definitsioonid. Vektorite hulga lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Eukleidiline vektorruum Vektorite skalaarkorrutis. Cauchy-Bunjakovski võrratus. Ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. Meetriline maatriks, vektorite skalaarkorrutise leidmine analüütilisel kujul. Ortogonaalsete vektorite süsteemid Ortogonaalsete vektorite süsteemide lineaarne sõltumatus. Ristbaas. Suunakoosinused. Vektorite vektorkorrutis ja segakorrutis Vektorite vektorkorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Vektorite segakorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Sirge ja tasand ruumis Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanoonilised võrrandid. Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid. Tasandi üldvõrrand. Sirge esitamine kahe tasandi lõikejoonena.
valitud mõõtkavas ja seejärel mõõtes resultandi joonisel. Üldjuhul toimub resultandi ja suuna määramine arvutuslikult, kasutades vektoralgebra teoreemi: summavektori projektsioon koordinaatteljel võrdub liidetavate vektorite projektsioonide algebralise summaga. Ruumilise jõusüsteemi korral: Fres x =F1x + F2x + ... Fix (sama ka Fres y ja z) ; resultandi moodul: Fres=F2resx+F2resy+F2resz ja resultandi suunakoosinused: cos =cos(x, Fres) = Fres x / Fres (cos on y ja cos on z) Süsteemi tasakaal Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. Seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres=0. see avaldis on koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus vektorkujul. Tasakaalutingimuse geomeetriliseks kujuks on nõue, et jõuhulknurgas viimase jõu lõpp ühtiks esimese algusega, st. et jõuhulknurk oleks kinnine (joon1) Vektorvõrdus on samaväärne kolme skalaarsega: Fres x=0, Fres y=0, Fres z=0
limt0(~r/t)=d~r/dt=(~r)` Kiiruse dimensioon m/s. (Punkti kiirus on vektor ~v, mille suund on piki trajektoori puutujat punkti liikumise suunas). B) Koordinaatviis - x= x(t), y= y(t), z= z(t). ~r=x~i+y~j+z~k. ~v=d~r/dt= dx/dt*~i+ dy/dt*~j+ dz/dt*~k C) Punkti kiirus polaarkoordinaatides (radiaal- ja transversaalkiirus): r=r(t), =(t) radiaalkiirus - vr=r`; transversaalkiirus - vp= r*` 22. Punkti kiirendus. Kiirenduse leidmine vektorviisil. Kiirenduse moodul ja suunakoosinused. Kiirendus koordinaatviisil. Kiirenduse leidmine polaarkoordinaatides. Kiirenduse leidmine loomulikul viisil. Normaal- ja tangentsiaalkiiredus. *Punkti kiirendus - Punkti kiirenduseks ~a nimetatakse kiiruse juurdekasvu ~v ja aja juurdekasvu t suhte piirväärtust tingimusel, et aja juurdekasv läheneb nullile. *Kiirenduse leidmine vektorviisil: ~a= ~v`=~r`` *Kiirenduse moodul ja suunakoosinused: moodul: a=(ax2+ay2+az2 )=(x``)2+(y``)2+(z``)2
8. Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis Teoreem: resultandi projektsioon koordinaatteljel võrdub liidetavate vektorite projektsioonide algebralise summaga Fres,x= F1x+F2x + ...=SFx ; Fres,y= F1y+F2y + ...=SFy ; Fres,z= F1z+F2z + ...=SFz Fres = Fres 2 , x + Fres, y + Fres , z , 2 2 9. Resultandi moodul 10. resultandi suunakoosinused cos a = cos(x, Fres)= Fres,x / Fres; cos b = cos(y, Fres)= Fres,y / Fres; cos g = cos(z, Fres)= Fres,z / Fres. Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: kolm mitteparalleelset jõudu saavad olla tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad paiknevad ühes tasandis ja nende mõjusirged lõikuvad ühes punktis. 11. Jõu moment telje suhtes Jõu pöördevõime sõltub jõu suurusest F ja õlast h. Jõu pöördevõimet iseloomustavat skalaarset korrutist Fh nimetatakse jõu momendiks telje suhtes
..+anbn On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel. 16) Cauchy-Bunjakovski võrratus. Põhilised meetrilised suurused: vektori pikkus, ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. b 2 2 b 2 ¿ ) 17) Ortogonaalsed vektorite süsteemid. Ristbaas. Vektori suunakoosinused. On eukleidilises vektoriruumis V.ortogonaalsed vektorin on lineaarselt sõltumatud.ühik vektor ° ° on normeerimine.kui on kui tema pikkus on võrdne 1,tähistatakse ,üleminek ühikvektoritele,see ongi ortogonaalne vektorisüsteem. 18) Afiinse ja eukleidiline punktiruum. Reeperi mõiste ja punkti koordinaadid reeperi suhtes. Ristreeper. Afiinne ruum-A=(V,P) paar (V-vektorruum,P-hulk)
Mistahes järku osatuletised z=(x; y) ja osatuletised on vastavalt z/x ja z/y 2z/x2=/x(z/x); 2z/xy=/y(z/x); 2z/yx=/x(z/y); 2z/y2=/y(z/y); nz/xn=/x(n-1z/xn-1) Teoreem: Kui 2-muutuja f-n z=(x; y) on olemas z/x; z/y; 2z/x2; 2z/yx pidevad siis 2z/xy=2z/yx Tuletis antud suunas z=(x; y) (joon) z=z/xx+z/yy+1x+2y /:s (s on pikkus s=x2+y2 ja x/s=cos ning y/s=cos (joon). Asendades valemisse saab: z/s=z/xx/s+z/yy/s+1x/s+2y/s [cos, cos-vektori s suunakoosinused s°- vektori s suunaline ühikvektor s°=(cos; cos)=(x/s; y/s)] z/s=z/xcos+z/ycos+1cos+2cos Def: Piirv- st s0 suhtest z/s nim kahe muutuja f-ni z=(x; y) tuletiseks vektori s suunas ja tähistatakse z/s. Seega z z = lim ja z/s=z/xcos+z/ycos . Kui on antud w=(x; y; z) siis s°=(cos;cos;cos) ja s s 0 s w/s=w/xcos+w/ycos+w/zcos Gradient w=(x; y; z) skalaarväli (määrab ära) gradw=(w/x; w/y; w/z) gradient määrab vektorvälja. Gradientvektor e gradient.
8. Jõudude liitmine Kuna jõud on vektor, siis toimub jõudude liitmine täpselt samuti kui vektorite liitmine: R =En,i=1,=Fi. Geomeetriline liitmine. Jõudude geomeetriliseks liitmiseks tuleb konstrueerida jõurööpkülik või jõuhulknurk. Analüütiline liitmine. Jõudude analüütiliseks liitmiseks tuleb kõik liidetavad jõud projekteerida koordinaattelgedele, liita saadud projektsioonid ning seejärel arvutada resultandi moodul ja suunakoosinused. 9. Jõu projektsioon teljel ja tasapinnal. Jõu projektsioon teljel on skalaar. Vastavalt definitsioonile on vektori projektsioon võrdne teljesuunalise ühikvektori ja selle vektori skalaarkorrutisega. Jõu projektsioon tasandil on vektor. 10. Koonduvate jõudude tasakaal. Tasakaalutingimuse geomeetriliseks kujuks on nõue, et jõuhulknurgas viimase jõu lõpp ühtiks esimese algusega, s.t jõuhulknurk oleks kinnine.Vektorvõrdus on
u = du + ( ) = x + y + z + ( ) x y z Jagame võrduse -ga. u u x u y u z ( ) = + + + x y z ( ) lim =0 0 ? Vaatleme vektorit = PQ = { x, y , z} siit saame x y z cos = , cos = , cos = ? need on vektori = PQ suunakoosinused cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 x y z Ühikvektori e = = ; ; = { cos , cos , cos } koordinaatideks on suunakoosinused. ? Ka vektori s suuna ühikvektori koordinaatideks on suunakoosinused s s = = { cos,cos , cos } s s1 s2 s3 ? cos = , cos = , cos = , s = s12 + s 22 + s32 s s s Järelikult u u u u ( ) (10.2)
y = y (t ) z = z (t ) siis leiame neist teised tuletised aja t järgi ja korrutame seejärel massiga m. Sellega on jõu projektsioonid Fx , Fy ja Fz leitud. Kogujõud moodulilt on siis 2 2 2 F = Fx + Fy + Fz (3.2) jõu F suunakoosinused on Fx Fy Fz cos = ; cos = ; cos = (3.3) F F F Valemid (3.2) ja (3.3) määravad punktile mõjuva jõu täielikult, nii suuruselt kui ka suunalt. Mõnikord on aga kasulikum põhiseaduse vektorvõrrandi (2.1) projekteerida mitte Descartes'i telgedele, vaid hoopis loomulikele telgedele t, n ja b
siis Analoogiline teoreem kehtib ka suvalise arvu muutujate funktsioonide puhul. 13. Tuletis antud suunas (definitsioon + korralik selgitus joonisega). Vaatleme piirkonnas D funktsiooni z=f(x,y) ja punkti M(x;y). Rakendame punktist M vektori s=(x,y), mille suunakoosinused on cos , cos . Vektori s pikkus olgu s. Seega Eeldame, er funktsioon z=f(x,y) ja tema osatuletised kõikide argumentide järgi on piirkonnas D pidevad. Esitame funktsiooni täismuudu järgmiselt: kus 1, 2 lähenevad nullile, kui s0.
z=z(s) Kui eksisteerib integraal f(P)dS ning leiduvad konstandid m ja M, nii et m<= f(P) <= M, P c D, siis mS D <= f(P)dS s c [a,b], ning X, Y ja Z on pidevad funktsioonid, siis Xdx + Ydy + Zdz = ab(Xcos 1 + Ycos 2 + Zcos 3)ds kus cos 1, cos 2 ja <= MSD. cos 3 on vektori dr = (dx,dy,dz) suunakoosinused. Sirgestuva joone korral kehtivad järgmised väited Kui eksisteerib integraal f(P)dS, D on sidus ja f c C(D), siis leidub punkt Q c D, nii et f(P)dS = f(Q)S D.
Lähtume skalaarkorrutise definitsioonist: a b a b cos . Avaldame cos : ab x1 x2 y1 y 2 z1 z2 cos . ab x y12 z12 x22 y 22 z22 2 1 SUUNAKOOSINUSED Definitsioon. Vektori suunakoosinusteks nimetatakse nende nurkade koosinusi, mis vektor moodustab koordinaattelgede positiivsete suundadega. z Tähistame cos , cos , cos . a x1 , y1 , z1 a i 1,0,0
2). ∀u ∈ V α ∈ R || α u || =|α | * ||u|| suunakoosinused. Tuletame meelde, et vektori suunakoosinued on koosinused nurkadest, mille see vektor moodustab
j¨argi ja y-telje suunas osatuletis y j¨argi. Kolme muutuja funktsiooni w = f (x, y, z) tuletise leidmiseks punktis P (x, y, z) vektori - s = (x, y, z) suunas kehtib sarnane valem. T¨ahistagu , ja vastavalt nurki vektori - s ja x-teje, vektori - s ja y-telje ning vektori - - s ja z-telje vahel. Siis vektori s suunakoosinused on cos , cos ja cos ning suunatuletis leitakse valemist w w w w - = cos + cos + cos (6.26) s x y z N¨aide 2. Leiame funktsiooni w = xy + xz + yz tuletise punktis P (1; 1; 2) suunas, mis moodustab koordinaattalgedega nurga 60 , 60 ja 45 . Arvutame osatuletised punktis P w w
annaabi.ee 
