Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm kordajateks, arve b1 , b2 ,..., bm aga süsteemi vabaliikmeteks. Arve c1 , c 2 ,..., c n , mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks. Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks. 2. Substitutsiooni definitsioon, näide. Inversiooni definitsioon, näide. N-järku determinandi definitsioon.
kolmandal ja neljandal korral? Lineaarne võrrandisüsteem Definitsioon Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ............................................. (2) am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm Arve b1, b2 , ... , bm nimetatakse võrrandisüsteemi (2) vabaliikmeteks, arve aij aga kordajateks. Definitsioon Arve c1, c2 , ... , cn , mis rahuldavad süsteemi (2) kõiki võrrandeid, nimetatakse selle võrrandisüsteemi lahendiks. Lineaarne võrrandisüsteem Näide Lineaarse võrrandisüsteemi - x1 + x2 + 2 x3 = 1 2 x1 - x2 + 3 x3 = -2 üheks lahendiks on (0; 7/5; -1/5) . Lahendiks on aga ka vektorid (d; 7/5(1 + d); -1/5(1 + d), kus d on suvaline reaalarv. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju Definitsioon
(abimuutujad, ülejäägi näitajad) 3) Kui mõne muutuja kohta pole esitatud mittenegatiivsuse nõuet, siis seda võib defineerida kahe mittenegatiivse muutuja vahena x2=x2´-x2´´ x2 ≥0, x2´´≥0 LPÜ-ga duaalne ülesanne max-põhikujul LPÜ duaalne ülesanne 1. Esialgse ül igale kitsenduele seame vastavusse duaalse ül tundmatud: y1, y2,..,ym 2. Duaalse ül kitsenduste süsteemi vabaliikmeteks on esialgse ül sihifunktsiooni kordajad c1,c2 Duaalse ül kitsenduste arv sõltub esialgse ül muutujate arvuga 3. DÜ kitsenduste süsteemi kordajate maatriks on esialgse ül kitsenduste süsteemi kordajate maatriksi transponeeritud kuju. 4. DÜ nõutakse sihifunktsiooni miinimumi. 5. Max –põhikujulise ül duaalse ül kõik kitsendused on võrratused ≥ 6. Max-põhikujulise ül DÜ muutujuatelt yi nõutakse mittenegatiivsust yi ≥0 1
.. + amn ym cn y1 0, y2 0, , ..., ym 0 Duaalse ülesande lahendamine: 1. Esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,..., xn) seada vastavusse sama arv tingimusi. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , ... , bm). 4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunktsiooni kordajad cj ( c1 , c2 , ... , cn ). 5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega 1. a11 a12 ... a1n 2. A = a21 a22 ... a2n 3. ........................... 4. am1 am2 ... amn 5. 6. a11 a21 ..
1. Esialgse ülesande igale tingimusele seada vastavusse duaalse ülesande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi duaalses ülesandes. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmed bi (b1 , b2 , … , bm). 4. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi vabaliikmeteks võtta esialgse ülesande sihifunktsiooni kordajad cj (). cccn12,,..., 5. Duaalse ülesande tingimustesüsteemi kordajate maatriksi saamiseks transponeerida esialgse ülesande tingimustesüsteemi tundmatute kordajate maatriks, seega 6. Duaalse ülesande sihifunktsiooni väärtusele w nõuda miinimumi, kui esialgse ülesande sihifunktsiooni väärtusele z nõutakse maksimumi; ja vastupidi. 7. Duaalse ülesande j-nda tingimuse märk ( ≤ , ≥ või = ) määratakse esialgse
1n 1 2n 2 mn m m x k 0. y i 0. Duaalse ülesande koostamise põhireeglid: 1. Igale algülesande kitsendusele vastab duaalse ülesande muutuja ja vastupidi; igale algülesande muutujale vastab duaalse ülesande kitsendus. 2. Algülesande sihifunktsiooni kordajad on duaalse ülesande vabaliikmeteks ja vastupidi; algülesande vabaliikmed on duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks, kusjuures maksimum muutub miinimumiks või vastupidi. 3. Algülesande ja duaalse ülesande kitsenduste süsteemi maatriksid on teineteise suhtes transponeeritud, Kusjuures võrratuste märgid muutuvad vastupidisteks. 4. Juhul kui algülesandes esinevad mõlemasuunalised võrratused, siis enne
1n 1 2n 2 mn m m x k 0. y i 0. Duaalse ülesande koostamise põhireeglid: 1. Igale algülesande kitsendusele vastab duaalse ülesande muutuja ja vastupidi; igale algülesande muutujale vastab duaalse ülesande kitsendus. 2. Algülesande sihifunktsiooni kordajad on duaalse ülesande vabaliikmeteks ja vastupidi; algülesande vabaliikmed on duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks, kusjuures maksimum muutub miinimumiks või vastupidi. 3. Algülesande ja duaalse ülesande kitsenduste süsteemi maatriksid on teineteise suhtes transponeeritud, Kusjuures võrratuste märgid muutuvad vastupidisteks. 4. Juhul kui algülesandes esinevad mõlemasuunalised võrratused, siis enne duaalse ülesande koostamist muudetakse võrratused samasuunalisteks:
Tema üldkuju on a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 (3) LLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm Arve aij nimetatakse võrrandisüsteemi (3) kordajateks, arve b1 , b2 , ... , bm aga süsteemi (3) vabaliikmeteks. Def. 3. Arve c1 , c2 , ... , cn , mis rahuldavad süsteemi (3) kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (3) lahendiks. Ka süsteemi (3) lahendit vaadeldakse aritmeetilise vektorina ( c1 ; c2 ; ... ; cn ) , aga teda kirjutatakse ka kujul (2). Def. 4. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit a11 a12 K a1n
koosnevat süsteemi , mille ülkuju on a11 x1 + a12 x 2 + .......... + a1n x n = b1 a x + a x + .......... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + .......... + a mn x n = bm (6.1.) Arve aij nimetatakse võrrandisüsteemi kordajateks, arve b1 ... bm vabaliikmeteks , x1, ...xn tundmatuteks (aij, bi, x j R, i = 1,...,m; j = 1,...,n). Süsteem (1) on m võrrandist ja n tundmatust koosnev lineaarvõrrandite süsteem. Arve c1,..., cn , mis rahuldavad süsteemi (6.1) kõik võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (6.1) lahendiks : x1 = c1 x = c 2 2 x n = c n
1. LVS lahendid Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi , mille ülkuju on a11 x1 + a12 x 2 +.......... + a1n x n = b1 a x + a x +.......... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 +.......... + a mn x n = bm (6.1.) Arve aij nimetatakse võrrandisüsteemi kordajateks, arve b1 ... bm vabaliikmeteks , x1,...xn tundmatuteks (aij, bi, x j R, i = 1,...,m; j = 1,...,n). Süsteem (1) on m võrrandist ja n tundmatust koosnev lineaarvõrrandite süsteem. Arve c1,..., cn , mis rahuldavad süsteemi (6.1) kõik võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (6.1) lahendiks : x1 = c1 x = c 2 2 (6.2) xn = cn
Näiteks oleme ju täiesti unustanud, milline on laulupeo ajal ilm või kuidas keegi riides on, ja seda õigustatult. Võrrandi moodustavad 1. mõned muutujad ehk meile veel tundmata väärtusega suuru- sed [lk 48]; 2. mõned arvud, mida kutsutakse kordajateks, kui nad korrutavad läbi mõnda muutujat, ning vabaliikmeteks, kui nad on omapäi; 3. võrdusmärk „=”, mis neid muutujaid ja arve omavahel seosesse seab. Näiteks meie võrrandis on kaks muutujat: ja , arv 3 on meie võrrandis kordajaks ja ühtegi vabaliiget nagu polegi. 168 Kui tahaksime juurde lisada tingimuse, et 100 ruutmeetrit peab siiski ka orkestri tarvis jääma, peaksime lauljatele mõeldud ruutmeetrite arvu 100 võrra vähendama
annaabi.ee 
