14. kahe vektori vaheline nurk cos = cos = a b X + Y12 + Z 12 X 22 + Y22 + Z 22 1 2 15. vektorite ristseisu ( a b) tingimus: a b = 0, sest =/2, X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0 16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis
14. kahe vektori vaheline nurk cos = cos = a b X + Y12 + Z 12 X 22 + Y22 + Z 22 1 2 15. vektorite ristseisu ( a b) tingimus: a b = 0, sest =/2, X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0 16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis
KAHE VEKTORI SKALAARKORRUTIS Olgu antud vektorid a , b. Definitsioon. Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu, mis võrdub nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega: a b a b cos . Et leida skalaarkorrutist koordinaatkujul, leiame ühikvektorite skalaarkorrutised. 3 Skalaarkorrutise omadused: kommutatiivsus: ab b a ab a pra b ab b prb a b a b a cos 2 a b cos distributiivsus:
Ortonormaalne reeper: i*j = 0, kui ij ja 1, kui i=j. Eukleidilise ruumi reeperit R = (O; B), milles B = {1; ...; n} on vektorruumi V ortonormaalne baas, nimetatakse ortonormaalseks reeperiks ehk teljestikuks. = (a1; ...; an) = a11 + ... + ann = aii; = (b1; ...; bn) = b11 + ... + bnn = bjj. * = (aii) * (bjj) = (... + aii + ...) * (... + bjj + ...) = (aibj)(ij) => skalaarkorrutis on määratud, kui on teada baasivektorite skalaarkorrutised i*j. Kui reeper on ortonormaalne, siis * = aibi = a1b1 + ... + anbn Vektori pikkus |||| avaldub ortonormaalse reeperi korral kujul |||| = sqrt(*) = sqrt(a12 + a22 + ... + an2) Punktide A(a1; ...; an) ja B(b1; ...; bn) vaheline kaugus (A,B) avaldub ortonormaalse reeperi korral kujul (A,B) = ||v(AB)|| = sqrt((b1-a1)2 + ... + (bn - an)2) 30. Sirge ja tema võrrandid. Sirge võrrandid kahemõõtmelises eukleidilises ruumis. = (V,P) - n-mõõtmeline eukleidiline ruum.
raskusjõust väiksem, siis ta ei saa keha liigutada ja ei tee ka tööd. Töö arvutatakse valemist: A = Fs s = F s cos = F s . (2.15) See valem on õige sirgjoonelisel liikumisel, mil töö on defineeritud kui füüsikaline suurus, mida mõõdetakse jõu ja nihkevektori skalaarkorrutisega. Kui trajektoor ei ole sirge, siis tuleb töö arvutada eraldi väikestel trajektoori lõikudel ja saadud skalaarkorrutised liita. See tähendab integraali arvutamist, mida siinkohal lähemalt vaatlema ei hakka. Nurk võib olla nii terav- kui nürinurk, seega töö väärtus võib olla kas positiivne või negatiivne. Esimesel juhul on tegemist veojõu või kiirendava jõuga, teisel juhul aga pidurdava jõuga. Masinate töötegemise võimet iseloomustatakse võimsuse mõistega: võimsus on ajaühiku kohta tehtud töö: A N = . (2
raskusjõust väiksem, siis ta ei saa keha liigutada ja ei tee ka tööd. Töö arvutatakse valemist: A = Fs s = F s cos = F s . (2.15) See valem on õige sirgjoonelisel liikumisel, mil töö on defineeritud kui füüsikaline suurus, mida mõõdetakse jõu ja nihkevektori skalaarkorrutisega. Kui trajektoor ei ole sirge, siis tuleb töö arvutada eraldi väikestel trajektoori lõikudel ja saadud skalaarkorrutised liita. See tähendab integraali arvutamist, mida siinkohal lähemalt vaatlema ei hakka. Nurk võib olla nii terav- kui nürinurk, seega töö väärtus võib olla kas positiivne või negatiivne. Esimesel juhul on tegemist veojõu või kiirendava jõuga, teisel juhul aga pidurdava jõuga. Masinate töötegemise võimet iseloomustatakse võimsuse mõistega: võimsus on ajaühiku kohta tehtud töö: A
maatriksi (A) ridade arvuga ja veergude arv "teise" maatriksi (B) veergude arvuga Näide 5: korrutise A2 x 3 B3 x 5 tulemuseks on maatriks, millel on 2 rida ja 5 veergu. Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j
-3- Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina Tähistame maatriksi Am x n reavektorid i ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid j ( j = 1, ..., p). Definitsioon 4. Maatriksite Am x n ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit AB = (i j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite i ja j skalaarkorrutised cij = i j (maatriksi A reavektorite i ja maatriksi B veeruvektorite j vastavate elementide korrutiste summa). Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul RIDA × VEERG Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt i x j
kaugused laineallikast. Liitlaine võrrandi saame, kui liidame keskkonna mingi punkti hälbed tasakaaluasendist ( ) mingil ajahetkel . Suurusi vaatleme kui algfaase ning kasutades liitvõnkumiste amplituudide reeglit, saame vastuvõtja poolt registreeritavaks võnkeamplituudiks Kui tegemist on punktallikate poolt tekitatavate keralainetega, saab valemis olevale faasitegurile saab anda lihtsama kuju. Sel juhul langeb lainevektori siht ühte kohavektorite suundadega ning skalaarkorrutised saab asendada lihtkorrutistega: Interferentsivalemid. Siit on juba lihtne saada tingimused maksimumide ja miinimumide jaoks: Maksimum: Miinimum: Neid reegleid tuntakse interferentsivalemite nime all. Suurust, mille võrra erinevad samasse punkti saabuvate lainete poolt läbitud teepikkused, nimetatakse lainete käiguvaheks . Käiguvahe. Sama kiirusega levivate lainete liitumisel tekkivat võnkumiste ruumjaotust nimetatakse seisevlaineks. 17
kaugused laineallikast. Liitlaine võrrandi saame, kui liidame keskkonna mingi punkti hälbed tasakaaluasendist ( ) mingil ajahetkel . Suurusi vaatleme kui algfaase ning kasutades liitvõnkumiste amplituudide reeglit, saame vastuvõtja poolt registreeritavaks võnkeamplituudiks Kui tegemist on punktallikate poolt tekitatavate keralainetega, saab valemis olevale faasitegurile saab anda lihtsama kuju. Sel juhul langeb lainevektori siht ühte kohavektorite suundadega ning skalaarkorrutised saab asendada lihtkorrutistega: Interferentsivalemid. Siit on juba lihtne saada tingimused maksimumide ja miinimumide jaoks: Maksimum: Miinimum: Neid reegleid tuntakse interferentsivalemite nime all. Suurust, mille võrra erinevad samasse punkti saabuvate lainete poolt läbitud teepikkused, nimetatakse lainete käiguvaheks . Käiguvahe. Sama kiirusega levivate lainete liitumisel tekkivat võnkumiste ruumjaotust nimetatakse seisevlaineks. 17
2 8 4 3 0 9 1 0 4 25 9 5 E ' (10 2 9 6 8 1) Maatriksite korrutamine Maatriksite A ja B korrutamisel tuleb leida maatriksi A reavektorite skalaarkorrutised maatriksi B veeruvektoritega. Seepärast tutvume algul rea- ja veeruvektorite skalaarkorrutisega. Kui on antud reavektor A ja veeruvektor B b11 A ' (a11 a12 a13 ) B ' b21 b31 siis nende vektorite skalaarkorrutis on A B ' a11 b11 % a12 b21 % a13 b31
annaabi.ee 
