8. Vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tingimused. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 9. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaatkujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. 10. . Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorrutise arvutamine koordinaatkujul. Kolme vektori komplanaarsus. Rööptahuka ja tetraeedri ruumala arvutamine. 11. Sirge võrrandid. Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge vaheline nurk. 12. Tasandi võrrandid. Punkti kaugus tasandist. Kahe tasandi vaheline nurk. II osa Matemaatiline analüüs (12 punkti) 13. Arvrea mõiste, arvrea summa ja koondumise tarvilik tingimus. 14. Geomeetriline ja harmooniline rida. 15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17
Tasakõver asetseb üleni ühel tasandil, ruumikõver mitte. 35. Nimetage kõik teist järku jooned a) ellips-tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b) hüperbool-mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste vahe on jääv. c) parabool-mille iga punkti kaugused sama tasandi kindlsa punktini (fookuseni) ja kindla sirgeni (juhtjooneni) on võrdsed. 36. Skitseerige ellipsi punkti P konstruktsioon, kui on antud ellipsi teljed 37. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Pöördsilindri moodustajat mööda ühtlaselt liikuva punkti trajektoorina, kui silinder pöörleb ühtlaselt ümber oma telje. 38. Mis on kruvijoone samm (keerd)? Kruvijoone osa, mis vastsab punkti ühele täispöördele ümber kruvijoone telje. Samm – keeru otspunktide omavaheline kaugus (keeru kõrgus). 39
4. Nimetage kõik teist järku jooned. a) ellips-tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b) hüperbool-mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste vahe on jääv. c) parabool-mille iga punkti kaugused sama tasandi kindlsa punktini (fookuseni) ja kindla sirgeni (juhtjooneni) on võrdsed. 5. Skitseerige ellipsi punkti P konstruktsioon, kui on antud ellipsi teljed. 6. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Silindriline ehk harilik kruvijoone tekitab pöördsilindri moodustajat mööda ühtlaselt liikuv punkt, kui silinder samaaegselt pöörleb ühtlaselt ümber oma telje. 7. Mis on kruvijoone samm (keerd)? Kruvijoone osa, mis vastab punkti ühele täispöördele ümber silindri telje, nimetatakse kruvijoone keeruks
Punkti ordinaat näitab, kui kaugel asub punkt x teljest. Koordinaatteljed jaotavad tasandi neljaks koordinaatveerandiks: I veerand, II veerand, III veerand, IV veerand. Tasandeid üldvõrranditega x1 = 0; x2 = 0 ja x3 = 0 nimetatakse vastavalt x2x3- koordinaattasandiks, x1x3-koordinaattasandiks ja x1x2-koordinaattasandiks. Üldasendis olev tasand me ütleme, et tasand on üldasendis, kui ta ei ole paralleelne mitte ühegi koordinaatteljega ning ei läbi reeperi alguspunkti. PUNKTI KAUGUS SIRGENI VÕI TASANDINI: Punkti kaugus sirgeni (tasandil)- Punkti kauguseks sirgest nimetame sellest punktist sirgeni tõmmatud ristlõigu pikkust. Punkti K kaugust sirgest s tähistame d(K; s) abil. : Ak1 + Bk 2 + C d ( K , s) = A2 + B 2 Punkti kaugus sirgeni (ruumis) 2 2 2 k 2 - a2 k 3 - a3 k1 - a1 k 3 - a3 k1 - a1 k 2 - a2
Sellega oleme valemi tõestanud. Omadus 15.1. (15.2) Asendades siia valemist (15.3), saame valemi (15.2). Seega omadus 15.1 on tõestatud Omadus 15.4. Omadus 17.2. Sellega omadus on tõestatud Omadus 17.4. Omadus 18.3. Omadus 19.3. Sirge võrrandite tuletuskäigud (ruumis ja tasandil). Tasandi võrrandite tuletuskäigud. Tuletuskäik: punkti kaugus sirgeni ristkoordinaatides tasandil ja ruumis. Tuletuskäigud: punkti kaugus tasandini ristkoordinaatides, nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel (ristkoordinaatides). Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes ellipsi definitsioonist. Hüperbooli kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes hüperbooli definitsioonist. Parabooli kanoonilise võrrandi tuletuskäik lähtudes parabooli definitsioonist. Teoreem 26.1.
Nimetage kõik teist järku jooned a. Ellips tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b. Hüperbool tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste vahe on jääv) c. Parabool tasandiline joon, mille iga punkti kaugused sama tasandi kindla punktini (fookuseni) ja kindla sirgeni (juhtjooneni) on võrdsed. 4. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Silindriline ehk harilik kruvijoon on joon, mille tekitab pöördsilindri moodustajat mööda ühtlaselt liikuv punkt, kui silinder samaaegselt pöörleb ühtlaselt ümber oma telje. Hariliku kruvijoone võib tekitada ka tasandile joonestatud sirgjoonest, kui tasand painutada pöördsilindriliseks pinnaks. 5. Mis on kruvijoone samm (keerd)?
Nimetage kõik teist järku jooned a. Ellips tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b. Hüperbool tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste vahe on jääv) c. Parabool tasandiline joon, mille iga punkti kaugused sama tasandi kindla punktini (fookuseni) ja kindla sirgeni (juhtjooneni) on võrdsed. 4. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Silindriline ehk harilik kruvijoon on joon, mille tekitab pöördsilindri moodustajat mööda ühtlaselt liikuv punkt, kui silinder samaaegselt pöörleb ühtlaselt ümber oma telje. Hariliku kruvijoone võib tekitada ka tasandile joonestatud sirgjoonest, kui tasand painutada pöördsilindriliseks pinnaks. 5. Mis on kruvijoone samm (keerd)?
Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas. Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi. 16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral. Tasandi vektorvõrrand ja parameetrilised võrrandid, tasandi üldvõrrand, tasandi normaalvektor, tema seos tasandi üldvõrrandiga, tasandi normaalvõrrand ja selle kordajate ja vabaliikme geomeetriline tõlgendus. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel. Nurk sirge ja tasandi vahel. 18. Ringjoone definitsioon ja võrrand
hulknurgad 34. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Tasakõver asetseb üleni ühel tasandil, ruumikõver mitte 35. Nimetage kõik teist järku jooned. -Ellips- tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini mõõdetud kauguste summa on jääv -Hüperbool- mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini mõõdetud kauguste vahe on jääv -Parabool- mille iga punkti kaugused sama tasandi kindla punktini ja kindla sirgeni on võrdses 36. Skitseerige ellipsi punkti P konstruktsioon, kui on antud ellipsi teljed. 37. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Silindrilise kruvijoone tekitab pöördsilindri moodustajat mööda ühtlaselt liikuv punkt, kui silinder samaaegselt pöörleb ühtlaselt ümber oma telje. 38. Mis on kruvijoone samm (keerd)? Kruvijoone osa, mis vastab punkti ühele täispöördele ümber silindri telge, nim. Kruvijoone keeruks. Keeru otspunktide vahelsit kaugust nim
kaasdiameetriteks. 70. Nimetage kõik teist järku jooned. ellipstasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv hüperboolmille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joone fookusteni) mõõdetud kauguste vahe on jääv. paraboolmille iga punkti kaugused sama tasandi kindlsa punktini (fookuseni) ja kindla sirgeni (juhtjooneni) on võrdsed. 71. Mis on ellipsi kaasdiameetrid (teljed)? ehk ellipsi teljed. 2 diameetrit, millest kumbki poolitab teisega paralleelseid kõõle. 72. Skitseerige ellipsi punkti P konstruktsioon, kui on antud ellipsi teljed 73. Skitseerige ellipsi punkti P konstruktsioon, kui on antud ellipsi kaasdiameetrid. 74. Skitseerige ellipsi lähiskõver ringikaartest, kui on antud ellipsi teljed. 75. Kuidas tekib silindriline kruvijoon?
Inertsiaalne taustsüsteem on taustsüsteem, milles kehad liiguvad jääva kiirusega, kui neile ei mõju teised kehad. Inertsiks nim ühtlase sirgjoonelise liikumise või paigaloleku säilimise nähtust teiste kehade mõju puudumisel vaadeldavale kehale. Inertsuseks nim keha omadust, mis seisneb selles, et keha kiiruse muutmiseks kulub teatud aeg. Jõu õlaks nim ristlõigu pikkust pöörlemisteljelt jõu mõju sirgeni. Jõud on füüsikaline suurus, mis iseloomustab vastastikmõju intensiivsust ning võrdub keha massi ja kiirenduse korrutisega. Jõumomendiks nim jõu mooduli ja õla pikkuse korrutist; ühik: 1N*m Kaaluta olek olek, kus kehale mõjub ainult gravitatsioonijõud. Keha kaaluks nim jõudu, millega keha mõjub alusele või riputusvahendile. 3
14.1 Tasandi vektorvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 14.2 Tasandi üldvõrrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 14.3 Sirge vektorvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 14.4 Sirge võrrandid ruumis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 14.5 Punkti kaugus sirgeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 14.6 Punkti kaugus tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 14.7 Nurk kahe sirge vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 14.8 Nurk kahe tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 14.9 Nurk sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kõrgusele. Tinghorisondi kõrgus kirjutatakse tema algusesse. Profiili koostamise hõlbustamiseks joonistatakse välja graafiline vertikaalmõõtkava, millele kirjutatakse juurde kõrgused iga cm tagant. Alati on üks laiem riba, kus antakse trassi sirged ja kõverad ja nende andmed. Rea keskele tõmmatakse sirgjoon, mille peale kirjutatakse lõigu pikkus ja suund. Kõverate algused ja lõpud märgitakse piki piketaazijoont ja saadud punktidest tõmmatakse vertikaaljoon trassi sirgeni. Vasakule poole sellest vertikaaljoonest kirjutatakse kõvera alguse või lõpu kaugus eelmisest piketist ja paremale poole samapunkti kaugus järgmisest piketist (cm täpsusega, summa peab olema 100m). Kõverad kujutatakse ülespoole pööratud kaartega kui trass pöördub paremale ja allapoole pööratud kaartega kui trass pöördub vasakule ning iga kõvera kaare sisse kirjutatakse kõigi kuue elemendi väärtused. Maariba situatsioon kantakse trassi plaani reale piketaaziraamatu
19. Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 V. Sirged ja tasandid 20. Sirge v~orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 21. Tasandi v~orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 22. Punkti kaugus sirgeni ja tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 23. Nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . 184 VI. Ellips, h¨ ¨ uperbool ja parabool. Ulevaade teist j¨arku pindadest 24. Ellips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 25. H¨uperbool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19. Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 V. Sirged ja tasandid 20. Sirge v˜orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 21. Tasandi v˜orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 22. Punkti kaugus sirgeni ja tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 23. Nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . 184 VI. Ellips, h¨ ¨ uperbool ja parabool. Ulevaade teist j¨arku pindadest 24. Ellips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 25. H¨uperbool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
