muutuva jõu poolt kõverjoonelisel teel tehtud töö. Liikugu materiaalne punkt P x, y, z massiga m mööda joont AB jõu F toimel, mis punti P liikumisel muutub nii suuruse kui ka sihi poolest, s.t. F X x, y, z , Y x, y, z , Z x, y, z . Siis jõu F poolt tehtud töö W on arvutatav valemist W m Xdx Ydy Zdz AB Näide 53. Määrata raskusjõu G poolt tehtud töö W massi m liikumisel mööda suvalist teed L punktist A a 1 , a 2 , a 3 punkti B b 1 , b 2 , b 3 Raskusjõu projektsioonid koordinaatttelgedele on X 0, Y 0, Z g. Seega tehtud töö on b3
∂E p r r r grad E p = − i = −i kx = − Fel . ∂x Tsentraalse raskusjõu väljas kasutame potentsiaalse energia jaoks valemit (5.30a). Sellest koordinaadi x järgi tuletist arvutades kasutame liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja: ∂E p dE p ∂r = . ∂x dr ∂x Et ∂r x r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ⇒ rdr = xdx + ydy + zdz ⇒ = . ∂x r Arvutades valemist (5.30a) tuletise kauguse r järgi, saame dE p GMm = . dr r2 Kolme viimast valemit arvutades saame raskusjõu avaldise ( ) r GMm r r r GMm r Fg = − 3 i x + j y + k z = − 3 r , r r tema moodul võrdub GMm Fg = 2 , r mis langeb kokku Newtoni gravitatsiooniseadusega. Märkus
annaabi.ee 
