Mis on universaalhulk? Universaalhulk on hulk, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Mis on hulga täiend? Hulga täiendi moodustavad elemendid, mis ei kuulu vastavasse hulka. Milline hulk on tühihulk? Hulk, milles elemendid puuduvad. Millised hulgad on alati iga hulga osahulgaks? Tühihulk on iga hulga osahulgaks ja iga hulk on alati iseenda osahulk. Millise hulga osahulk on iga hulk? Peaks vast olema et iga hulk on universaalhulga osahulk. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on selle hulga kõikide osahulkade hulk. Mitu elementi on n elemendilise hulga astmehulgas? 2n elementi. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Lõplik hulk sisaldab kindla arvu elemente. Millsit hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult palju elemente? Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks? Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve. Mis on loendamine?
Hulga osahulgaks nimetetakse seda hulka, mis täielikult sisaldub teise hulga sees. Kaks hulka on üksteise osahulkadeks, kui nad on võrdsed. Venni diagramm on hulkade illustratiivne esitusviis. Universaalhulk on hulk ning tema täiend. Hulga täiend on kõik hulgaelemendid, mis ei kuulu sellesse hulka. Tühi hulk on hulk, kus pole ühtegi hulgaelementi. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Iga hulk on universaalhulga osahulgaks. Astmehulk on hulga kõikide osahulkade hulk. Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente. Loenduv hulk on hulk, mille igale elemendile saav vastavusse seada nat. arv. Hulgaaritmeetilised tehted on ühend, ühisosa, täiend, vahe ja sümmeetriline vahe. Korrutamine on nagu ühisosa.
Kasutatud kirjandus ................................................... 36 1.1 Hägusad hulgad 4 1. Hägusad süsteemid 1.1 Hägusad hulgad Hägusa hulga mõiste ja vastav teooria pärineb L.A. Zadeh'lt [1]. Hägus hulgateooria kujutab endast klassikalise hulgateooria laiendust, mis avaldub järgnevas: klassikalises hulgateoorias on element x kas hulga A (mis on omakorda kõiki võimalikke elemente koondava universaalhulga X alamhulk) liige või pole seda, muud võimalust ei ole. Elemendi x liikmesust hulka A saab seega esitada järgmiselt: 1, if x A (1) µ A ( x) = . 0, if x A Reaalne elu pakub seevastu näiteid, kus taoline üheselt määratud liikmesus pole hulgakuuluvuse kirjeldamiseks piisavalt paindlik, kuna
3. Assotsiatiivsus a. (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 4. Distributiivsus a. A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 5. Neelduvus a. A(AB)=A A(AB)=A Universaalhulk: Tihti on käsitluses fikseeritud teatav hulk X ja kõik vaadeldavad hulgad on selle hulga alamhulgad. Sellisel juhul nimetatakse hulka X universaalseks. Hulga A täiendiks nimetatakse hulka A'=XA. (universaalhulga X suhtes) Täiendi omadused: 1. De Morgani seadused a. (AB)'=A'B' (AB)'=A'B' 2. Kahekordse täiendi seadus a. A''=A 3. Universaalse hulga ja tühja hulga reeglid a. '=X X'= AA'=X AA'= Kahe hulga A ja B vaheks nimetatakse hulka AB, mis koosneb kõigist niisugustest elementidest, mis kuuluvad hulka A, aga ei kuulu hulka B. AB={x:x A ja x B}
hulgad/süsteemid, tehisnärvivõrgud, mudel≡programm). Hägus hulgateooria on klassikalise hulgateooria üldistus. 1965-Lofti Zadeh -> matemaatiline baas lingvistiliste teadmiste esitamiseks ja manipuleerimiseks (hägusate hulkade teooria, hägusloogika, ligikaudne arutlus). Hägus hulgateooria kujutab endast klassikalise hulgateooria laiendust, mis avaldub järgnevas: klassikalises hulgateoorias on element x kas hulga A (mis on omakorda kõiki võimalikke elemente koondava universaalhulga X alamhulk) liige või pole seda, muud võimalust ei ole. Elemendi x liikmesust hulka A saab seega esitada järgmiselt – kas x kuulub A-sse või mitte. Reaalne elu pakub seevastu näiteid, kus taoline üheselt määratud liikmesus pole hulgakuuluvuse kirjeldamiseks piisavalt paindlik, kuna sellest tuleneb järsk piir kuuluvuse ja mittekuuluvuse vahel. Tüüpiline näide oleks situatsioon, kus lähtuvalt inimese vanusest peame järeldama, kas tegu on noore inimesega .
hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴⊂𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴⊂𝐵∧𝐵⊂𝐴)↔𝐴≡𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Universaalhulk võeti kasutusele hulka mittekuuluvate elementide esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅⊂𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi
element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴 ⊂ 𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴) ↔ 𝐴 ≡ 𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Universaalhulk võeti kasutusele hulka mittekuuluvate elementide esitamiseks. Hulka A mittekuuluvad elemendid mood. hulga A täiendi 𝐴̅. Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅ ⊂ 𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2 𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik,
I I B C A B või A D C D 12. Mis on universaalhulk? Universaalhulk on kõigi hulkade hulk. 13. Mis on hulga täiend? Hulka mittekuuluvad elemendid. 14. Millise hulga osahulgaks on iga hulk? Iga hulk on iseenda osahulk ning universaalhulga osahulk. 15. Mitu erinevat osahulka on n-elemendilisel hulgal? Igal hulgal on osahulka. 16. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on hulga kõigi osahulkade hulk. 17. Mitu elementi on n-elemendilise hulga astmehulgas? elementi. 18. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. 19. Millist hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. 20. Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks
A :U {0,1 } funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , kus ¿ A (x )={1,kui x A 0, kui x U Universaalse hulga U kaks alamhulka A ja B on võrdsed parajasti siis, kui neil on sama karakteristlik funktsioon, s.t A=B A (x)= B ( x), x U . Näide: Tühja hulga karakteristlik funktsioon on konstantne funktsioon 0; Näide: Universaalhulga U karakteristlik funktsioon on konstantne funktsioon 1. Karakteristliku funktsiooni omadused Lause Olgu U universaalne hulk ja A , B U . Siis iga x , y U korral 1. A(x) · A(x) = A(x); 2. A'(x) = UA(x) = 1 - A(x); 3. AB(x) = A(x) · B(x) = min{A(x), B(x)}; 4. AB(x) = A(x) + B(x) - A(x) · B(x) = max{A(x), B(x)}; 5. AB(x) = A(x) - A(x) · B(x); 6. AB(x) = A(x) + B(x) - 2A(x) · B(x); 7. A×B((x, y)) = A(x) · B(y). TÕESTUS
kategoorilised süllogismid, sest asüllogistiliste arutluste mõlemad eeldused ei ole atributiivsed lihtväited. N9.8. Kõik hotellid on nii kallid kui ka depressiivsed. Mõned hotellid on viletsad. Seega on mõned kallid asjad viletsad. Lahenduseks fikseerime interpretatsiooni: Hx – x on hotell; Kx – x on kallis; Dx – x on depressiivne; Vx – x on vilets; c on indiviidikonstant. Lisaks märgime, et asi kui indiviidikonstandi interpretatsioon on universaalhulga element. 1. ∀x [Hx → (Kx & Dx)] (e) 2. ∃x (Hx & Vx) (e) ∴ ∃x (Kx & Vx) 3. Hc & Vc (2.; EI) 4. Hc → (Kc & Dc) (1.; UI) 5. Hc (3.; Simp) 6. Kc & Dc (4., 5.; MP) 7. Kc (6.; Simp) 8. Vc & Hc (3.; Com) 9. Vc (8.; Simp) 10. Kc & Vc (7., 9.; Conj) 11. ∃x (Kx & Vx) (10.; EG) N9.9. Kõik filosoofid on pikad või mittepikad. Kõik filosoofid on lühikesed või mittelühikesed. Seega on mõned pikad või mittepikad asjad lühikesed või mittelühikesed.
kategoorilised süllogismid, sest asüllogistiliste arutluste mõlemad eeldused ei ole atributiivsed lihtväited. N9.8. Kõik hotellid on nii kallid kui ka depressiivsed. Mõned hotellid on viletsad. Seega on mõned kallid asjad viletsad. Lahenduseks fikseerime interpretatsiooni: Hx x on hotell; Kx x on kallis; Dx x on depressiivne; Vx x on vilets; c on indiviidikonstant. Lisaks märgime, et asi kui indiviidikonstandi interpretatsioon on universaalhulga element. 1. x [Hx (Kx & Dx)] (e) 2. x (Hx & Vx) (e) x (Kx & Vx) 3. Hc & Vc (2.; EI) 4. Hc (Kc & Dc) (1.; UI) 5. Hc (3.; Simp) 6. Kc & Dc (4., 5.; MP) 7. Kc (6.; Simp) 8. Vc & Hc (3.; Com) 9. Vc (8.; Simp) 10. Kc & Vc (7., 9.; Conj) 11
annaabi.ee 
